В.Н. Латышев - Курс лекций по высшей алгебре, страница 10

. · ϕm (gm ) · ϕ1 (g1′ ) · . . . · ϕm (gm) == ϕ(g)ϕ(g ′ ). Обратно, пусть ϕ : G → L — гомоморфизм, а ϕi = ϕ . Тогда из свойств гомоморфизма и свойствGiограничений следует, что ϕ(g) = ϕ(g1 ) · . . . · ϕ(gm ) = ϕ1 (g1 ) · . . . · ϕm (gm ). Рассмотрим все неприводимые представления G в C∗ , где G — КПАГ. Как мы знаем, наша группа разлагаетсяв прямое произведение (нам будет удобна мультипликативная терминология): G = hx1 i∞ × . . .

× hxr i∞ × . . . ×× ha1 in1 × . . . × has ins . В данном случае неважно, являются ли конечные прямые множители примарными илинет. Нам необходимо изучить гомоморфизмы вида ϕ : G → C∗ . По лемме, необходимо изучить ограничения ϕ накаждое из слагаемых. Поэтому можно считать, что теперь группа G состоит всего из одного прямого множителя.Возможны два случая.1◦ Пусть G — САГ ранга 1, т. е.

G = hxi∞ . Поскольку ϕ — гомоморфизм, достаточно задать образ порождающей: пусть ϕ(x) = c ∈ C∗ . Тогда ϕ(xk ) = ϕ(x)k = ck , т. е. ϕ : xm 7→ cm , и других возможностей нет.2◦ Пусть G = hain ∼= Un . Мы знаем, что ϕ определяется образом одного порождающего элемента. Пустьϕ(a) = ε ∈ C∗ , тогда ϕ(am ) = εm . Имеем ϕ(an ) = ϕ(e) = 1, откуда εn = 1. Таким образом, ε должен быть некоторым корнем n-ой степени из 1, т. е. ε ∈ Un .

Обратно, если ε ∈ Un , то отображение, заданное по правилу ϕ : a 7→ ε,продолжается до гомоморфизма по правилу am 7→ εm . Здесь, конечно, надо проверить корректность данного?отображения: если ak = al , то ϕ(ak ) = ϕ(al ). Но мы не первый раз сталкиваемся с такого рода гомоморфизмами:подобную проверку мы уже проводили, когда доказывали изоморфизм hain ∼= Un в первой главе.Итак, если G = hx1 i∞ × . .

.× hxr i∞ × . . . × ha1 in1 × . . . × has ins . Тогда гомоморфизмы ϕ : G → C∗ определяютсяпо правилу ϕ : g = xk11 · . . . · xkr r · al11 · . . . · alss 7→ ck11 · . . . · ckr r · εl11 · . . . · εlss , где ci ∈ C∗ , а εi ∈ Uni , и других нет.5.4. Регулярные представления группОпределение. Пусть K — поле, а |G| = n. Приступим к изготовлению групповой алгебры KG. ПустьnPonG = {g1 , . . .

, gn }, тогда KG :=αi gi , где αi ∈ K. Определим сложение и умножение на скаляры: пустьi=1PPPPx=αi gi , y =βi gi , λ ∈ K, тогда x + y := (αi + βi )gi и λx := (λαi )gi . Можно отождествить 1 · gi ↔ gi ,и тогда G ֒→ KG. Из определения следует, что базисом в KG будут элементы группы, отсюда dim KG = n.Можно ввести умножение элементов в KG: его достаточно задать на базисных векторах, но их мы умеемперемножать, поскольку это просто элементы группы G.

Тогда это будет ассоциативная алгебра с единицей надK. Построенное пространство KG называется групповой алгеброй над K.Определение. Рассмотрим представление (G, Λ, KG), называемое регулярным. Пусть g ∈ G, Определимлинейные операторы Λ : KG → KG по правилу Λ(g) = Lg , т. е. это левый сдвиг на элемент g. Таким образом,Λ(g) будет как-то переставлять базисные вектора. Следовательно, он невырожден, поскольку базис переходитв базис.Рассмотрим регулярное представление (G, Λ, KG) и другое представлениеPP G, ρ, V (K) . Фиксируем x ∈∈ V .

Рассмотрим ϕx : KG → V , действующее по правилу ϕx :αi gi 7→αi ρ(gi )x. Несложно показать,что ϕx является линейным отображением KG → V . Покажем, что ϕзадаётгомоморфизм представленийPxPPΛ → ρ. В самом деле,проверимсогласованностьсдействием:ϕΛ(g)αg=ϕαggαi ρ(ggi )x =xi ixii =PP= ρ(g)αi ρ(gi )x = ρ(g)ϕxαi gi , и таким образом, операция действительно согласована. Далее, имеемϕx (e) = ρ(e)x = id x = x. Таким образом,Покажем, что никаких других гомоморфизмов Λ → ρ не существует. Именно, если ϕ : Λ → ρ — гомоморфизмпредставлений, то ϕ совпадает с некоторым ϕx . В самом деле, пусть x := ϕ(e). Тогда для базисных векторовимеем ϕ(g) = ϕ(ge) = ϕ Λ(g)e = ρ(g)ϕ(e) = ρ(g)x = ϕx (g).Теорема 5.9 (Универсальное свойство регулярного представления).

В условиях теоремы Машкевсякое неприводимое представление G изоморфно некоторому подпредставлению регулярного представления. Рассмотрим регулярное представление (G, Λ, KG). По теореме Машке оно разложимо в прямую сумму21неприводимых представлений: Λ =mLρi . Тогда KG =i=1mLVi , где Vi являются G-инвариантными подпростран-i=1ствами. Рассмотрим произвольное неприводимое представление (G, ρ, V (K)).

Пусть x ∈ V — ненулевой вектор.Рассмотрим ϕx : Λ → ρ, а это отображение, как мы знаем, есть гомоморфизм представлений. Оно ненулевое, поскольку ϕx (e) = x. Имеем Im ϕx 6= 0. Но Im ϕx есть G-инвариантное подпространство. По лемме Шура получаемIm ϕx = V . Рассмотрим ограничение ϕx : ρi → ρ. По лемме Шура получаем, что это либо нулевое отображеViние, либо изоморфизм. Но поскольку ϕx ненулевое, значит, ∃ i : ρi ∼= ρ. В самом деле, в силу неприводимости ρ,оно не может быть изоморфно прямой сумме нескольких ρi , но кому-то из них — обязательно. Следствие 5.2. В условиях теоремы Машке группа обладает конечным числом различных неприводимыхпредставлений. Любое неприводимое представление оказалось изоморфно некоторому подпредставлению регулярногопредставления, а их конечное число.

6. Замечания и приложения большой теории6.1. Лирическое отступление о цикличности конечной подгруппы K ∗Определение. Экспонента группы G — число d := min k ∈ N : ∀ x ∈ G xk = e . Обозначение: exp G.Рассмотрим группу G и её примарное разложение. Пусть |G| = n. Группа будет циклической тогда и толькотогда, когда в ней есть элементпорядка n. Пусть G = ha1 in1 × .

. . × has ins . Тогда n = n1 · . . . · ns . Далее, для ∀ x == (x1 , . . . , xs ) имеем O(xi ) ni . Ясно,a = (a1 , . . . , as ) имеет наибольший порядок в группе, поскольку что элементO(ai ) = ni . Очевидно, что O(a) = n1 , . . . , ns . Значит, G будет циклической группой ⇔ числа n1 , . . . , ns взаимнопросты, поскольку тогда их наименьшее общее кратное совпадёт с их произведением, то есть с n. Отсюда следует,что группа циклическая ⇔ exp G = |G|.Теорема 6.1.

Конечная подгруппа G ⊂ K ∗ является циклической. Пусть d = exp G. Имеем xd = 1 ∀ x ∈ G по определению экспоненты. Поскольку уравнение xd − 1 = 0имеет не более d корней, получаем, что |G| 6 d. Но это означает, что |G| = d, поскольку случай |G| < dневозможен. А это и означает цикличность G. 6.2. Разрешимость и неразрешимость групп1◦ Подгруппа разрешимой группы разрешима, поскольку если H ⊂ G, то H (i) ⊂ G(i) .G◦2 Пусть H ⊳ G разрешима и G = H разрешима. Тогда G разрешима. В самом деле, рассмотрим естествен(m)= {e}, а поскольку коммутант при гомоморфизме лежит в коммутанте(n)образа, получаем G⊂ H. Имеем H= {e}. Поэтому G(m)⊂ H (n) = {e}, откуда G(m+n) = {e}.G◦′3 Пусть H ⊳ G. Тогда G = H абелева ⇔ G ⊂ H.

Действительно, G абелева ⇔ [a, b] = e ⇔ [a, b] ∈ H ⇔⇔ G′ ⊂ H.Теорема 6.2. Группа верхнетреугольных матриц UTn (K) ⊂ GLn (K) разрешима. Обозначим нашу группу через Gn . Рассмотрим ϕ : Gn → GLn , определённый по правилуλ1∗λ10....ϕ:  7→ ...ный эпиморфизм π : G → G. Имеем G(m)(n)00λnλnТо, что это гомоморфизм, очевидно, поскольку диагональный элемент произведения верхнетреугольных матрицесть произведение соответствующих диагональных элементов. Не менее очевидно, что Ker ϕ есть подгруппаунитреугольных матриц (это верхнетреугольные матрицы с единицами на главной диагонали), обозначим её Hn .Тогда Hn ⊳ Gn . Болеетого, поскольку Im ϕ — это просто диагональные матрицы, по теореме о гомоморфизмеполучаем, что Gn Hn абелева и потому разрешима.

Осталось доказать, что Hn разрешима, тогда в силу 2◦ группаGn разрешима.Проведём доказательство разрешимости Hn по индукции: для n = 1доказыватьn > 1, нечего. ПустьA′ uB′ vи предположение индукции верно для Hk при k < n. Рассмотрим A =, B =, где0 101 ′ ′ABA′ v + uA′ , B ′ ∈ Hn−1 , а u, v — столбцы высоты n − 1. Заметим, что AB =. Рассмотрим отоб01ражение ϕ : Hn → Hn−1 , определённое по правилу ϕ : A 7→ A′ .

Очевидно, что ϕ — гомоморфизм с ядром22En−1 uKn := Au :=, где En−1 — единичная матрица, а u — столбец. Легко видеть, что Kn абелева,01поскольку Au · Av = Au+v = Av+u = Av · Au , ибо сложение столбцов коммутативно. По теореме о гомоморфизме имеем Hn−1 = Hn Kn .