В.Н. Латышев - Курс лекций по высшей алгебре, страница 9

Пусть G — группа, V — векторное пространство над полем K. Линейным представлениемρ группы G называется гомоморфизм вида ρ : G → Aut V , где Aut V — группа невырожденных линейныхоператоров на V . Заметим, что Aut V ⊂ SV , и таким образом, представление — частный случай действия18(G, ρ, V ). Пространство V называется несущим пространством линейного представления. Мы будем изучатьконечномерные векторные пространства. Пусть dim V = n, тогда n называется размерностью представления.Определение.

Пусть U ⊂ V — подпространство. U называется G-инвариантным, если U инвариантноотносительно всех операторов ρ(g), g ∈ G.Такое свойство U позволяет рассмотреть ограничение нашего представления ρ на U , поскольку ∀ g ∈ Gполучаем ρ(g) : U → U — корректно определённый линейный оператор. Тогда ρ называется подпредставUUлением. Очевидно, что любое представление имеет тривиальные G-инвариантные подпространства: нулевое исамо пространство V .Определение. Если у представления есть нетривиальные подпредставления, то оно называется приводимым. Если же все подпредставления тривиальны, то оно называется неприводимым.Определение.

Пусть даны два представления (G, ρ, V ) и (G, τ, U ). Естественно, что V и U рассматриваютсянад одним и тем же полем K. Линейное отображение ϕ : V → U называется гомоморфизмом представлений ρи τ , если оно согласовано с действием группы: ∀ x ∈ V, ∀ g ∈ G имеем ϕ (ρ(g)x) = τ (g)ϕ(x). На языке операторов: ∀ g ∈ G имеем ϕ ◦ ρ(g) = τ (g) ◦ ϕ. Если ϕ — изоморфизм линейных пространств V и U , то ϕ называютизоморфизмом представлений. Гомоморфизм представлений обычно обозначается так: ϕ : ρ → τ .Со всяким линейным представлением группы связано её матричное представление, если зафиксировать в Vρбазис.

Тогда получаем сквозной гомоморфизм G −→ Aut V → GLn (K). Недостатком матричных представленийявляется их зависимость от базиса. Из курса линейной алгебры следует, что если зафиксировать два базиса,то матрицы одного и того же линейного оператора ρ(g) будут связаны равенством Bρ(g) = CAρ(g) C −1 , где C —матрица перехода от одного базиса к другому. Такие матричные представления называются эквивалентными.Заметим, что очень похожее по виду соотношение получается, если записать по-другому операторное равенство:∀ g ∈ G имеем τ (g) = ϕ ◦ ρ(g)ϕ−1 .Определение.

Пусть представление (G, ρ, V ) имеет два G-инвариантных подпространства U и W , причёмV = U ⊕ W . Тогда имеет смысл разложить наше представление в прямую сумму: ρ = ρU ⊕ ρW . Представление,разлагающееся в прямую сумму неприводимых, называется вполне приводимым. матриц существование G-инвариантного подпространства U означает, что матрицы ρ(g) имеют вид На языке∗ ∗, причём первый блок матрицы соответствует подпространству U . Аналогично, если ρ = ρU ⊕ ρW , то0 ∗∗ 0матрицы ρ(g) имеют вид.0 ∗Определение. Представление называется точным, если Ker ρ = {e}, т. е.

ρ инъективно. Тогда G ֒→ Aut V .Теорема 5.1. Пусть ϕ : ρ → τ — гомоморфизм представлений c несущими пространствами V и U соответственно. Тогда Im ϕ и Ker ϕ являются G-инвариантными подпространствами. Пусть x ∈ V , тогда ϕ(x) ∈ Im ϕ. Из согласованности действий следует, что τ (g)ϕ(x) = ϕ (ρ(g)x) ∈ Im ϕ,а это означает, что Im ϕ является G-инвариантным.

Пусть теперь x ∈ Ker ϕ, то есть ϕ(x) = 0. Тогда ϕ (ρ(g)x) == τ (g)ϕ(x) = τ (g)0 = 0, значит, ρ(g)x ∈ Ker ϕ, а это означает, что Ker ϕ является G-инвариантным. Теорема 5.2 (Лемма Шура). Пусть ϕ — гомоморфизм неприводимых представлений с несущими пространствами V и U . Тогда либо ϕ = 0, либо ϕ есть изоморфизм линейных пространств V и U . Пусть ϕ 6= 0. Тогда Im ϕ есть ненулевое G-инвариантное подпространство. Но в U нет нетривиальныхG-инвариантных подпространств.

Значит, Im ϕ = U . Иначе говоря, ϕ сюръективно. Далее, поскольку Ker ϕ 6= V ,получаем, что Ker ϕ = 0, ибо в V тоже нет нетривиальных G-инвариантных подпространств. Следовательно, ϕинъективно. Но тогда ϕ биективно, а это и означает, что ϕ — изоморфизм линейных пространств V и U . 5.2. Теорема МашкеОпределение. Пусть Φ : V → V — линейный оператор.

Если Φ2 = Φ, то такой оператор называется проектором.Теорема 5.3. Пусть Φ — проектор. Тогда V = Im Φ ⊕ Ker Φ. Пусть x ∈ V . Рассмотрим тождество x = |{z}Φx + x − Φx. В самом деле, поскольку Φ — проектор, имеем| {z }∈Im∈KerΦ(x − Φx) = Φx − Φ2 x = Φx − Φx = 0. Значит, действительно x − Φx ∈ Ker Φ. Однако Ker Φ ∩ Im Φ = 0. Но это иозначает, что V = Im Φ ⊕ Ker Φ. Говорят, что Φ проектирует Im Φ параллельно Ker Φ.Теорема 5.4. Пусть G — конечная группа, а K — поле нулевой характеристики или char K ∤ |G|. Тогдавсякое подпредставление выделяется прямым слагаемым.19 Рассмотрим произвольное подпредставление (G, ρU , U ) ⊂ (G, ρ, V ). Из общей теории линейной алгебры следует, что всегда можно выбрать W ⊂ V так, чтобы V = U ⊕ W .

В нашем случае U было и остаётсяG-инвариантным, а вот W — не обязательно. Покажем, что его можно «подправить» таким образом, чтобы ρUвыделилось в качестве прямого слагаемого.Пусть Θ : V → U задаёт проекцию на U , то есть Θx = u + w 7→ u. Рассмотрим линейный операторΦ=1 Xρ(g)Θρ(g)−1 .|G|g∈GПокажем, что Φ согласован с действием G. В самом деле, пусть h ∈ G, а x ∈ V . Тогдаρ(h)Φx =1 X1 Xρ(h)ρ(g)Θρ(g)−1 x =ρ(h)ρ(g)Θρ(g)−1 ρ(h)−1 ρ(h)x =|G||G|g∈Gg∈G=1 Xρ(hg)Θρ(hg)−1 ρ(h)x = Φρ(h)x,|G|g∈G|{z}Φпоскольку когда g бегает по g, то hg тоже бегает по всей G. Иначе говоря, Φ : ρ → ρ — гомоморфизм представлений.Покажем, что Im Φ ⊂ U . Действительно, возьмём x ∈ V , тогдаΦx =1 Xρ(g) Θρ(g)−1 x ∈ U| {z }|G|g∈G∈Uв силу того, что Θ — проекция на U , а ρ(g) вектора из U переводит в вектора из U , поскольку U есть G-инвариантное подпространство.P1Наконец, заметим, что если u ∈ U , то Φu = u.

Действительно, Φu = |G|ρ(g)Θρ(g)−1 u =в силуg∈GP1G-инвариантности U имеем ρ(g)−1 u ∈ U , а потому Θρ(g)−1 u = ρ(g)−1 u, следовательно = |G|ρ(g)ρ(g)−1 u =g∈G=|G||G| u= u.Заметим, что наша конструкция работает благодаря тому, что по условию теоремы в поле K число |G| =6 0.Мы доказали, что Φ является проектором, а потому V = Im Φ ⊕ Ker Φ. Но, как мы знаем, Im Φ и Ker Φ являютсяG-инвариантными подпространствами. Теорема 5.5 (Машке). Пусть |G| < ∞. Если char K = 0 или char K ∤ |G|, то любое её представлениевполне приводимо.

Рассмотрим произвольное представление. Если оно неприводимо, то доказывать нечего. Если оно приводимо, то оно разлагается в прямую сумму подпредставлений: (G, ρ, V ) = (G, ρU , U ) ⊕ (G, ρW , W ). Если ониприводимы, то их можно разлагать дальше. Поскольку dim U, dim W < dim V , процесс разложения когда-тоостановится. 5.3. Линейные представления абелевых группПусть K — алгебраически замкнутое поле.Теорема 5.6. Пусть Φ = {ϕi } — множество попарно коммутирующих линейных операторов на V (K),причём dim V < ∞. Тогда в V существует общий собственный вектор для всех этих операторов. Будем вести индукцию по n = dim V .

При n = 1 доказывать нечего. Пусть теперь n > 1, и нашеутверждение верно для пространств меньшей размерности. Если все ϕi являются гомотетиями, то доказыватьнечего, ибо любой вектор x 6= 0 будет искомым. Если же это не так, то ∃ ϕ ∈ Φ, не являющийся гомотетией.Поскольку K алгебраически замкнуто, у ϕ есть собственные векторы. Пусть λ — одно из собственных значенийϕ, а Vλ — подпространство, отвечающее этому собственному значению. Тогда Vλ 6= V в силу негомотетичностиоператора ϕ и dim Vλ < n.Мы знаем, что Vλ = Ker(ϕ − λE). Докажем, что Vλ инвариантно относительно всех операторов из Φ.

В самомделе, пусть x ∈ Vλ ⇔ (ϕ − λE)x = 0. Пусть ψ ∈ Φ. Заметим, что λE коммутирует с любым оператором. Тогда(ϕ − λE)ψx = ψ(ϕ − λE)x = ψ0 = 0, откуда ψx ∈ Vλ . Тогда по предположению индукции, ∃ x ∈ Vλ — собственныйдля всех операторов из Φ, и вектор найден. Теорема 5.7. Всякое неприводимое представление абелевой группы над алгебраически замкнутым полемодномерно.20 Поскольку G — абелева, получаем, что операторы из Im ρ попарно коммутируют. По предыдущей теореме, ∃ x ∈ V , собственный для операторов из Im ρ. Тогда U = hxi, очевидно, является G-инвариантным.

Но ρнеприводимо, а потому U = V , то есть dim V = 1. Следствие 5.1. В условиях теоремы Машке любое представление абелевой группы над алгебраически замкнутым полем разлагается в прямую сумму одномерных представлений.Зафиксируем базис V . Одномерные представления представляют собой гомоморфизмы вида ρ : G → K ∗ .Лемма 5.8. Пусть G = G1 × . .

. × Gm и L — абелевы группы. Пусть ϕi : Gi → L — гомоморфизмы прямыхмножителей. Тогда отображение ϕ : G → L, определённое по правилу ϕ : g = g1 · . . . · gm 7→ ϕ1 (g1 ) · . . . · ϕm (gm ) —гомоморфизм, и наоборот, если задан гомоморфизм ϕ : G → L, то он индуцирует ϕi .′′ Имеем ϕ(gg ′ ) = ϕ1 (g1 g1′ ) · . . . · ϕm (gm gm) = L абелева = ϕ1 (g1 ) · . .