Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр, страница 8

Тогда dξ = 0 и, таким образом, (1 − σ)ξ =(bd + db)ξ = 0, т.е. σξ = ξ. Следовательно,(n + 1)ξ =nXσ i ξ = Nn ξ = Nn dη = Bη.i=01Тогда ξ = B( n+1η) ∈ Im B, и мы получаем обратное включение ker I ⊂Im B.3в. Im I = ker S. Пусть ξ ∈ Ω∗univ (A) — хохшильдов цикл, т.е.

bξ = 0.Тогда SI[ξ] = [Sξ] = [µN bξ] = 0. Поэтому Im I ⊂ ker S.Пусть теперь дан циклический коцикл ξ ∈ Ωnuniv (A), bξ ∈ Im d+Im (1−σ), такой что S[ξ] = 0. Тогда Sξ = bη1 + dη2 , откуда BSξ = Bbη1 . Тогдаиз равенства (1.22) имеем(n − 1)Nn−1 bξ = BSξ = Bbη1 = bdNn−2 η1 .43Следовательно,n(n − 1)bξ = (n − 1)(Nn−1 bξ + (1 − σn−1 )βn−1 bξ) =b (dNn−2 η1 + (n − 1)(1 − σ)βn−1 ξ) ,1так что элемент ξ 0 = ξ − n1 dNn−2 η1 − n(n−1)(1 − σ)βn−1 ξ ∈ Ωnuniv (A) является хохшильдовым циклом (bξ 0 = 0). Тогда [ξ] = I[ξ 0 ]. Таким образом,ker S ⊂ Im I.Основная теорема данного пункта, теорема Каруби (см.

[22]), даёт опиe ∗ (A)), в котором находятся унисание пространства когомологий H ∗ (Ωunivверсальные характеристические классы, основанное на точной последовательности Конна. Точная формулировка этого результата такова.Теорема 1.26 (Каруби). Пусть A — ассоциативная алгебра с единицей.Тогда имеется естественный изоморфизмe ∗univ (A)) ' ker B = Im S ⊂ HC ∗ (A).H ∗ (ΩДоказательство.

Согласно определению операторов Хохшильда и Каруби, пространство коммутаторов [Ω∗univ (A), Ω∗univ (A)] и пространствоIm (1 − σ) + Im b совпадают. Следовательно, пространства C̄∗λ /Im b иe ∗ (A)/Im d оба равны Ω∗ (A)/(Im b + Im d).Ωunivunive ∗ (A), т.е.Пусть ω ∈ Ωnuniv (A) есть коцикл комплекса Ωunivdω = bη1 + (1 − σ)η2 .Покажем, что Bω ∈ Im b, тогда в силу инъективности B, отображающего циклические цепи в хохшильдовы, ω будет являться представителемкласса циклических гомологий и B[ω] = 0.

Действительно,n+1Bω = Nn dω = Nn (bη1 + (1 − σn+1 )η2 ) = bNn η1 + (1 − σn+1)η2 =n+1n+1bη1 − bσn+2dη2 = b(η1 − σn+2dη2 ).Обратно, пусть дан элемент ω ∈ Ωnuniv (A), такой что Bω = bη. Тогда(n + 1)dω = (Nn + (1 − σ)βn )dω = Bω + (1 − σ)βn ω = bη + (1 − σ)βn ω,следовательно, dω ∈ Im b + Im (1 − σ), т.е. ω — коцикл.e ∗ (A))Таким образом, подпространства H ∗ (ΩunivΩ∗univ (A)/(Im b + Im d) совпадают.44иker Bвe ∗ (A)) определён операторСледствие 1.27.

На пространстве H ∗ (Ωuniv∗ e∗e ∗ (A)).периодичности Конна S : H (Ωuniv (A)) → H ∗−2 (Ω¤univИз всех свойств отображения S в теории характеристических классовнаиболее полезным оказывается следующее.Предложение 1.28. Пусть E есть конечнопорождённый проективныйправый A-модуль, cn (E), n ∈ N ∪ {0}, — его универсальные характеристические классы и S есть оператор периодичности.

Тогда Scn (E) =n cn−1 (E) для всех n ∈ N.Доказательство. Пусть модуль E задается проектором P , так что cn (E)есть когомологический класс элемента Tr (P (dP )2n ). ТогдаbTr (P (dP )2n ) = −Tr ([P (dP )2n−1 , P ]) = −Tr (P (dP )2n−1 P )+Tr (P 2 (dP )2n−1 ) = Tr (P (dP )2n−1 ),σTr (P (dP )2n−1 ) = Tr (dP · P (dP )2n−2 ) = Tr ((dP )2n−1 ) − Tr (P (dP )2n−1 ),σTr ((dP )2n−1 ) = Tr (dP )2n−1 ,откуда2n−1N2n−1 Tr (P (dP ))=2n−1Xσ i Tr (P (dP )2n−1 ) = nTr (dP )2n−1 .i=0Наконец,¡¢µTr (n(dP )2n−1 ) = nTr (P (dP )2n−2 ) − dTr nε(P )P (dP )2n−3 ,так что Scn (E) = ncn−1 (E).Следствие 1.29. Пусть E есть конечнопорождённый проективныйправый A-модуль и пусть cn0 (E) 6= 0 для некоторого n0 ∈ N ∪ {0}. Тогдаcn (E) 6= 0 для всех n > n0 .¤Последнее утверждение в дальнейшем будет применяться очень часто.1.5Характеристические классы с точки зрения функтораВ этом пункте мы обращаем внимание на категорное описание характеристических классов как серии естественных преобразований между45K-функтором и функтором циклических гомологий и показываем, чтодругих характеристических классов в этом смысле не имеется.Пусть A — ассоциативная алгебра с единицей над полем k.

Пусть P(A)обозначает множество классов эквивалентности конечнопорождённыхпроективных A-модулей. Операция суммы E, F → E ⊕ F задаёт на P(A)структуру моноида (коммутативной полугруппы с единицей). Напомним,что группа K(A) алгебры A определяется как множество пар (E, F ),E, F ∈ P(A), факторизованное по отношению эквивалентности(E, F ) ∼ (E 0 , F 0 )⇐⇒∃ G ∈ P(A) : E ⊕ F 0 ⊕ G ' E 0 ⊕ F ⊕ G.Множество K(A) с операцией сложения(E, F ) + (E 0 , F 0 ) = (E ⊕ E 0 , F ⊕ F 0 ),E, E 0 , F, F 0 ∈ P(A)становится коммутативной группой. Группа K(A) является симметризацией полугруппы P(A), т.е. любой гомоморфизм f : P(A) → G в абелевугруппу G однозначно представляется в виде композиции f = f 0 ◦ s, гдеf 0 : K(A) → G — гомоморфизм групп, а s : P(A) → K(A) — каноническоеотображение.

Приведённой K-группой алгебры A называется группаeK(A)= Coker (K(η) : K(k) → K(A)),где K(η) индуцировано вложением единицы η : k → A, λ → λ1.Из универсального свойства группы K(A) и предложения 1.9 следует, что характеристические классы cn ( ·, Ω∗ ), введённые в параграфе 1.2,ee ∗ ), дляоднозначно определяют гомоморфизмы cn ( ·, Ω) : K(A)→ H 2n (Ωкоторых мы используем то же обозначение.Следующее предложение описывает некоторые свойства группы K(A),которые нам понадобятся в дальнейшем.

Его доказательство можно найтив книге [8].Предложение 1.30. Пусть A1 , A2 — ассоциативные алгебры с единицей. Тогда1. K(A1 ⊕ A2 ) = K(A1 ) ⊕ K(A2 );2. K(Mn (A1 )) = K(A1 ) для любого n ∈ N;3. K(k) = Z.¤46Дадим определение (неприведённых) циклических гомологий алгебрыA. Рассмотрим циклический оператор tn , действующий на пространствеA⊗(n+1) ,tn (a0 ⊗ · · · ⊗ an−1 ⊗ an ) = (−1)n an ⊗ a0 ⊗ · · · ⊗ an−1 ,a0 ⊗ · · · ⊗ an ∈ A⊗(n+1) ,и обозначим Cnλ = A⊗(n+1) /Im (1−tn ).

Оказывается, что хохшильдов дифференциал b : A⊗(n+1) → A⊗n ,b(a0 ⊗ · · · ⊗ an ) =n−1X(−1)i a0 ⊗ · · · ⊗ ai ai+1 ⊗ · · · ⊗ an +i=0(−1)n an a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an−1 ,допускает корректное действие на C∗λ (см. [24]). Поэтому можно дать следующее определение (ср. замечание 1.7).Определение 1.15. Гомологии HC∗ (A) комплекса (C∗λ , b) называютсяциклическими гомологиями алгебры A.Связь между приведёнными и неприведёнными циклическими гомологиями описывается следующим утверждением (см.

[24]).Предложение 1.31. Пусть A — ассоциативная алгебра с единицей иη : k → A — вложение единицы алгебры. ТогдаHC ∗ (A) = Coker (η∗ : HC∗ (k) → HC∗ (A)).С другой стороны, HC∗ (A) = HC ∗ (A ⊕ k).¤Циклические гомологии обладают рядом свойств, сближающих их сK-группой алгебры.Предложение 1.32 (см.

[24]). Пусть A1 , A2 — ассоциативные алгебрыс единицей. Тогда1. HC∗ (A1 ⊕ A2 ) = HC∗ (A1 ) ⊕ HC∗ (A2 );2. для каждого r ∈ N отображение Tr : Mr (A1 )⊗n → A⊗n1 , определённое формулойTr ((m0 ⊗ a0 ) ⊗ · · · ⊗ (mn ⊗ an )) = Tr (m0 m1 . . . mn )a0 ⊗ a1 ⊗ . . . an47для всех m0 ⊗ a0 , . . . , mn ⊗ an ∈ Mr (k) ⊗ A1 = Mr (A1 ), индуцируетизоморфизмTr∗ : HC∗ (Mr (A1 )) ' HC∗ (A1 );½k, n = 2kчётно;3. HCn (k) =¤0, n = 2k + 1 нечётно.Заметим (см. [24],[8]), что соответствия A 7→ K(A) и A 7→ HCn (A)представляют собой (ковариантные) функторы из категории ассоциативных унитальных алгебр в категорию абелевых групп (последний, на самом деле,— в категорию k-линейных пространств).

Тогда мы можем датьтакое определение характеристического класса.Определение 1.16. Характеристическим классом степени n называется естественное преобразование c : K → HCn функторов из категорииAlgk алгебр над полем k в категорию абелевых групп.Оправданием определения, которое было дано только что, служит следующий пример.Пример 1.8 (характер Конна-Черна). Пусть A — ассоциативная алгебра сединицей. Рассмотрим произвольный конечнопорождённый проективныймодуль E на ней. Пусть этот модуль определяется проектором P = (pij ) ∈Mr (A). Возьмём элемент φn (P ) ∈ A⊗(2n+1) ,φn (P ) = Tr (P⊕(2n+1))=rXpi0 i1 ⊗ pi1 i2 ⊗ · · · ⊗ pin−1 in ⊗ pin i0 .i0 ,...,in =1Справедливо утверждение, аналогичное теоремам 1.8, 1.14.Теорема 1.33.

Пусть E — конечнопорождённый проективный A-модульи пусть E ' Im P ⊂ A⊕r для некоторого проектора P ∈ Mr (A). Тогда1. элемент φn (P ) является циклическим 2n-циклом;2. класс когомологий [φn (P )] ∈ HC2n (A) не зависит от выбора проектора P .¤Элемент chn (E) = [φn (P )] ∈ HC2n (A) называется n-ым характеристическим классом Конна-Черна. Отображение chn оказывается аддитивным (см. [24]), т.е.

chn (E ⊕ F ) = chn (E) + chn (F ) для любых конечныхпроективных модулей E, F , и таким образом, индуцирует гомоморфизмchn : K(A) → HC2n (A),48который называется характером Конна-Черна. Естественность отображения chn следует из определения, так что характер Конна-Черна даётсерию характеристических классов чётных порядков.Замечание 1.8. Из естественности характера Конна-Черна, определенияприведённой K-группы и предложения 1.31 следует, что имеется отобраeжение chn : K(A)→ HC 2n (A), дополняющее до коммутативной диаграммуchnK(A) −→HC2n (A)πK ↓↓ πHC ,chneK(A)−→HC 2n (A)где πK , πHC — естественные проекции.

Отображение chn называетсяприведённым характером Конна-Черна. Из его определения следует, чтокоограничение приведённого характера Конна-Черна на подпространe ∗ (A)) совпадает с n-ым универсальным характеристичество H 2n (Ωunivским классом Каруби.

В дальнейшем мы не будем делать различия междуэтими двумя понятиями.При доказательстве теоремы 1.35 мы будем использовать Моритаинвариантность характера Конна-Черна, которая выражается следующим утверждением.Предложение 1.34. Пусть A — ассоциативная алгебра с единицей.

Тогда1. для любого натурального r коммутативна диаграммаK(Mr (A))ch∗ ↓HC∗ (Mr (A))'K(A)↓ ch∗ ,Tr ∗−→HC∗ (A)где горизонтальные стрелки существуют благодаря предложениям 1.30, 1.32;2. отображение chn : K(k) → HC2n (k) есть мономорфизм при каждом n ∈ N.¤Сформулируем один из двух главных результатов этого параграфа.Теорема 1.35. Пусть c есть характеристический класс порядка n. Тогда c = 0, если n нечётно, и c = λ chk для некоторого λ ∈ k, если n = 2kчётно.49Доказательство. Рассмотрим алгебру U = k2 , являющуюся суммой двухэкземпляров одномерной алгебры k, и пусть e1 , e2 — стандартный базисалгебры U . Из предложений 1.30 и 1.32 следует, что½0,n = 2k + 1;K(U ) = Z ⊕ Z, HCn (U ) =k ⊕ k, n = 2k.Кроме того, согласно второму пункту предложения 1.34 и первому утверждению предложений 1.30, 1.32, chk отображает K(U ) на решётку полного ранга в HC 2k (U ).Пусть c есть некоторый характеристический класс порядка n.

Тогданайдутся λ, µ ∈ k, такие что c(e1 ) = λ chk (e1 ) + µ chk (e2 ). Здесь n = 2k имы полагаем chk = 0 для полуцелого k.Пусть теперь A есть некоторая алгебра над полем k и p ∈ A, p2 = pесть проектор. Он определяет проективный подмодуль E = Im p в свободном регулярном модуле A. Отображениеφ : U → A, φ(e1 ) = p, φ(e2 ) = 1 − pзадает гомоморфизм алгебры U в A. В силу естественностиc(E) = φ∗ c(e1 ) = φ∗ (λ chk (e1 ) + µ chk (e2 )) =λφ∗ (chk (e1 )) + µφ∗ (chk (e2 )) = λ chk (p) + µ chk (1 − p) =(λ − µ)chk (E) + µ chk (A). (1.23)Покажем, что коэффициент µ равен нулю (когда n чётно).