В.Н. Латышев - Курс лекций по высшей алгебре

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций повысшей алгебреЛектор — Виктор Николаевич ЛатышевII курс, 3 семестр, поток математиковМосква, 2004 г.Оглавление1.2.3.Теория групп1.1. Группы .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Гомоморфизмы групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Системы порождающих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .1.4. Циклические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Разложение группы по подгруппе, теорема Лагранжа и её следствия . . . . . . . .1.6. Разложение по подгруппе. Конгруэнции. Нормальные подгруппы. Факторгруппы1.7. Теорема о гомоморфизме . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.8. Теорема о соответствии групп при эпиморфизме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................444555678Поля и кольца2.1. Кольца. Гомоморфизмы колец. Факторкольца . . . . . . . . . .2.2. Факторкольца многочленов. Алгебраические расширения. Поля2.3. Алгебраические элементы. Алгебраическая замкнутость . . . .2.4. Конечные поля .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .разложения многочленов. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .................8891111Конечнопорождённые абелевы группы3.1. Прямые произведения групп . . . . . . .

. . . . .3.1.1. Внутренние произведения . . . . . . . . .3.1.2. Внешние произведения . . . . . . . . . . .3.2. Конечнопорождённые абелевы группы . . . . . .3.3. Разложение на примарные циклические группы3.4. Инварианты групп . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................12121213141516Теоремы Силова. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161617184.Действия. Разрешимые группы.4.1. Действие группы на множестве .4.2.

Разрешимые группы . . . . . . .4.3. Теоремы Силова . . . . . . . . . .5.Элементы теории представлений5.1. Линейные представления групп . .5.2. Теорема Машке . . . . . . . . . . .5.3. Линейные представления абелевых5.4. Регулярные представления групп .6.7.................................................................................................................................................................................................................................................................1818192021Замечания и приложения большой теории6.1. Лирическое отступление о цикличности конечной подгруппы K ∗6.2. Разрешимость и неразрешимость групп .

. . . . . . . . . . . . . .6.3. Явный вид функции Эйлера и малая теорема Ферма . . . . . . .6.4. Китайская теорема об остатках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.5. Теорема Вильсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................222222232424Return to Linear Representations7.1. Пространство линейных отображений .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2. Кратность неприводимого представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3. Кратность неприводимых представлений в регулярном представлении . . . . . . .

. . . . . . . . .24242525. . . .. . . .групп. . . .............2........................................ВведениеПредисловиеАвтор данного документа будет признателен, если ему сообщат о замеченных в документе опечатках инеточностях. Документ не раз подвергался исправлениям, но мелкие ошибки всё ещё могут оставаться. В даннойверсии проведена ещё одна правка, в основном с целью улучшения читаемости.Последняя компиляция: 8 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.Список сокращений1◦ Аббревиатуры: «КПАГ»=«конечно порождённая абелева группа», «САГ»=«свободная абелева группа»,«КГИ»=«кольцо главных идеалов».2◦ Квадратными скобками мы будем обозначать коммутаторы элементов группы и наименьшее общее кратноецелых чисел.

Например, [a, b] = aba−1 b−1 и [6, 4, 5] = 60. К сожалению, обозначения одинаковые, но изконтекста, как правило, всегда ясно, о чём идёт речь. Для полноты картины заметим, что через [a, b] можетобозначаться векторное произведение и коммутатор векторных полей, но в нашем тексте этих вещей невстретится.3◦ Символом (a, b) мы будем обозначать наибольший общий делитель двух чисел или многочленов. Скалярноепроизведение, также часто обозначаемое круглыми скобками, в тексте не встретится.◦4 Буквой P мы будем обозначать множество простых чисел.Литература[1][2][3][4]М. Н.

Вельтищев. Конспекты лекций В. Н. Латышева по алгебре. 2004.А. В. Домбровская. Конспекты лекций Е. С. Голода по алгебре. 2004.А. И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III: Основные структуры. М.: ФизМатЛит, 2001.Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал – Пресс, 2002.31. Теория групп1.1. ГруппыОпределение. Группой называется непустое множество G c операцией ∗ : G×G −→ G, которая удовлетворяетаксиомам:1◦ (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) — ассоциативность операции.2◦ ∃ e ∈ G : ∀ a ∈ G имеем e ∗ a = a ∗ e = a — существование нейтрального элемента.3◦ ∀ a ∈ G ∃ a−1 : a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e — существование обратного элемента.Если ∀ a, b ∈ G имеет место свойство a ∗ b = b ∗ a, то группа называется коммутативной или абелевой.

Знакоперации, как и умножение, часто опускают, если используется мультипликативная терминология.Нейтральный элемент группы называется единицей.Легко видеть, что единица группы единственна: пусть e1 и e2 — две единицы группы. Тогда из свойствединицы следует, что e1 = e1 e2 = e2 , значит, e1 = e2 . Обратный элемент также единствен: пусть a−1 a = e иb−1 a = e. Тогда домножим второе равенство справа на a−1 , получим b−1 aa−1 = a−1 . Отсюда b−1 = a−1 .Определение. Подгруппой H группы G называется подмножество H ⊂ G, которое относительно операциив G само является группой.Достаточными условиями для подгруппы является её замкнутость относительно операции:1◦ a, b ∈ H → ab ∈ H.2◦ e ∈ H.3◦ ∀ a ∈ H имеем a−1 ∈ H.Утверждение 1.1 (Эквивалентное определение подгруппы). Непустое подмножество H ⊂ G будетподгруппой в G тогда и только тогда, когда a, b ∈ H ⇒ a−1 b ∈ H.

В одну сторону это очевидно, докажем в обратную сторону. Пусть ∀ a, b ∈ H имеем a−1 b ∈ H. Рассмотримa ∈ H. Тогда a−1 a = e ∈ H. Тогда ∀ a ∈ H имеем a−1 e = a−1 ∈ H. Пусть теперь a, b ∈ H, тогда a−1 ∈ H, значит,−1a−1b = ab ∈ H, и мы видим, что все свойства подгруппы выполнены. Пример 1.1.1◦ An ⊂ Sn — знакопеременная группа — подгруппа в группе подстановок.2◦ SOn ⊂ GLn (R) — подгруппа ортогональных матриц с определителем 1.Определение.

Порядок элемента g ∈ G — число O(g) := min {n : g n = e}. По определению, элемент бесконечного порядка — элемент, не имеющий порядка.2 3В конечных группах все элементы имеют конечный порядок, ибо все степени одного элемента e, g, g , g , . . . неmмогут быть различными. Положим n = O(g). Ясно, если g = e, то n m. В самом деле, пусть m = nq + r, r < n.Тогда g m = (g n )q · g r = g r = e, что невозможно, поскольку r < n. Значит, r = 0.1.2. Гомоморфизмы группОпределение.

Гомоморфизм групп (G, ∗) и (L, ◦) — отображение ϕ : G → L, сохраняющее операцию: ∀ a, b ∈∈ G имеем ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) ◦ ϕ(b).Пусть e — единица G, а e′ — единица в L. Покажем, что ϕ(e) = e′ . В самом деле, ϕ(e) = ϕ(ee) = ϕ(e)ϕ(e),значит, ϕ(e) — нейтральный элемент в L. Покажем, что ϕ(a−1 ) = ϕ(a)−1 . В самом деле, рассмотрим e′ = ϕ(e) == ϕ(aa−1 ) = ϕ(a)ϕ(a−1 ), т.

е. ϕ(a−1 ) — обратный элемент по отношению к ϕ(a).Определение. Биективный гомоморфизм ϕ : G → L называется изоморфизмом групп. При этом говорят,что группы G и L изоморфны, и пишут G ∼= L. Изоморфизм группы на себя называется автоморфизмом.Определение. Ядро гомоморфизма ϕ — множество Ker ϕ := {g ∈ G : ϕ(g) = e′ }. Образ гомоморфизма —множество Im ϕ := {x ∈ L : ∃ g ∈ G : ϕ(g) = x}.Утверждение 1.2. Ker ϕ является подгруппой в G, Im ϕ является подгруппой в L. Пусть g, h ∈ Ker ϕ. Тогда ϕ(gh) = ϕ(g)ϕ(h) = e′ e′ = e′ ⇒ gh ∈ Ker ϕ. Очевидно, e ∈ Ker ϕ.

Кроме того,если g ∈ Ker ϕ, то ϕ(g −1 ) = ϕ(g)−1 = e′−1 = e′ ⇒ g −1 ∈ Ker ϕ.Пусть x, y ∈ Im ϕ, тогда ∃ g, h ∈ G : x = ϕ(g), y = ϕ(h). Тогда x−1 y = ϕ(g)−1 ϕ(h) = ϕ(g −1 h) ∈ Im ϕ. Используяэквивалентное определение подгруппы, получаем требуемое утверждение. Определение. Инъективный гомоморфизм называется вложением группы G в группу L и обозначаетсяϕ : G ֒→ L. В этом случае G ∼= Im ϕ.Заметим, что гомоморфизм инъективен ⇔ Ker ϕ = {e}. В самом деле, пусть Ker ϕ = {e}.