В.Н. Латышев - Курс лекций по высшей алгебре, страница 2

Тогда ϕ(a) = ϕ(b) ⇔⇔ ϕ(a−1 b) = e′ ⇔ a−1 b = e ⇔ a = b. Обратно, пусть гомоморфизм инъективен. Тогда a ∈ Ker ϕ ⇔ ϕ(a) = e′ . Ноϕ(e) = e′ , и в силу инъективности a = e. Значит, Ker ϕ содержит только e.4Пусть ϕ : G → L — гомоморфизм, и H — подгруппа в G. Покажем, что K = ϕ(H) — подгруппа в L.Рассмотрим x, y ∈ K. Тогда ∃ a, b ∈ H : x = ϕ(a), y = ϕ(b). Тогда xy = ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(ab), значит, xy ∈ K.Поскольку e ∈ H, а ϕ(e) = e′ , получаем, что e′ ∈ K. Покажем, что x−1 ∈ K. Действительно, x−1 = ϕ(a−1 ) ∈ K,поскольку a−1 ∈ H.Определение.

Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом.Пусть ϕ : G → L — эпиморфизм, и K — подгруппа в L. Тогда H = ϕ−1 (K) — подгруппа в G. В самом деле,пусть x, y ∈ H, тогда ϕ(x), ϕ(y) ∈ K. Рассмотрим ϕ(x−1 y) = ϕ(x)−1 ϕ(y) ∈ K. Следовательно, x−1 y ∈ H, значит,H — подгруппа.Пример 2.1.2πk1◦ Пусть n ∈ N. Рассмотрим ϕ : (Z, +) → C∗ , определённый по правилу ϕ : k 7→ εk = cos 2πkn + i sin n . Тогдаϕ — гомоморфизм. Очевидно, Ker ϕ = nZ.2◦ Левый сдвиг. Пусть G — группа. Фиксируем g ∈ G, и рассмотрим отображение Lg : G → G, определённоепо правилу Lg : x 7→ gx. Покажем, что Lg ∈ SG , где SG — группа подстановок множества G. Действительно,оно сюръективно: Lg (g −1 x) = g(g −1 x) = x.

Кроме того, Lg (x) = Lg (y) ⇔ gx = gy ⇔ x = y. Значит, этоинъекция. Теперь рассмотрим множество всех левых сдвигов LG := {Lg : g ∈ G}. Это подгруппа в SG , посколькупроизведение сдвигов на элементы g1 и g2 есть левый сдвиг на элемент g1 g2 , нейтральным элементом в LG будетлевый сдвиг на e ∈ G, обратным к сдвигу на g — сдвиг на g −1 .

Таким образом, LG ⊂ SG .Теорема 1.3 (Кэли). Пусть G — группа. Тогда ∃ инъективный гомоморфизм G ֒→ SG . Рассмотрим ϕ : G → SG по правилу ϕ : g 7→ Lg . Тогда ϕ — искомый гомоморфизм, ибо ϕ(g1 g2 ) = Lg1 g2 == Lg1 Lg2 = ϕ(g1 )ϕ(g2 ), а его инъективность очевидна. 1.3. Системы порождающихОчевидно, что если A ⊂ G и B ⊂ G — подгруппы, то A ∩ B тоже будет подгруппой G.Определение. Фиксируем в группе G несколько элементов A = {a1 , . . . , am , .

. . }. Подгруппой H, порождённой системой A, называется пересечение всех подгрупп G, содержащих A.Изучим строение H. Ясно, что H содержит все элементы вида aεi11 · . . . · aεirr , где εj = ±1, а r ∈ N, причёмсреди i1 , . . . , ir могут быть одинаковые числа. Такие произведения образуют подгруппу в G, и она являетсяодной из подгруппG, содержащихA. Значит, элементов, не представимых в таком виде, в H быть не может,откуда H = aεi11 · . . .

· aεirr . Если H = G, то говорят, что A порождает G.1.4. Циклические группыОпределение. Пусть a ∈ G порождает группу G. Тогда G — циклическая группа, обозначаемая G = hai.Теорема 1.4. Всякая подгруппа циклической группы является циклической группой. В самом деле, пусть G = hai, и H ⊂ G. Если H = {e}, то доказыватьнечего,ибо H = hei.

Пусть am ∈ H,−mmkтогда a∈ H. Положим k = min {m ∈ N : a ∈ H}. Покажем, что H = a . В самом деле, пусть am ∈ H,q−qтогда, поделив с остатком, имеем m = kq + r, r < k. Тогда am = ak ar , следовательно, ar = am ak∈ H,поскольку каждый множитель принадлежит H. Но поскольку мы выбрали k минимальным, r = 0, и любойэлемент из H есть некоторая степень элемента ak . Теорема 1.5. Все бесконечные циклические группы изоморфны (Z, +). Все конечные циклические группыизоморфны Un .

Пусть G = hai. Возможны2 случая.1◦ O(a) = ∞. Тогда G = . . . , a−2 , a−1 , e, a1 , a2 , . . . . Все степени элемента a здесь различны, поэтому |G| == ∞. Рассмотрим ϕ : G → Z по правилу am 7→ m. Биективность отображения очевидна. Докажем сохранениеlоперации: ϕ(ak al ) = ϕ(ak+l ) =l = ϕ(ak ) + ϕ(a k+ ).

Значит, ϕ — изоморфизм.m◦1 2n−12 O(a) = n. Тогда G = e, a , a , . . . , a. В самом деле, рассмотрим a = anq+r = eq · ar = ar . Теперь2πможно построить изоморфизм ϕ : G → Un по правилу am 7→ εm , где ε = cos 2πn + i sin n . Проверим корректность:mlmlm−lmla = a ⇒ ε = ε . Действительно, имеем a= e, значит, n (m − l), отсюда εm−l = 1, отсюда ε = ε.mlmlСюръективность очевидна. Покажем инъективность. Рассмотрим ϕ(a ) = ϕ(a ) ⇔ ε = ε ⇔ n (m − l) ⇔⇔ am−l = e ⇔ am = al .

Сохранение операции очевидно. Следовательно, ϕ — изоморфизм. 1.5. Разложение группы по подгруппе, теорема Лагранжа и её следствияОпределение. Пусть H — подгруппа в G. Фиксируем a ∈ G, тогда aH = {ah : h ∈ H} — левый смежныйкласс элемента a по подгруппе H.5Аналогично определяется правый смежный класс Ha. Рассмотрим отображение ϕ : H → aH по правилуϕ : h 7→ ah. Сюръективность очевидна, а инъективность следует из того, что если ah1 = ah2 , то, домножая слевана a−1 , получаем h1 = h2 .

Следовательно, |H| = |aH|.Теорема 1.6 (Лагранжа). Пусть j — количество левых смежных классов по H. Тогда |G| = |H| · j. Различные смежные классы не пересекаются. В самом деле, рассмотрим aH и bH. Пусть g ∈ aH ∩ bH,−1значит, g = ah1 = bh2 , отсюда a = bh2 h−11 , значит, a ∈ bH, поскольку h2 h1 ∈ H. Но тогда aH ⊂ bH, поскольку−1∀ h ∈ H имеем bh2 h1 h ∈ bH.

Из соображений симметрии, bH ⊂ aH. Значит, aH = bH. Значит, смежные классылибо не пересекаются, либо совпадают. Значит, они образуют разбиение группы G на j частей. Поскольку всесмежные классы равномощны H, получаем, что |G| = |H| · j. Замечание. Точно также можно доказать, что |G| = |H| · j, где j — количество правых смежных классовпо H. Отсюда следует, что число правых и число левых смежных классов совпадает.

Оно называется индексомподгруппы H и обозначается (G : H).Следствие 1.1. |H| |G|, (G : H) |G|, O(a) |G|, ∀ a ∈ G. Первые два утверждения следуют из теоремы Лагранжа, а третье следует из того, что можно рассмотреть циклическую группу hai, для которой имеем | hai | = O(a). Следствие 1.2.

Если |G| = p, где p ∈ P, то G — циклическая группа. ∃ a ∈ G : O(a) = p, поскольку порядки всех элементов не могут быть равны единице. Тогда hai = G. 1.6. Разложение по подгруппе. Конгруэнции. Нормальные подгруппы. ФакторгруппыПусть H — подгруппа в G. Рассмотрим отношение a ∼ b ⇔ a−1 b ∈ H, a, b ∈ G. Покажем, что ∼ задаётотношение эквивалентности на G. Действительно, a ∼ a, ибо a−1 a = e ∈ H. Симметричность: b ∼ a ⇔ b−1 a ∈−1∈ H ⇔ b−1 a∈ H ⇔ a−1 b ∈ H ⇔ a ∼ b. Транзитивность: a ∼ b, b ∼ c ⇔ a−1 b ∈ H, b−1 c ∈ H ⇒ (a−1 b)(b−1 c) ∈−1∈ H ⇒ a c ∈ H ⇒ a ∼ c.Заметим, что aH = bH ⇔ a−1 b ∈ H.

В самом деле, b = ah ⇔ a−1 b = h ∈ H. Следовательно, классыэквивалентности, задаваемые ∼, есть в точности смежные классы: [a] = aH.Определение. Конгруэнция на множестве с операцией. Рассмотрим (G, ∗), и пусть ∼ задаёт некотороеотношение эквивалентности на G. Тогда назовём ∼ конгруэнцией, если она согласована с операцией в G: a ∼∼ a′ , b ∼ b′ ⇒ a∗b ∼ a′ ∗b′ . Это означает, что можно выбрать других представителей из классов эквивалентности,и это не повлияет на результат умножения.

Определение. Если ∼ — конгруэнция, то имеет смысл рассмотреть фактормножество G ∼ , ∗ классовэквивалентности с операцией ∗. Поскольку ∼ — конгруэнция, имеем [a] ∗ [b] = [a ∗ b], и тогда ∗ называетсяестественной операцией.Если G — группа, то для фактормножества выполняютсявсе аксиомы группы: ассоциативность: [a] ∗ [b] ∗ [c] = [a ∗ b] ∗ [c] = [a ∗ b ∗ c] = [a] ∗ [b ∗ c] = [a] ∗ [b] ∗ [c] , существование нейтрального−1−1−1элемента: [a]∗[e] = [e]∗[a] = [a] и существование обратного элемента: [a]∗[a ] = [e], следовательно, [a ] = [a] .GИтак, ∼ — факторгруппа.Заметим, что разбиение на смежные классы по подгруппе не обязательно задаёт конгруэнцию.

Определимкласс подгрупп, факторизация по которым её задаёт.Определение. Нормальная подгруппа (инвариантная подгруппа, нормальный делитель) — подгруппа Hгруппы G, такая, что ∀ a ∈ G имеем aH = Ha. Обозначение: H ⊳ G.Заметим, что в абелевой группе любая подгруппа нормальна. Нормальные подгруппы существуют в любойгруппе: G ⊳ G, {e} ⊳ G.Определение. Группа называется простой, если в ней нет нормальных подгрупп, кроме тривиальных.Определение. Элементы x, y ∈ G называются сопряжёнными, если ∃ g ∈ G : y = gxg −1 .

Говорят, что xсопряжён с y через g.Покажем, что сопряжение задаёт отношение эквивалентности: x ∼ y ⇔ y = gxg −1 для некоторого g ∈ G.В самом деле, имеет место рефлексивность: x ∼ x, ибо x = exe−1 . Докажем симметричность: x ∼ y ⇒ y ∼ x.−1Действительно, если y = gxg −1 , то x = g −1 yg = g −1 y g −1. Транзитивность: пусть x ∼ y, y ∼ z. Тогдаy = g1 xg1−1 , z = g2 yg2−1 . Отсюда z = (g2Sg1 )x(g2 g1 )−1 , значит, x ∼ z. Таким образом, группу G можно разбить наклассы сопряжённых элементов: G = Kx , Kx := {y ∈ G : y ∼ x}.Рассмотрим группу автоморфизмов Aut G ⊂ SG группы G. Фиксируем g ∈ G. Рассмотрим отображениеIg : G → G по правилу Ig : x 7→ gxg −1 . Покажем, что Ig ∈ Aut G.