В.Н. Латышев - Курс лекций по высшей алгебре, страница 3

В самом деле, Ig сюръективно: на x отображается элемент g −1 xg: Ig (g −1 xg) = gg −1 xgg −1 = x. Инъективность очевидна: gxg −1 = gyg −1 ⇔ x = y. Значит,это как минимум биекция. Покажем сохранение операции: Ig (xy) = g(xy)g −1 = (gxg −1 )(gyg −1 ) = Ig (x)Ig (y).Значит, это автоморфизм.6Определение. Автоморфизмы вида Ig образуют подгруппу внутренних автоморфизмов Int G ⊂ Aut G.Покажем, что это действительно подгруппа. Имеем id = Ie ∈ Int G, кроме того, (Ig1 ◦ Ig2 )(x) = g1 g2 xg2−1 g1−1 == (g1 g2 )x(g1 g2 )−1 = Ig1 g2 (x). Отсюда видно, что обратным к Ig является автоморфизм Ig−1 ∈ Int G. Итак, Int G —подгруппа.Заметим, что H ⊳ G ⇔ gHg −1 = H.

Получаем эквивалентное определение: H ⊳ G тогда и только тогда, когдаона инвариантна относительно Int G. Следовательно, H состоит из нескольких классов сопряжённых элементов,ибо вместе с любым элементом класса сопряжённости она содержит и любой элемент этого же класса.Теорема 1.7. Все конгруэнции на G являются эквивалентностями, связанными с разложениями по нормальным подгруппам. 1◦ Пусть H ⊳G, и по определению a ∼ b ⇔ a−1 b ∈ H. Покажем, что это конгруэнция.

Пусть a ∼ a′ , b ∼ b′ .Покажем, что ab ∼ a′ b′ . Имеем a−1 a′ ∈ H, b−1 b′ ∈ H. Тогда (ab)−1 (a′ b′ ) = b−1 a−1 a′ b′ = b−1 (a−1 a′ )b b−1 b′ . Ноa−1 a′ ∈ H по условию, тогда в силу нормальности H имеем b−1 (a−1 a′ )b ∈ H. Но и b−1 b′ ∈ H по условию, значит,произведение этих множителей также лежит в H. Но это и означает, что ab ∼ a′ b′ . Тогда G ∼ = {aH, a ∈ G} сединицей eH = H, (aH)−1 = a−1 H, (aH)(bH) = (ab)H.2◦ Обратно, пусть ∼ задаёт конгруэнцию. Покажем, что ∃ H ⊳G, для которой a ∼ b ⇔ a−1 b ∈ H. РассмотримH := {a ∈ G : a ∼ e}.

Покажем, что H — искомая нормальная подгруппа в G. Поскольку e ∼ e, имеем e ∈ H.Пусть a, b ∈ H, a ∼ e, b ∼ e. По свойству конгруэнции, ab ∼ ee = e, т. е. ab ∈ H. Далее, поскольку a ∼ e, a−1 ∼ a−1 ,получаем aa−1 ∼ ea−1 , откуда e ∼ a−1 ⇔ a−1 ∈ H. Значит, H — подгруппа в G. Покажем нормальность: пустьh ∈ H ⇔ h ∼ e, кроме того, g ∼ g, g −1 ∼ g −1 . Отсюда ghg −1 ∼ geg −1 = e ⇒ ghg −1 ∈ H. Замечание. Когда речь идёт о конгруэнции, всегда можно иметь ввиду соответствующую нормальнуюподгруппу.

Поэтому говорят обычно не о фактормножестве по конгруэнции, а о факторгруппе G H , где H ⊳ G.Замечание. Заметим, что отношение нормальности не является транзитивным, т. е. если A ⊳ B, B ⊳ C, тоA не обязательно нормальна в C. Пример: C = A4 , B = V4 , A = {id, (12)(34)}.Теорема 1.8. Пусть H ⊂ G — подгруппа индекса 2. Тогда H ⊳ G. Рассмотрим левые смежные классы по H.

Их будет два: eH и gl H, где gl ∈/ H. Теперь рассмотрим правыесмежные классы: He и Hgr , где gr ∈/ H. Ясно, что eH = H = He, но тогда gl H = Hgr , поскольку смежныеклассы образуют разбиение G. Но если левые и правые смежные классы совпадают, то H ⊳ G. 1.7. Теорема о гомоморфизмеТеорема 1.9.

Ядра гомоморфизмов, и только они, являются нормальными подгруппами. 1◦ Пусть ϕ : G → L — гомоморфизм. Покажем, что H = Ker ϕ ⊳ G. Пусть h ∈ H, g ∈ G. Рассмотримϕ(ghg −1 ) = ϕ(g)ϕ(h)ϕ(g −1 ) = ϕ(g)e′ ϕ(g)−1 = e′ . Значит, ghg −1 ∈ H, но это и означает, что H ⊳ G.2◦ Пусть H ⊳ G. Рассмотрим естественный эпиморфизм π : G → G H по правилу π : a 7→ aH. Тогда a ∈∈ Ker π ⇔ π(a) = aH = H ⇔ a ∈ H ⇒ Ker π = H. Теорема 1.10 (О гомоморфизмах групп). Пусть ϕ : G → L — эпиморфизм, H := Ker ϕ, π : G → G H —естественный эпиморфизм. Тогда существует изоморфизм ψ : L → G H , для которого диаграмма (1) коммутативна, то есть π = ψ ◦ ϕ.ϕ✲LG❅π❅ψ❅❘ ✠❅G(1)HИными словами, G Ker ϕ ∼= Im ϕ = L. Пусть x ∈ L. Тогда ∃ a ∈ G : x = ϕ(a) в силу того, что Im ϕ = L. Рассмотрим ψ : L → G H по правилуψ : x 7→ aH, где ϕ(a) = x.

Покажем, что ψ — искомый изоморфизм. В самом деле, проверим корректность. Пустьx = ϕ(a) = ϕ(b), a, b ∈ G. Тогда ϕ(a) = ϕ(b) ⇔ ϕ(a−1 b) = eL , где eL — единица в L. Отсюда a−1 b ∈ Ker ϕ = H,значит, aH = bH. Значит, ψ переведёт ϕ(a) и ϕ(b) в один и тот же смежный класс. Тем самым корректностьдоказана.Покажем, что ψ — биекция. Сюръективностьсразу следует из определения ψ: достаточно взять такой x, что−1−1x = ϕ(a). Проверим инъективность: ψ ϕ(a) = ψ ϕ(b) ⇔ aH = bH ⇔ a b ∈ H ⇔ ϕ(a b) = eL ⇔ ϕ(a) = ϕ(b).Покажем, что ψ сохраняет операцию: ψ ϕ(a)ϕ(b) = ψ ϕ(ab) = (ab)H = aH · bH = ψ ϕ(a) · ψ ϕ(b) . Здесьсвойство (ab)H = aH · bH следует из того, что H = Ker ϕ, и, следовательно, задаёт конгруэнцию.Проверим коммутативность.

Пусть a ∈ G. Тогда π(a) = aH. Но (ψ ◦ ϕ)(a) = aH по определению ψ. 71.8. Теорема о соответствии групп при эпиморфизмеГоворя о гомоморфизмах, мы уже показали, что прообраз подгруппы при эпиморфизме есть подгруппа.Теорема 1.11 (О соответствии). Пусть ϕ : G → L — эпиморфизм групп. Положим H := Ker ϕ ⊳ G.Назовём A ⊂ G выделенной подгруппой, если H ⊂ A. Тогда сопоставление θ выделенной подгруппе A ⊂ G еёобраза ϕ(A) определяет биекцию между выделенными подгруппами в G и всеми подгруппами L. При этомсоответствующие подгруппы одновременно нормальны и факторгруппы по ним изоморфны.

1◦ Покажем, что θ биективно. Сюръективность очевидна, ибо для любой подгруппы U ⊂ L имеем eL ∈ U ,следовательно, H ⊂ ϕ−1 (U ) = A, откуда заключаем, что A — выделенная подгруппа. Докажем инъективность.Пусть A, B ⊂ G — выделенные подгруппы, и ϕ(A) = ϕ(B). Покажем, что A = B. Рассмотрим произвольноеa ∈ A. Тогда в силу совпадения образов, ∃ b ∈ B : ϕ(a) = ϕ(b). Отсюда ϕ(b−1 a) = eL ⇔ b−1 a ∈ Ker ϕ = H,значит, a = bh, но поскольку H ⊂ B, получаем bh ∈ B, т. е. a ∈ B. Следовательно, A ⊂ B. По симметричнымсоображениям B ⊂ A. Значит, A = B.2◦ Пусть A — выделенная подгруппа в G.

Покажем, что A ⊳ G ⇔ ϕ(A) ⊳ L. В самом деле, пусть A ⊳ G. Тогда∀ g ∈ G имеем gAg −1 ∈ A. Применим ϕ к этому тождеству, получим ϕ(g)ϕ(A)ϕ(g)−1 = ϕ(A). Но поскольку ϕ —эпиморфизм, то когда g пробегает G, ϕ(g) пробегает всю L. Отсюда следует нормальность ϕ(A) в L. Обратно,пусть M ⊳ L, предположим, что A := ϕ−1 (M ) не является нормальной в G. Значит, ∃ g ∈ G, x ∈ A : gxg −1 ∈/ A.Тогда ϕ(gxg −1 ) ∈/ M , следовательно, ϕ(g)ϕ(x)ϕ(g)−1 ∈/ M .

Но это уже противоречит тому, что M ⊳ L, посколькуϕ(x) ∈ M . Тем самым одновременная нормальность доказана.3◦ Докажем изоморфность факторгрупп, соответствующих нормальнымподгруппам. Пусть A ⊳ G — выделенная подгруппа, и U := ϕ(A). Рассмотрим отображение ψ : G → L U , определённое по правилу g 7→ ϕ(g)U .Докажем, что это эпиморфизм. Сюръективность очевидна: когда g бегает по G, ϕ(g) бегает по всей L, значит, любой смежный класс накроется.

Проверим сохранение операции: ψ(g1 g2 ) = ϕ(g1 g2 )U = ϕ(g1 )ϕ(g2 ) U == ϕ(g1 )U · ϕ(g2 )U = ψ(g1 ) · ψ(g2 ) по свойствам естественной операции. Теперь найдём ядро: g ∈ Ker ψ ⇔ ψ(g) == ϕ(g)U = U ⇔ ϕ(g) ∈ U ⇔ g ∈ A. Отсюда следует, что A = Ker ψ. По теореме о гомоморфизме получаемG∼ L .UA =Теорема 1.12. Пусть L ⊳ K ⊳ G и L ⊳ G. Тогда G/L K/L ∼= GK. Рассмотрим естественный эпиморфизм ϕ : G → G L .

Имеем Ker ϕ = L. Тогда ϕ(K) = K L . Применимθтеорему о соответствии к ϕ, тогда получим K ←→ K L . Отсюда K L ⊳ G L . По теореме о соответствии, факторгруппы по соответствующим нормальным подгруппам изоморфны, поэтому G K ∼= G/L K/L . 2. Поля и кольца2.1. Кольца. Гомоморфизмы колец. ФакторкольцаОпределение. Кольцом называется непустое множество R с двумя операциями, сложением и умножением:(R, +, ·). При этом по сложению кольцо — абелева группа, по умножению выполнена левая и правая дистрибутивность: a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc. Ассоциативное кольцо — кольцо с ассоциативным умножением,коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением, кольцо с единицей — кольцо, в котором естьнейтральный по умножению элемент.Определение.

Гомоморфизм колец R и Q — отображение ϕ : R → Q, сохраняющее обе операции. Посколькуэто, в частности, гомоморфизмы их аддитивных групп, имеем ϕ(0) = 0, ϕ(−a) = −ϕ(a). Гомоморфизм не обязансохранять единицу кольца, даже если она есть.Определение. Конгруэнция кольца — отношение эквивалентности ∼, согласованное с операциями: a ∼∼ b, a′ ∼ b′ ⇒ a + a′ ∼ b + b′ , aa′ ∼ bb′ .Естественные операции в кольцах обладают свойствами:1◦ [a] + [b] = [a + b],2◦ [a][b] = [ab],3◦ [c] [a] + [b] = [c][a + b] = [c(a + b)] = [ca + cb] = [ca] + [cb] = [c][a] + [c][b],4◦ [a] + [b] [c] = [a][c] + [b][c] (доказывается аналогично).Определение. Идеалом кольца R называется подгруппа (I, +) ⊂ (R, +), выдерживающая левое и правоеумножение на элементы кольца: ∀ a ∈ R имеем aI ⊂ I, Ia ⊂ I. Если I выдерживает только левое умножение, онназывается левым идеалом.

Аналогично определяется правый идеал.В кольцах идеалы играют роль нормальных подгрупп, и обозначение такое же: I ⊳ R. Поскольку кольцо посложению является абелевой группой, можно определить эквивалентность a ∼ b ⇔ a − b ∈ I. Тогда это будетконгруэнция относительно сложения. Покажем, что это будет конгруэнцией и по умножению. Пусть a ∼ a′ , b ∼ b′ .8Рассмотрим ab − a′ b′ = (ab − ab′ ) + (ab′ − a′ b′ ) = a(b − b′ ) + (a − a′ )b′ ∈ I, поскольку a − a′ ∈ I, b − b′ ∈ I.

Ноab − a′ b′ ∈ I ⇔ ab ∼ a′ b′ .Определение. Определим теперь факторкольцо по идеалу I: это факторгруппа A I c операцией умножения(a + I)(b + I) = ab + I.Определение. Ядром гомоморфизма колец ϕ : R → Q называется множество Ker ϕ = {x ∈ R : ϕ(x) = 0}.Теорема 2.1. Ядра гомоморфизмов, и только они, являются идеалами кольца. 1◦ Пусть ϕ : R → Q — гомоморфизм колец, обозначим I := Ker ϕ. Пусть x ∈ I, a ∈ R.