Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр

Московский государственный университетимени М.В. Ломоносовамеханико-математический факультетНа правах рукописиУДК 514.7Никонов Игорь МихайловичХарактеристические классыаппроксимативно конечных алгебр01.01.04 – геометрия и топологияДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степени кандидатафизико-математических наукНаучный руководитель:Профессор, доктор физикоматематических наукЮ. П. СоловьёвМосква 20031ВведениеХарактеристические классы возникают в качестве гомологических инвариантов при изучении различного рода структур на геометрическомобъекте. Исследование и использование таких инвариантов стоит в рядуосновных задач алгебраической топологии.

Впрочем, в самой алгебраической топологии под характеристическими классами чаще всего понимаютклассы векторных расслоений. За семьдесят лет, прошедших после доклада Е. Штифеля на знаменитой Московской топологической конференциив 1935 году — точки отсчёта своей истории, теория характеристическихклассов пережила свою зрелость, дав множество приложений, касающихся классификации многообразий, и оставив след в теории кобордизмов,теории индекса и, конечно же, K-теории, пока неожиданно она вновь неоказалась в самом центре современной математической жизни в связи сразвитием некоммутативной геометрии.Появление конструкции некоммутативных характеристических классов в начале 80-х гг. прошлого века стало одним из первых крупных достижений зарождающейся некоммутативной геометрии.

Из многочисленныхопределений характеристических классов векторных расслоений наиболее полезной оказался дифференциально-геометрический подход ЧернаВейля, который допускал простую переформулировку на языке алгебры сзаменой геометрических объектов (многообразие, расслоение) на алгебраические (соответственно, алгебра функций, проективный модуль сеченийрасслоения). Первая конструкция в духе такого подхода была предложена А.

Конном в связи с его исследованиями C ∗ -динамических систем.Характеристические классы, построенные Конном, принимали значения вкогомологиях алгебры Ли векторных полей, задающих динамическую систему и не покрывали классический случай. Развитие идей Конна нашлосвоё выражение в конструкции А.С. Мищенко, Ю.П. Соловьёва, Ю.Й.Жураева и, в полной общности, в конструкции М.

Каруби. Обе конструкции различаются в определении некоммутативных дифференциальных2форм, в чьих когомологиях должны лежать характеристические классы.Определение характеристических классов Жураева-Мищенко-Соловьёваисходит из того, что аналогом векторных полей на многообразии в некоммутативном случае может служить алгебра Ли дифференцирований наалгебре "функций", далее формы де Рама, как и в дифференциальнойгеометрии, определяются как кососимметричные полилинейные функциина некоммутативных векторных полях. Конструкция Каруби опираетсяна достаточно размытое понятие дифференциального исчисления.

Носителем характеристических классов в этом случае являются когомологииабелинизации дифференциального исчисления.Может показаться удивительным, что за двадцать лет существованиянекоммутативных характеристических классов накопилось не так многометодов и самих примеров их вычисления (см. [16]). Настоящая диссертация вслед за работой [6] призвана заполнить этот пробел. С этой цельюдля изучения выбран класс аппроксимативно конечных C ∗ -алгебр, определённый О. Браттели в 1972 году. Этот класс алгебр является довольномногочисленным и содержит многие (хотя и не все) примеры и контрпримеры к различным утверждениям теории C ∗ -алгебр. Определяемыекак прямые пределы конечномерных C ∗ -алгебр, эти алгебры близки кполупростым алгебрам, чьё изучение начато в работе [6]. Среди другихфактов, свидетельствующих в пользу выбора аппроксимативно конечныхалгебр, является удобное комбинаторное описание (с помощью диаграммБраттели) и наличие полной классификации, полученной Эллиоттом.Перейдём к изложению содержания диссертации, состоящей из четырёх глав.Первая глава посвящена описанию основной используемой в работеконструкции — конструкции некоммутативных характеристических классов.

Содержание этой главы, в целом, является известным (см. [2, 12, 16,19, 22]), за исключением параграфа 1.3, где строится отображение характеристических классов Каруби в характеристические классы ЖураеваМищенко-Соловьёва, и последнего параграфа главы, в котором доказывается единственность характеристических классов.В первом параграфе вводится понятие дифференциального исчисления (определение 1.1), которое в некоммутативной геометрии служит аналогом форм де Рама.

Далее приводятся примеры двух известных семействдифференциальных исчислений (примеры 1.1-1.4). Первым среди них является универсальное дифференциальное исчисление (пример 1.1), подтверждающее предложением 1.1 свои права на такое название. Завершается параграф предложением 1.3, в котором показано, как морфизмы связывают между собой введённые ранее дифференциальные исчисления.3Второй параграф содержит описание конструкции характеристических классов Каруби, изложению которого (см. [22]) мы следуем. Этаконструкция, по-существу, повторяет известные в дифференциальной геометрии построения Черна-Вейля: от связности (определение 1.3) через понятие кривизны (определение 1.4) с помощью следа (определение 1.5) мыприходим к определению характеристических классов (определение 1.6).Ввиду той особой роли, которую играет последнее определение в настоящей работе, теорема 1.8 и вспомогательные утверждения о корректностии существовании характеристических классов даны с доказательством.

Впараграф включены предложения 1.9, 1.10, описывающие некоторые простые свойства определённых характеристических классов cn (E, Ω∗ ): аддитивность и приведённость по первому аргументу и функториальность повторому. Последнее свойство позволяет закрепить доминирующую рольза универсальными характеристическими классами (предложение 1.11 иопределение 1.7). В замечании 1.4, завершающем параграф 1.2, вводитсянулевой характеристический класс c0 (E, Ω∗ ).В параграфе 1.3 мы рассматриваем альтернативную конструкцию характеристических классов, предложенную Мищенко А.

С., Соловьёвым Ю. П. и Жураевым Ю. Й. в [2, 3, 4]. Её построение (см. определения 1.8, 1.9, 1.10, 1.11) развёртывается параллельно рассуждениямпредыдущего параграфа, и на каждом этапе мы устанавливаем связьмежду этими двумя конструкциями. На уровне связности и кривизны этасвязь заключена в предложении 1.16, где строится биекция между связностями (кривизнами) в смысле Жураева-Мищенко-Соловьёва и связностями (кривизнами) Каруби для дифференциального исчисления Ω∗Z (D, A);на уровне цепных комплексов, в чьих когомологиях лежат характеристические классы — в лемме 1.18.

Установленное соответствие позволяет доказать корректность определения 1.11 (теорема 1.14) и построитьотображение, переводящее характеристические классы Каруби в классыЖураева-Мищенко-Соловьёва (теорема 1.19).Основной целью параграфа 1.4 является построение отображения периодичности S, понижающего порядок универсального характеристического класса на единицу. Для этого мы определяем хохшильдовы иприведённые циклические гомологии ассоциативной алгебры с единицей(определения 1.13, 1.14), строим операторы S, B, I, образующие последовательность Конна, и доказываем её точность (теорема 1.25). Далееприводится прямое доказательство теоремы Каруби (теорема 1.26), позволяющей перенести оператор периодичности S на универсальные характеристические классы (предложение 1.28).

В доказательстве этих теореммы следуем Конну [16]. Итогом параграфа 1.4 является предложение 1.29,4которое осуществляет вторую редукцию в изучении характеристическихклассов — сведение старших классов к младшим (первая редукция заключалась в переходе от произвольного дифференциального исчисленияк универсальному).Завершающий первую главу параграф 1.5 содержит утверждения,касающиеся единственности характеристических классов (теоремы 1.35,1.37).

При этом характеристические классы (определения 1.16, 1.17) трактуются как естественные преобразования из K-функтора в когомологический функтор, сопоставляющий алгебре её циклические гомологии (определение 1.15), либо, во втором случае, когомологии абелинизации зафиксированного дифференциального исчисления. Теорема 1.35 утверждает,что характер Конна-Черна (пример 1.8) является единственным характером со значениями в циклических гомологиях алгебры. Согласно второйтеореме (теорема 1.37), для дифференциальных исчислений на алгебренельзя определить другие характеристические классы, кроме введённыхв параграфе 1.2 классов Каруби.Вторая глава открывает последовательность вычислительных глав, вкоторых основные усилия направлены на выяснение того, чему равны характеристические классы, определённые в первой главе для той или инойконкретной алгебры. При этом в качестве главного ставится вопрос о том,насколько сильным инвариантом являются характеристические классы, всвязи с чем универсальные классы, как наиболее сильные (согласно следствию 1.11), оказываются в центре нашего внимания.

В главе 2 рассматриваются конечномерные полупростые ассоциативные унитальные алгебры.В первом параграфе главы мы находим точный ответ на вопросо том, когда универсальные характеристические классы конечнопорождённого проективного модуля равны нулю (теорема 2.1). Оказывается, что универсальные характеристические классы осуществляют мономорфизм приведённой K-теории алгебры по модулю кручения в когомоe ∗ (A)). Тем удивительней, для других дифференциальныхлогиии H ∗ (Ωunivисчислений, определённых в параграфе 1.1, равно как и для характеристических классов Жураева-Мищенко-Соловьёва ответом служит тождественный нуль (предложение 2.5). Заметим, что тривиальность характеристических классов Жураева-Мищенко-Соловьёва для комплексных полупростых алгебр была доказана в работе [6].