В.Н. Латышев - Курс лекций по высшей алгебре, страница 12

Определим кратность неприводимого представления: пусть ρ =mLi=1ρri i , где ρi — неприво-димые представления. Тогда число ri называется кратностью неприводимого представления ρi в ρ. Ясно, чтонеобходима проверка корректности данного определения.Теорема 7.1. Пусть K алгебраически замкнуто, а ρ и τ — неприводимые представления G.

Тогда(0, ρ ≇ τ,dim Hom(ρ, τ ) =1, ρ ∼= τ. В самом деле, пусть ρ ≇ τ . Тогда по лемме Шура получаем Hom(ρ, τ ) = {0}, и потому dim Hom(ρ, τ ) = 0.Теперь рассмотрим случай ρ ∼= τ . Тогда их можно отождествить: теперь мы будем рассматривать Hom(ρ, ρ).Пусть ϕ ∈ Hom(ρ, ρ). Тогда, поскольку ϕ : V → V сохраняет действие группы, получаем ϕ ρ(g)x = ρ(g)ϕ(x).В силу алгебраической замкнутости K, у ϕ есть собственный вектор с собственным значением λ. Покажем, чтоVλ есть G-инвариантное подпространство. Действительно, x ∈ Vλ ⇔ ϕ(x) = λx, тогда ϕ ρ(g)x = ρ(g)ϕ(x) == ρ(g)(λx) = λρ(g)x. Таким образом, вектор ρ(g)x является собственным вектором с собственным значением λ.Значит, Vλ действительно G-инвариантно.

Но ρ неприводимо, а потому Vλ = V , ведь оно ненулевое. Значит, нашоператор есть просто гомотетия с коэффициентом λ, то есть ϕ = λE. Но пространство гомотетий, очевидно,одномерно. Поэтому dim Hom(ρ, ρ) = 1. Следствие 7.1. Кратность неприводимого представления для алгебраически замкнутых полей являетсяинвариантом.mL Рассмотрим ρ =ρri i , причём ρi попарно неизоморфны. Рассмотримi=1MMrkrirkri∼∼∼Hom(ρi , ρk )Hom(ρ, ρk ) = Hom(ρk , ρk ) ⊕ Homρi , ρk = Hom(ρk , ρk ) ⊕= Hom(ρk , ρk )rk ,i6=ki6=kпоскольку по доказанной выше теореме получаем, что последние слагаемые будут нулевыми. Отсюда получаем, вновь используя доказанную теорему: dim Hom(ρ, ρk ) = dim Hom(ρk , ρk )rk = rk · dim Hom(ρk , ρk ) = rk .Следовательно, rk есть размерность некоторого пространства, а она инвариантна.

Замечание. Несущие подпространства Vi определены однозначно, если ri = 1.7.3. Кратность неприводимых представлений в регулярном представленииРассмотрим регулярное представление (G, Λ, KG) и (G, ρ, V ). Пусть ϕx ∈ Hom(Λ, ρ), причём x ∈ V и ϕx (e) == x, а ϕx (g) = ρ(g)x. Из свойств линейных отображений выводим правило сложения гомоморфизмов (ϕx ++ ϕy )(e) = ϕx (e) + ϕy (e) = x + y = ϕx+y (e), откуда ϕx+y = ϕx + ϕy ; и умножения на скаляры: ϕλx (e) = λx == (λϕx )(e), откуда ϕλx = λϕx .Рассмотрим отображение Φ : Hom(Λ, ρ) → V , определённое по правилу Φ : ϕx 7→ x.

Сюръективность очевидна. Проверим линейность: Φ(ϕx + ϕy ) = Φ(ϕx+y ) = x + y = Φ(ϕx ) + Φ(ϕy ). Аналогично, Φ(λϕx ) = λΦ(ϕx ).Отсюда следует, что Ker Φ = 0, поскольку имеет место равенство ϕx (e) = x. Значит, Φ осуществляет изоморфизмлинейных пространств. Следовательно, dim Hom(Λ, ρ) = dim ρ.Теорема 7.2. Кратность неприводимого представления группы в её регулярном представлении совпадаетс его размерностью. Как мы знаем, Λ = ρri i ⊕ .

. . ⊕ ρrmm . Здесь ρi — неприводимые представления. Заметим, что ri = dim ρi .Действительно, возьмём некоторое представление (G, ρk , Vk ). Используя рассуждения, аналогичные тем, чтобыли в теореме об инвариантности кратности, получаем Hom(Λ, ρk ) ∼= Hom(ρk , ρk )rk , и потому dim Hom(Λ, ρk ) == dim ρk = dim Vk . m2PСледствие 7.2.

В условиях теоремы Машке |G| =dim ρi .i=1Действительно, мы знаем, что dim Λ = |G|, поскольку элементы группы образуют базис групповойmm2PPалгебры. Далее, |G| =ri dim ρi =dim ρi , поскольку dim ρi = ri . i=1i=125.