В.Н. Латышев - Курс лекций по высшей алгебре, страница 4

Проверим, что Iвыдерживает умножение: ϕ(ax) = ϕ(a)ϕ(x) = ϕ(a) · 0 = 0, значит, ax ∈ I. Аналогично, xa ∈ I. Кроме того, изтеоремы о ядре гомоморфизма групп следует, что (I, +) ⊂ (R, +). Значит, I ⊳R.2◦ Обратно, пусть I ⊳ R. Рассмотрим естественный эпиморфизм π : R → R I , тогда Ker π = I.

Теорема 2.2 (О гомоморфизмах колец). Пусть ϕ : A → B — эпиморфизм, I := Ker ϕ, π : A → A I —естественный эпиморфизм. Тогда существует изоморфизм ψ : B → A I , для которого диаграмма (1) коммутативна, то есть π = ψ ◦ ϕ.ϕ✲BA❅π❅ψ❅❘ ✠❅A(1)I Поскольку все участвующие в теореме кольца являются абелевыми группами, для аддитивных группсуществование ψ доказано. Покажем, что ψ будет изоморфизмом колец.

Нам надо проверитьтолькосохранениеумножения. Рассмотрим x, y ∈ A,тогдаϕ(x),ϕ(y)∈B.Рассмотримψϕ(x)ϕ(y)=ψϕ(xy)=(xy) + I == (x + I)(y + I) = ψ ϕ(x) ψ ϕ(y) , что и требуется. Заметим, что тривиальные идеалы в кольцах есть всегда. Таково всё кольцо и нулевое подкольцо. Покажем,что в полях все идеалы тривиальны. Действительно, если x ∈ I, где x 6= 0, то 1 ∈ I, поскольку x−1 x ∈ I. Аесли в идеале есть единица, то там содержится и всё поле, поскольку идеал выдерживает умножение на любойэлемент поля.Определение.

Рассмотрим коммутативное кольцо A. Зафиксируем систему элементов {x1 , . . . , xr } , xi ∈ A.Рассмотрим множество I := {a1 x1 + . . . + ar xr | ai ∈ A}. Очевидно, что I ⊳ A, поскольку оно замкнуто относительно сложения и операции умножения на элементы кольца.

Такой идеал называется порождённым элементамиx1 , . . . , xr и обозначается (x1 , . . . , xr ) ⊳ A. Идеал, порождённый одним элементом, называется главным. Кольцо,в котором каждый идеал главный, называется кольцом главных идеалов.Теорема 2.3. Пусть K — поле. Тогда K[x] — КГИ. Рассмотрим ненулевой идеал I ⊳ K[x]. Выберем в I ненулевой многочлен минимальной степени и обозначим его через d. Покажем, что I = (d). В самом деле, пусть f ∈ I. Допустим, что d ∤ f .

Поделим f на d состатком: f = dq + r. Тогда r = f − dq, откуда r ∈ I. Действительно, f ∈ I, dq ∈ I, значит, их разность тожележит в идеале. Но deg r < deg d, а это противоречит тому, что мы брали d минимальной степени. Значит, d f ,откуда I = (d). Из этой теоремы следует, что идеал в K[x] содержит единственный ненулевой многочлен минимальной степени со старшим коэффициентом 1.

Кроме того, если K[x] заменить на Z, а «степень» — на «модуль», то мыполучим доказательство теоремы о том, что Z — кольцо главных идеалов.Задача 2.1. Докажите, что K[x1 , . . . , xn ], n > 2 и Z[x] не являются КГИ.Теорема 2.4 (Об инъективности). Пусть ϕ : F → L — гомоморфизм полей. Тогда либо ϕ ≡ 0, либо ϕинъективен. Поскольку Ker ϕ ⊳ F , а в полях нетривиальных идеалов нет, получаем, что либо Ker ϕ = 0, и тогда ϕинъективен; либо Ker ϕ = F , и ϕ ≡ 0.2.2. Факторкольца многочленов. Алгебраические расширения. Поля разложениямногочленовРассмотрим факторкольцо A = K[x] (d) , где d = an xn + .

. . + a0 , n > 0. Рассмотрим эпиморфизм ϕ : K[x] → A,определённый по правилу ϕ : f 7→ f + I. Кроме того, поскольку K ֒→ K[x], можно рассмотреть и ограничениеэтого эпиморфизма ϕ : K → A. Введём обозначение для смежных классов по идеалу: f = f + I. Для элементовKполя K имеем ϕ(α+β) = (α+β)+I = ϕ(α)+ϕ(β) и ϕ(αβ) = (αβ)+I = ϕ(α)ϕ(β). Тогда K = {α = α + I : α ∈ K} ∼=∼= K. Значит, по теореме об инъективности, K ֒→ A, и тогда A будет линейным пространством над полем K.9Заметим, что каждый смежный класс порождается многочленом степени меньше n: поделив на d с остатком,получаем f = f + I = r + (qd + I) = r + I. Отсюда dimK A = n.

Базисом будут степени x до n − 1 включительно:1, . . . , xn−1 . Через них всё выражается, докажем линейную независимость: если бы αn−1 xn−1 + . . . + α0 = 0 == 0 + I ∈ I, то это противоречило бы тому, что в I нет многочленов степени ниже n, кроме нулевого. Заметим,что здесь мы воспользовались свойствами естественных операций. Отсюда следует, что αi = 0.Теорема 2.5. Факторкольцо A = K[x] (d) является полем тогда и только тогда, когда d неприводим. В самом деле, если d = d1 d2 , и deg d1 , deg d2 < n, то d1 , d2 6= 0. Но d1 d2 = d = 0. Значит, тут есть делителинуля, и A не может быть полем.

Пусть d неприводим, тогда пусть f 6= 0, значит, d ∤ f . Поскольку d неприводим,получаем, что (d, f ) = 1, а отсюда по формуле «f u + gv» имеем f u + dv = 1. Но d = 0, отсюда f u = 1, и мынашли обратный элемент к ненулевому многочлену f . Значит, это поле. Определение. Пусть K — подполе F , тогда F называют расширением поля K. Пусть p — неприводимый надK многочлен.

Тогда K[x] (p) называют простым алгебраическим расширением поля K. Также можно рассмотретьпростое трансцендентное расширение K ֒→ K(x) с помощью поля рациональных функций над K, но мы небудем этого делать.Неприводимый над K многочлен p имеет корни в K[x] (p) . Действительно, p(x) = αn xn + . . . + α0 = p(x) = 0.Теорема 2.6 (О вложении).

Пусть F — расширение поля K, содержащее корень θ неприводимого над Kмногочлена p ∈ K[x]. Тогда существует вложение K[x] (p) ֒→ F . Рассмотрим отображение ϕ : K[x] → F по правилу ϕ : f (x) 7→ f (θ). Это, очевидно, гомоморфизм. Ясно,что Ker ϕ есть множество всех многочленов из K[x], имеющих корень θ, в частности, p ∈ Ker ϕ. Заметим,что Ker ϕ — главный идеал, порождённый некоторым многочленом d.

Значит, p = d · g, но p — неприводим,значит, p ∼ d. Тогда можно считать, что Ker ϕ = (p), и применив теорему о гомоморфизме колец, получаемтребуемое. Заметим, что мы таким образом построили минимальное подполе, содержащее корень неприводимогомногочлена p. Это вытекает из соображений размерности: не существует собственного подполя, содержащегокорень θ с размерностью, равной размерности данного поля. Замечание. Расширение поля K, полученное присоединением корня θ неприводимого над K многочлена,обозначается K(θ).Пример 2.1. Построим поле C.

Возьмём многочлен p второй степени с отрицательным дискриминантом,и в качестве θ рассмотрим какой-нибудь его корень. Мы знаем, что dimR C = 2. Имеем ϕ(1) = 1, ϕ(x) = θ.Поскольку 1 и θ линейно независимы, C = h1, θi. Тогда R[x] (p) ∼= C.Пусть K ⊂ F, K ⊂ L. Пусть ϕ : F → L — изоморфизм полей. ϕ называется изоморфизмом над K, если∀ α ∈ K имеем ϕ(α) = α, т. е. поле K при таком изоморфизме неподвижно.Пусть f ∈ K[x].

Многочлен f может не разлагаться на линейные множители над K, если n = deg f > 1.Наша цель — построить поле, в котором он разложится на линейные множители. Рассмотрим L1 — простоеалгебраическое расширение K, содержащее корень θ1 многочлена f . L1 строится очевидным образом: надопрофакторизовать K[x] по любому неприводимому множителю f , тогда это будет поле, содержащее кореньданного неприводимого множителя.

Итак, f = (x−θ1 )g ∈ L1 [x], причём deg g = n−1. Значит, можно рассмотретьпростое алгебраическое расширение L2 для g, там будет ещё один корень θ2 , и так далее. Поскольку степеньмногочлена уменьшается на 1 при каждом расширении, не более, чем за n расширений мы придём к полю Lr ,над которым f разлагается на линейные множители.Определение.

Теперь рассмотрим пересечение всех подполей, содержащих корни θi . Оно тоже разлагаетмногочлен f на линейные множители, и кроме того обладает свойством минимальности, т. е. не существуетпромежуточного подполя, над которым f разлагается на линейные множители. Такое поле называется полемразложения многочлена f .Теорема 2.7.

Все поля разложения многочлена f ∈ K[x] изоморфны между собой над K. Будем вести доказательство индукцией по n = deg f > 1. Для n = 1 доказывать нечего, ибо полеразложения просто совпадает с K. Пусть утверждение теоремы верно для всех многочленов степени меньше nнад любым полем. Покажем, что и для n это справедливо. Пусть E и E ′ — поля разложения f ∈ K[x]. Выберемнеприводимый множитель p многочлена f , и пусть θ ∈ E : p(θ) = 0 и θ′ ∈ E ′ : p(θ′ ) = 0.

Тогда по теореме овложении получаем L := K(θ) = K[x] (p) ֒→ E и L′ := K(θ′ ) = K[x] (p) ֒→ E ′ . Тогда ясно, что L ∼= L′ над K.′′Отождествим в силу этого изоморфизма поля L и L , а также корни θ и θ . Поэтому далее можно считать, чтоL ⊂ E, L ⊂ E ′ . Заметим, что многочлен f представим над L как f = (x−θ)g, где deg g = n−1, g ∈ L[x]. Покажем,что E и E ′ есть поля разложения g. Действительно, если f разлагается над E на линейные множители, то и gразлагается. Однако, если бы существовало промежуточное подполе F над которым g разлагается, и L ⊂ F ( E,то F было бы полем разложения f , что невозможно. Аналогично устанавливаем, что E ′ есть поле разложения g.По предположению индукции имеем E ∼= E ′ над L.