В.Н. Латышев - Курс лекций по высшей алгебре, страница 5

Поскольку K ⊂ L, тем более имеет место изоморфизм E ∼= E′10над K. 2.3. Алгебраические элементы. Алгебраическая замкнутостьТеорема 2.8 (О простых подполях). Пусть K — поле. Если char K = 0, то Q ֒→ K. Если char K 6= 0,то Fp ֒→ K.−1. Очевидно, Пусть char K = 0. Рассмотрим ϕ : Q → K, определённое по правилу ϕ : mn 7→ (m · 1)(n · 1)ϕ сохраняет операцию. Но ϕ инъективно по теореме об инъективности. Пусть char K=p,тогдаp∈ P. Пустьϕ : Z → K — гомоморфизм, где ϕ : m 7→ m·1.

Имеем: m ∈ Ker ϕ ⇔ ϕ(m) = me = 0 ⇔ p m. Значит, Ker ϕ = (p)⊳Z.Отсюда по теореме о гомоморфизмах колец Fp = Z (p) ֒→ K. Определение. Пусть F — простое алгебраическое расширение поля K. Обозначим через [F : K] размерность dimK F , которая, по доказанному выше, есть степень неприводимого многочлена, по которому мы проводили факторизацию.Определение.

Элемент α ∈ F называется алгебраическим над K, если ∃ f ∈ K[x] : f (α) = 0.Если [F : K] < ∞, то все элементы F алгебраические. В самом деле, пусть m := [F : K]. Рассмотримα ∈ F и пусть n > m. Рассмотрим элементы e, α, α2 , . . . , αn . Они будут линейно зависимы, значит, найдётсянетривиальная линейная комбинация c0 e + c1 α + .

. . + cn αn = 0. Тогда c0 , . . . , cn и будут коэффициентамиискомого многочлена, имеющего корень α.Теорема 2.9 (О размерности короткой башни полей). Пусть K ⊂ L ⊂ F — короткая башня полей, и[F : L] < ∞ и [L : K] < ∞. Тогда [F : K] = [F : L] · [L : K]. В самом деле, пусть x1 , .

. . , xm — базис L над K, а y1 , . . . , yn — базис F над L. Докажем, что B = {xi yj }будет базисом F над K, откуда и будет следовать утверждение теоремы. Покажем, что через B выражаетсялюбой элемент F . В самом деле, пусть z ∈ F , тогда z = β1 y1 + . .

. + βn yn , где βj ∈ L. Отсюда βj = α1j x1 +n PmPαij xi yj , и выразимость+ . . . + αmj xm . Значит, если мы подставим βj в выражение для z, получим z =j=1 i=1PP Pдоказана. Теперь докажем линейнуюнезависимость.Пусть0=cxy=cxyj = 0. Но посколькуijijijiPcij ∈ K, получаем, что rj :=cij xi ∈ L, значит, поскольку {yj } — базис, получаем, что rj = 0, ∀ j.

Но так как{xi } — базис, получаем, что при каждом j имеем cij = 0, ∀ i. Итак, все cij = 0, значит, только тривиальныелинейные комбинации векторов B могут быть равны 0. Значит, B — базис. Следствие 2.1. Пусть E — поле разложения многочлена f ∈ K[x]. Тогда [E : K] < ∞. Как было показано ранее, если p — неприводим, то K[x] (p) — поле размерности deg p над K, поэтому,как следует из алгоритма построения поля разложения, его размерность над K по предыдущей теореме будетконечна, ибо мы расширяем поле не более deg f раз.

Определение. Пусть F — алгебраически замкнутое расширение поля K. Напомним, что алгебраическаязамкнутость поля означает, что любой многочлен положительной степени над этим полем имеет в нём корни.Пусть K — множество корней в F многочленов из K[x]. K называется алгебраическим замыканием поля K.Теорема 2.10. Множество K является алгебраически замкнутым подполем F . Покажем, что K — подполе. Пусть f1 , f2 ∈ K[x] и f1 (α1 ) = 0, f2 (α2 ) = 0, где αi ∈ K. Возьмём f := f1 f2 ,тогда αi — его корни. Пусть E ֒→ F — поле разложения f .

E — поле, значит, α1 α2 , α−11 , α1 + α2 ∈ E. Так как[E : K] < ∞, все элементы E алгебраичны над K, значит, все они лежат в K.Покажем, что K алгебраически замкнуто. Рассмотрим f = cn xn + . . . + c0 ∈ K[x]. Расширим поле K,присоединив к нему все ci , получим поле E. Тогда E ֒→ F и [E : K] < ∞. Теперь можно утверждать, чтоf ∈ E[x]. В силу алгебраической замкнутости F , ∃ θ ∈ F : f (θ) = 0. Пусть E(θ) ֒→ F — расширение, полученноеприсоединением корня θ. Тогда [E(θ) : E] < ∞.

По теореме о короткой башне полей имеем [E(θ) : K] < ∞,откуда все элементы E(θ) алгебраичны над K. Значит, θ есть корень некоторого многочлена из K[x] и потомуθ ∈ K. Пример 3.1. Рассмотрим C ⊃ Q. Рассмотрим подполе алгебраических чисел Q. Остальные числа C r Qназываются трансцендентными.Заметим, что множество трансцендентных чисел имеет мощность континуум, в то время как Q = ℵ0 .2.4. Конечные поляПусть Fq — конечное поле порядка q. Очевидно, char Fq = p ∈ P. Мы знаем, что Fp ֒→ Fq и [Fq : Fp ] < ∞в силу конечности полей. Пусть y ∈ Fq , тогда ∃ ! разложение вида y = c1 x1 + .

. . + cn xn , где ci ∈ Fp . Тогдамощность Fq будет равна количеству строк вида (c1 , . . . , cn ), а их, очевидно, будет pn штук, отсюда |Fq | = pn .11pPp i p−iПусть x, y ∈ Fq . Покажем, что (x + y)p = xp + y p . В самом деле, имеем (x + y)p =. Но так какi x y0 ppp i при i 6= 0, i 6= p, то для таких i в поле характеристики p будем иметь i = 0. Тогда (x + y)p = xp + y p .nnИмеем |Fq∗ | = pn − 1. По теореме Лагранжа имеем для a ∈ Fq∗ соотношение ap −1 = 1. Тогда ap = a.nРассмотрим f (x) = xp −x ∈ Fp [x]. Тогда любой элемент Fq является его корнем. Но у него не может быть большеnp корней по теореме Безу, поэтому Fq — поле разложения этого многочлена.

Отсюда следует единственностьс точностью до изоморфизма поля из pn элементов, поскольку все они будут изоморфны как поля разложениянекоторого многочлена.nТеперь докажем, что такие поля существуют. Рассмотрим p ∈ P и n ∈ N. Пусть f = xp − x ∈ Fp [x].′n pn −1Рассмотрим формальную производную этого многочлена: получим f = p x− 1 = −1 в Fp [x].

Значит, у негонет кратных корней. Пусть E — поле разложения f . Покажем, что все корни f образуют подполе µ ⊂ E. Пустьnnnnnf (α) = 0, f (β) = 0. Имеем αp = α и β p = β. Рассмотрим (α + β)p = αp + β p = α + β. Отсюда f (α + β) = 0.Совершенно аналогично показывается, что произведение корней αβ и α−1 также лежат в подполе µ. Тогда,поскольку E — минимальное поле, над которым f разложим на линейные множители, получаем, что E = µ.Отсюда |E| = pn .Теорема 2.11.

Инъекция Fpn ֒→ Fpm существует ⇔ n m. Пусть инъекция существует. Тогда положим r := [Fpm : Fpn ]. По теореме о размерности короткой башниполей Fp ⊂ Fpn ⊂ Fpm получаем nr = m, что и требуется.mmrОбратно, пусть m = nr. Имеем pm −1 = pnr −1 = (pn ) −1 = (pn −1)t. Имеем также xp −x = xp −1 − 1 x =nnmn= x x(p −1)t − 1 = x xp −1 − 1 g(x), где вид g нас не интересует. Отсюда xp − x = (xp − x)g(x). Значит, всеnmкорни многочлена xp − x являются корнями многочлена xp − x.

Из этого следует вложение. Теорема 2.12. Пусть a, b ∈ G, ab = ba, haim ∩ hbin = {e}. Тогда O(ab) = [m, n]. Имеем (ab)s = e ⇔ as bs = e ⇔ as = b−s . Но as ∈ hai, а b−s ∈ hbi, значит, поскольку пересечение толькопо единице, получаем as = e, b−s = e. Значит, m s, n s, откуда [m, n] s. Поэтому O(ab) = [m, n].

В случае, если(m, n) = 1, получаем, что O(ab) = mn. Определение. Пусть n = ps · k, причём (k, p) = 1 и p ∈ P. Тогда ps называется примарным делителемчисла n по p.Теорема 2.13. Мультипликативная группа конечного поля является циклической. Пусть Fq — поле порядка q, значит, |Fq∗ | = q − 1. Рассмотрим элемент a максимального порядка в∗Fq : O(a) = n. Покажем, что Fq∗ = hain . Допустим противное, именно, ∃ b : b ∈/ hai. Рассмотрим произвольноеp ∈ P среди делителей n.

Возьмём примарный по p делитель: n = ps k. Рассмотрим m := O(b).Представим msв виде m = pt r, и покажем, что s > t. В самом деле, допустим, s < t. Тогда рассмотрим ap k ∩ hbr ipt = {e},поскольку по теореме Лагранжа порядок элемента из пересечения делит и k, и pt , а они взаимно просты. Тогдаsпо предыдущей теореме получаем, что O ap · br = kpt > kps = n. Этого не может быть, ведь мы выбралиэлемент максимального порядка. Значит, получаем, что m n, ибо число p можно было брать любым.

Тогдаполучаем, что уравнение xn = 1 имеет n + 1 корень: n корней из hain и ещё корень b. Такого не бывает, значит,hain = Fq∗ . Теорема 2.14. Над конечным полем Fq , где q = pm и char Fq = p, существуют неприводимые многочленылюбой степени.n Найдём многочлен степени n над полем Fq . Рассмотрим поле Fr , где r = q . Такое поле существует,mnибо r = p . Так как m mn, существует вложение Fq ֒→ Fr , причём dimFq Fr = n. По предыдущей теоремеFr∗ = hθir−1 . Рассмотрим отображение ϕ : Fq [x] → Fr по правилу ϕ : f 7→ f (θ). Поскольку ϕ(0) = 0, а ϕ(xk ) = θk ,получаем, что ϕ — эпиморфизм.

По теореме о гомоморфизмах колец имеем Fq [x] Ker ϕ ∼= Fr . Заметим, чтоKer ϕ — главный идеал, порождённый некоторым неприводимым многочленом d. Действительно, если бы онбыл приводим, фактор по нему не был бы полем. Поскольку dimFq Fr = n, получаем, что deg d = n, и многочленнайден. 3. Конечнопорождённые абелевы группы3.1.

Прямые произведения групп3.1.1. Внутренние произведенияОпределение. Произведением подмножеств A1 , . . . , Am группы G назовём множествоA1 · . . . · Am := {a1 · . . . · am | ai ∈ Ai } .12Пусть A, B ⊂ G. Скажем, что A и B коммутируют как подмножества, если AB = BA. Подмножества A и Bкоммутируют поэлементно, если ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B имеем ab = ba.Очевидно, если подмножества коммутируют поэлементно, то они коммутируют и как подмножества.Задача 3.1. Приведите пример двух коммутирующих подмножеств, не коммутирующих поэлементно.Пусть A, B — подгруппы G.Задача 3.2.