В.Н. Латышев - Курс лекций по высшей алгебре, страница 8

Действительно, если z ∈ Orb x ∩ Orb y, то Orb x = Orb z = Orb y. Кроме того, сам элемент всегдалежит на своей орбите, поскольку ex = x.Покажем, что стабилизаторы элементов одной и той же орбиты сопряжены. Рассмотрим St x, St y, причёмy = gx. Рассмотрим a ∈ G и посмотрим, когда a ∈ St gx. Имеем a(gx) = gx ⇔ (g −1 ag)x = x ⇔ g −1 ag ∈ St x.Положим h = g −1 ag, тогда a = ghg −1 ∈ g(St x)g −1 , что и требовалось доказать.Покажем, что | Orb x| = (G : St x), если |G| < ∞, |M| < ∞. В самом деле, если элементы орбиты совпадают,т. е. g1 x = g2 x ⇔ (g1−1 g2 )x = x ⇔ g1−1 g2 ∈ St x, откуда g1 St x = g2 St x, т. е. смежные классы по стабилизаторусовпадают.

Следовательно, если мы будем брать разные элементы из орбиты, то им будут соответствоватьразные смежные классы. А их количество как раз и есть (G : St x).Пример 1.1. Пусть H ⊂ G — подгруппа, M := G, а действовать на M будем левыми сдвигами: ρ(g) = Lg .Тогда Orb g = Hg.16−1ПримерГруппа 1.2. G действует на себе сопряжениями: Ig x = gxg . Рассмотрим орбиты при сопряжении:−1Orb x = gxg : g ∈ G = Kx — класс сопряжённости элемента x. Отсюда следует, что классы сопряжённостине пересекаются.

При таком действии стабилизатор называется централизатором и обозначается Nx . Заметим,что Nx содержит в себе все элементы группы, коммутирующие с x.Определение. Множество элементов, коммутирующих со всеми элементами группы, называется центроми обозначается Z(G).Ясно, что центр — абелева группа. Центр нормален в G. Действительно, пусть z ∈ Z(G). Тогда gzg −1 == gg −1 z = z, т. е.

элементы центра неподвижны при сопряжении. Следовательно Z(G) состоит из неподвижныхэлементов и потому инвариантна относительно внутренних автоморфизмов. Значит, Z(G) ⊳ G.Пример 1.3. Группа действует на множестве своих подгрупп сопряжениями: пусть H ⊂ G, тогда Ig H == gHg −1 = H g . Рассмотрим стабилизатор St H = g ∈ G : gHg −1 = H ⇔ Hg = gH .

Такие стабилизаторы называются нормализаторами и обозначаются NH . Очевидно, H ⊳ NH . Таким образом, нормализатор подгруппыесть максимальная подгруппа, в которой нормальна подгруппа H группы G. Обозначим через KH орбиты этогодействия. Они называются классами сопряжённых подгрупп. По доказанному выше имеем |KH | = (G : NH ).4.2. Разрешимые группыТеорема 4.1.

Пусть A — подгруппа в G, а B ⊳ G. Тогда AB B ∼= A A∩B . Мы уже знаем, что AB — подгруппа в G. Поскольку B ⊳ G, тем более B ⊳ AB. Далее, рассмотрим отображение ϕ : A → AB B , определённое по правилу ϕ : a → aB. Покажем, что ϕ — эпиморфизм. (ab)B = a(bB) == aB, поэтому на каждый смежный класс что-то отобразится. Сохранение операции: ϕ(a1 a2 ) = (a1 a2 )B == (a1 B)(a2 B) = ϕ(a1 )ϕ(a2 ). Рассмотрим его ядро: a ∈ Ker ϕ ⇔ ϕ(a) = aB = B ⇔ a ∈ B, откуда a ∈ A ∩ B.

Итак,ϕ — эпиморфизм. Осталось профакторизовать по его ядру и получить требуемое утверждение. Теорема 4.2. Пусть B ⊳ G, а B и G B являются p-группами, p ∈ P. Тогда G — тоже p-группа. Пусть |B| = pn , а G = pk . Тогда имеем |G| = |B| · G = pn · pk = pn+k . BHОпределение.

Назовём коммутатором элементов a, b ∈ G элемент [a, b] = aba−1 b−1 .Очевидны свойства: [a, b] = e ⇔ ab = ba и [a, b]−1 = [b, a].Определение. Рассмотрим подгруппу G′ ⊂ G, порождённую всеми коммутаторами элементов G. Ввидувторого свойства коммутатора любой элемент G′ есть произведение нескольких коммутаторов. Такая подгруппаназывается коммутантом группы G. Индуктивно определяются коммутанты высших порядков: пусть G(k) —′коммутант k-ого порядка, тогда G(k+1) = G(k) . Группа G называется разрешимой, если ∃ m ∈ N : G(m) = {e}.Теорема 4.3. Пусть ϕ : G → L — гомоморфизм групп.

Тогда ϕ G(i) ⊂ L(i) . Доказывать будем по индукции. Припроизведениекоммутаторовпереходит i = 1 это верно, посколькув произведение коммутаторов: ϕ [a, b][c, d] = ϕ [a, b] ϕ [c, d] = ϕ(a), ϕ(b) ϕ(c), ϕ(d) , и потому всё, что порождено коммутаторами элементов из G, приокажется в L′ , и база индукции доказана. Пусть гомоморфизме(i)(i)(i) ′(i) ′теперь ϕ G⊂ L .

Мы уже знаем, что ϕ G∈ L. Но это и означает, что ϕ G(i+1) ⊂ L(i+1) . Теорема 4.4. Пусть p ∈ P. Центр p-группы нетривиален.S Имеем |G| = pn . Рассмотрим разбиение G на классы сопряжённых элементов: G = Ka . Заметим, чтоесли a ∈ Z(G), то его класс сопряжённости состоит только из самого элемента a. Имеем |Ka | = (G : NaP). Еслиa∈/ Z(G), то Na 6= G, но тогда по теореме Лагранжа p делит |Ka |. Имеем тогда: |G| = pn = |Z(G)| + |Ka |.Отсюда следует, что p делит |Z(G)|. Но это означает, что центр нетривиален. Теорема 4.5. Пусть p ∈ P. Тогда p-группа разрешима. В самом деле, будем вести индукцию по n, где n — степень множителя p в |G|. При n = 1 утверждениеочевидно, ибо тогда |G| = p и она циклическая, а потому абелева. Пусть n > 2, тогда Z(G) 6= {e}. Рассмотрим(m)G := G Z(G) , тогда |G| = pn−1 и она разрешима по индуктивному предположению, т.

е. G= {e}. Рассмотриместественный эпиморфизм ϕ : G → G. Поскольку гомоморфный образ коммутанта содержится в коммутантефактора, получаем, что ϕ G(m) = {e}, откуда G(m) ⊂ Ker ϕ = Z(G). Отсюда G(m+1) = {e}, поскольку Z(G) —абелева. Теорема 4.6. Пусть G — неабелева группа. Тогда G Z(G) не может быть циклическим. Допустим, что G = G Z(G) является циклической. Тогда пусть a = aZ(G) — порождающий элемент в G.Рассмотрим разбиение G на смежные классы. Пусть x, y ∈ G. Каждый из них лежит в каком-то из смежныхклассов, которые в силу цикличности фактора можно записать как Z(G), . . . , ak−1 Z(G), где k = O(a) = |G|.Следовательно, имеют место равенства x = at z1 и y = as z2 , где zi ∈ Z(G). Тогда xy = at z1 as z2 = поскольку zi17коммутируют со всеми элементами группы = at+s z2 z1 = as z2 at z1 = yx, и мы получили, что любые 2 элементагруппы коммутируют между собой, т.

е. G — абелева. Это невозможно по условию. Значит, фактор не можетбыть циклическим. Следствие 4.1. Группа |G| = p2 , где p ∈ P, является абелевой. Имеем: Z(G) нетривиален. Допустим, что G — не абелева, тогда Z(G) 6= G. По теореме Лагранжа|Z(G)| = p, и потому порядок фактора по центру тоже равен p. Но все группы порядка p — циклические, а,как мы знаем, фактор по центру неабелевой группы не может быть циклическим. Противоречие, значит, G —абелева.

4.3. Теоремы СиловаОпределение. Рассмотрим группу |G| = pn m, причём p ∈ P и взят примарный по p делитель. Если H ⊂ Gи |H| = pn , то такая подгруппа называется силовской p-подгруппой. Мы будем обозначать силовскую подгруппусимволом P и в рассуждениях всегда будем подразумевать, что это p-подгруппа.Теорема 4.7 (Первая теорема Силова).

Силовская p-подгруппа существует. Итак, пусть |G| = pn m, где p ∈ P, причём взят примарный по p делитель. Докажем теорему индукциейпо порядку G. При |G| = p доказывать нечего. Пусть |G| > p, и для групп меньшего порядка всё доказано.Возможны два случая.1◦ Пусть p |Z(G)|. Отсюда Z(G) нетривиален. Рассмотрим haip ⊂ Z(G). Такая есть, поскольку Z(G) абелева,и к ней применима теорема о разложении на примарные циклические. Тогда, посколькуэлементы центра коммутируют со всеми элементами группы, получаем haip ⊳ G. Рассмотрим G := G hai , причём тогда |G| = pn−1 m.pРассмотрим канонический эпиморфизм ϕ : G → G, тогда по предположению индукции ∃ L ⊂ G — силовскаяp-подгруппа, поскольку порядок фактора меньшепорядка группы.

Кроме того, имеем |L| = pn−1 . РассмотримH−1P := ϕ (L) ⊂ G, тогда, поскольку L = H = hai , получаем |P| = p·pn−1 = pn . Значит, P — искомая силовскаяpподгруппа.P◦2 Пусть p ∤ |Z(G)|. Тогда рассмотрим разбиение G на классы сопряжённости: pn m = |Z(G)| +|Ka |.Из соображений делимости, найдётся нетривиальный смежный класс Ka , порядок которого не делится на p.Отсюда, поскольку |Ka | = (G : Na ) и |G| = pn m = (G : Na ) · |Na |, получаем, что p ∤ (G : Na ), откуда pn |Na |.Поскольку |Na | < |G|, по предположению индукции ∃ P ⊂ Na : |P| = pn .

Она и будет искомой силовскойподгруппой в G. Теорема 4.8 (Вторая и третья теоремы Силова). Всякая p-подгруппа группы G содержится в некоторой силовской p-подгруппе. Все силовские p-подгруппы сопряжены.G Пусть H ⊂ G — какая либо p-подгруппа. Рассмотрим действие H на фактормножестве P левымисдвигами.

Так как число элементов любой нетривиальной орбиты обязано делиться на p, а p ∤ G P , то такоедействие должно иметь неподвижные точки. Пусть gP — такая неподвижная точка, то есть для ∀ h ∈ H имеемh · ga = hga = ga′ , где a, a′ ∈ P. Тогда h = g |a′{za−1} g −1 , а отсюда ясно, что ∀ h ∈ H имеем h ⊂ gPg −1 . Тем самым∈Pдоказано первое утверждение. Теперь, пусть H — силовская p-подгруппа. По доказанному имеем H ⊂ gPg −1 ,но |H| = |gPg −1 | = |P|, откуда H = gPg −1 . Теорема 4.9 (Последняя теорема Силова).

Число силовских p-подгрупп сравнимо с 1 по модулю p. По предыдущей теореме, множество всех силовских подгрупп есть X = gPg −1 : g ∈ G . Рассмотримдействие (P, I, X). Покажем, что единственной неподвижной точкой при таком действии будет сама P. В самомделе, пусть H ∈ X — неподвижная точка. Это означает, что P ⊂ NH . Действительно, если при сопряженииэлементами из P подгруппа H остаётся на месте, это означает, что St H содержит P. Но стабилизатор присопряжении — это и есть нормализатор.

Но поскольку H ⊂ NH , мы нашли две силовские подгруппы в группеNH , а они сопряжены по предыдущей теореме. Но H ⊳ NH , откуда H = P. Далее, поскольку порядки всехнетривиальных орбит кратны p, получаем, что |X| ≡ 1 mod p. 5. Элементы теории представлений5.1. Линейные представления группОпределение.