Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр, страница 4

Возьмём связность ∇ на универсальном дифференциальном исчислении и рассмотрим точную последовательностьправых A-модулейjm0 −→ E ⊗A Ω1univ (A) −→ E ⊗k A −→ E −→ 0,где j(s ⊗ a db) = sa ⊗ b − sab ⊗ 1, m(s ⊗ a) = sa, s ∈ E, a, b ∈ A. Изтождества Лейбница (1.7) следует, что отображениеq : E → E ⊗k A,q(s) = s ⊗ 1 + j ◦ ∇(s),s∈Eявляется морфизмом правых A-модулей. Действительно,q(sa) = sa ⊗ 1 + j ◦ ∇(sa) = sa ⊗ 1 + j ◦ (∇s · a + s ⊗ da) =sa ⊗ 1 + j ◦ ∇(s) · a + s ⊗ a − sa ⊗ 1 = (s ⊗ 1 + j ◦ ∇(s))a = q(s)a.Кроме того, m ◦ q = idE , поэтому модуль E изоморфен прямому слагаемому в свободном модуле E ⊗k A, выделяемому проектором p = q ◦ m.Каждую связность ∇ можно однозначно продолжить до отображения∇ : E ⊗A Ω∗ → E ⊗A Ω∗+117с помощью формулы∇(s ⊗ ω) = (∇s) ω + s ⊗ dω,где s ∈ E, ω ∈ Ω∗ .

Полученное отображение будет удовлетворять тождеству Лейбница∇(φω) = ∇φ · ω + (−1)|φ| φ · dω,φ ∈ E ⊗A Ω∗ , ω ∈ Ω∗ .(1.9)Теперь мы можем ввести понятие кривизны.Определение 1.4. Отображение R = ∇2 : E ⊗A Ω∗ → E ⊗A Ω∗+2 называется кривизной связности ∇.Предложение 1.6. Пусть E является конечнопорождённым проективным правым A-модулем, Ω∗ есть некоторое дифференциальное исчисление на A, а ∇ — некоторая связность на E.

Тогда1. линейное пространство E ⊗A Ω∗ с естественным действием Ω∗справа оказывается конечнопорождённым проективным правымΩ∗ -модулем;2. отображение кривизны R = ∇2 связности ∇ является эндоморфизмом правого Ω∗ -модуля E ⊗A Ω∗ , т.е. для всех φ ∈ E ⊗A Ω∗ , ω ∈Ω∗ выполняется соотношениеR(φω) = R(φ)ω.Доказательство.

Так как E есть конечнопорождённый проективный модуль, то найдётся A-модуль F , такой что E ⊕ F = A⊕n для некоторогонатурального n. Тогда имеется равенство Ω∗ -модулей(E ⊗A Ω∗ ) ⊕ (F ⊗A Ω∗ ) = (E ⊕ F ) ⊗A Ω∗ = A⊕n ⊗A Ω∗ = (Ω∗ )⊕n ,откуда следует проективность и конечнопорождённость модуля E ⊗A Ω∗ .Пусть φ ∈ E ⊗A Ω∗ и ω ∈ Ω∗ . Из тождества Лейбница (1.9) получаем³R(φω) = ∇ ◦ ∇(φω) = ∇ ∇φ · ω + (−1)|φ|´φ · dω =∇2 φ · ω + (−1)|∇φ| ∇φ · dω + (−1)|φ| ∇φ · dω + (−1)|φ| (−1)|φ| φ · d2 ω =∇2 φ · ω = R(φ)ω,учитывая, что |∇φ| = |φ| + 1 и d2 = 0.18В качестве следствия из предложения получаем, что любая степень Rnотображения кривизны тоже является эндоморфизмом Ω∗ -модуля E ⊗AΩ∗ , который повышает градуировку на 2n.Для определения характеристических классов нам понадобится понятие следа.Пусть A есть некоторая ассоциативная алгебра с единицей, E — конечнопорождённый проективный правый A-модуль, выделяемый в свободноммодуле A⊕n как прямое слагаемое: E ⊕ F = A⊕n , и φ ∈ EndA (E) — эндоморфизм модуля E.

Дополним φ нулём до эндоморфизма свободногомодуля φ̄ = φ ⊕ 0 ∈ EndA (A⊕n ), который в каноническом базисе задаётсяматрицей Φ = (φij )ni,j=1 : x1φ11φ̄  . . .  =  . . .xnφn1.........φ1nx1...  ... .φnnxnОпределение 1.5. Следом отображения φ называется элементeTr (φ) = Tr (Φ) + [A, A] ∈ A,Pne=где Tr (Φ) = i=1 φii — обычный матричный след, а пространство AA/[A, A] получается из A факторизацией по линейному пространству, порождённому коммутаторами.Предложение 1.7. Пусть A — ассоциативная алгебра с единицей, E— её конечнопорождённый проективный правый модуль и φ ∈ EndA (E).Тогда1.

след Tr (φ) корректно определён, т.е. не зависит от способа вложения модуля E как прямого слагаемого в свободный модуль;2. если F также является конечнопорождённым проективным Aмодулем и ψ ∈ EndA (F ), то для следа отображения φ ⊕ ψ ∈EndA (E ⊕ F ) выполнено соотношениеTr (φ ⊕ ψ) = Tr (φ) + Tr (ψ).Доказательство. Пусть E ⊕ F = A⊕n и E ⊕ G = A⊕m — два вложения Eна прямое слагаемое свободного модуля. Продолжения нулём φ̄1 = φ⊕0F иφ̄2 = φ ⊕ 0G эндоморфизма φ на A⊕n и A⊕m соответственно можно задатьматрицами Φ1 размера n×n и Φ2 размера m×m.

Рассмотрим отображения19φ̄01 = φ̄ ⊕ 0A⊕m и φ̄02 = 0A⊕n ⊕ φ̄2 в EndA (A⊕(n+m) ). Отображениям φ̄01 и φ̄02соответствуют матрицы Φ01 = Φ1 ⊕ 0m и Φ02 = 0n ⊕ Φ2 . ПоэтомуTr (Φ1 ) = Tr (Φ01 ),Tr (Φ2 ) = Tr (Φ02 ).С другой стороны, рассмотрим автоморфизм u на A⊕(n+m) = E ⊕ F ⊕ E ⊕G, заданный формулойu(e1 ⊕ f ⊕ e2 ⊕ g) = e2 ⊕ f ⊕ e1 ⊕ g,e1 , e2 ∈ E, f ∈ F, g ∈ G.Тогда φ̄01 = uφ̄02 u−1 , или, в матричном виде, Φ01 = U Φ02 U −1 .Покажем, чтоTr (ST ) − Tr (T S) ∈ [A, A]для произвольных матриц S и T размера l × l, l = n + m. Пусть S =(sij )li,j=1 , T = (tij )li,j=1 . ТогдаTr (ST ) − Tr (T S) =lX[(ST )ii − (T S)ii ] =i=1lX(sij tji − tij sji ) =i.j=1lX[sij , tji ] ∈ [A, A].i,j=1Положим теперь S = U, T = Φ02 U −1 .

Тогда имеемTr (Φ01 ) − Tr (Φ02 ) = Tr (ST ) − Tr (T S) ∈ [A, A],что доказывает первую часть утверждения.Пусть E, F суть проективные конечнопорождённые правые A-модулии φ ∈ EndA (E), ψ ∈ EndA (F ). Пусть E ⊕ G = A⊕n и F ⊕ G0 = A⊕m —представления модулей в качестве прямых слагаемых и Φ, Ψ —матрицыоператоров φ̄ = φ ⊕ 0G ∈ EndA (A⊕n ), ψ̄ = ψ ⊕ 0G0 ∈ EndA (A⊕m ) соответственно. Рассмотрим вложение E ⊕ F в A⊕(n+m) = E ⊕ G ⊕ F ⊕ G0на первый и третий слагаемые.

Тогда матрица R продолженного нулёмэндоморфизма ρ̄ = φ ⊕ 0G ⊕ ψ ⊕ 0G0 будет иметь блочный вид в базисе,соответствующем разложению A⊕(n+m) = A⊕n ⊕ A⊕m :µ¶Φ 0R=,0 Ψследовательно,Tr (φ ⊕ ψ) ≡ Tr (R) = Tr (Φ) + Tr (Ψ) ≡ Tr (φ) + Tr (ψ).20Следуюшая теорема завершает конструкцию характеристическихклассов Каруби.Теорема 1.8 (Каруби [22]). Пусть E есть конечнопорождённый проективный правый модуль ассоциативной алгебры с единицей A, Ω∗ —дифференциальное исчисление на A. Пусть ∇ есть связность на E и R— соответствующее ей отображение кривизны.

Тогда для любого натурального ne 2n является коциклом в комплексе Ωe∗ =1. элемент Tr (Rn ) ∈ ΩΩ∗ /[Ω∗ , Ω∗ ], получающемся из Ω∗ факторизацией по линейному пространству [Ω∗ , Ω∗ ], порождённому градуированными коммутаторами;e ∗ ) не зависит от выбора связ2. класс когомологий [Tr (Rn )] ∈ H 2n (Ωности.Доказательство. Проверим утверждения теоремы для свободного модуля E = A⊕m . Тогда, как было показано в примере 1.5, любая связностьна E имеет вид ∇ = d + Γ, Γ ∈ Mm (Ω1 ). Найдём выражение для кривизныR = ∇2 :R(ϕ) = (d + Γ)(dϕ + Γϕ) = Γdϕ + d(Γϕ) + Γ2 ϕ =Γdϕ + dΓ · ϕ − Γdϕ + Γ2 ϕ = (dΓ + Γ2 )ϕдля всех ϕ ∈ E ⊗A Ω = (Ω∗ )⊕m .

Таким образом, отображение Rпредставляетумножение на матрицу dΓ + Γ2 ∈ Mm (Ω2 ) и Tr (Rn ) =¡¢Tr (dΓ + Γ2 )n . Так какdR = d(dΓ + Γ2 ) = dΓ · Γ − Γ · dΓ = RΓ − ΓR,то получаемdTr (Rn ) = Tr (d(Rn )) = TrTrÃn−1XÃn−1X!Ri · dR · Rn−1−ii=0=!Ri (RΓ − ΓR)Rn−1−i= Tr (Rn Γ − ΓRn ) = 0,i=0т.е. элемент Tr (Rn ) является коциклом для каждого n.

Для доказательства того, что Tr (Rn ) на самом деле является кограницей, воспользуемсяследующим трюком Каруби.21Введём в рассмотрение алгебру полиномов от одной переменной B =k[t] и пусть L∗ = Ω∗Z (Der (B), B) = B ⊗k Λ∗ (dt). Тогда L∗ = L0 ⊕ L1и d(P (t)) = P 0 (t)dt для каждого P (t) ∈ k[t]. Определим отображениеR1H0 : L∗ → k формулой H0 (P (t)dt) = 0 P (t)dt, H0 (P (t)) = 0.

Несложнопоказать, что H0 является стягивающей гомотопией алгебры L∗ на k:(dH0 + H0 d)(P (t)) = P (1) − P (0),(1.10)(dH0 + H0 d)(P (t)dt) = 0.Рассмотрим алгебру A[t] = A ⊗ k[t]. Тогда дифференциальная градуированная алгебра Ω∗ ⊗ L∗ является дифференциальным исчислением наA[t].

Положим H = idΩ ⊗ H0 : Ω∗ ⊗ L∗ → Ω∗ . Тогда из (1.10) вытекаеттождество(dH + Hd)x = x(1) − x(0), x ∈ Ω∗ ⊗ L∗ ,где выражение x(λ), λ ∈ k, на элементе ω ⊗ P (t) равно P (λ)ω и, еслиx = ω ⊗ P (t)dt, то x(λ) = 0.e ∗ ⊗ L∗ . При этом HТак как L∗ коммутативна, то (Ω∗ ⊗ L∗ )∼ = Ωe :Ωe ∗ ⊗ L∗ → Ωe ∗ с аналогичным свойствомопределяет отображение He + Hd)xe(dH= x(1) − x(0),e ∗ ⊗ L∗ .x∈Ωe ∗ ⊗L∗ , то x(1)−x(0) = (dH+e Hd)xeeЕсли x есть коцикл комплекса Ω= dH(x)e ∗.— кограница в ΩНапомним, что даны свободный модуль E = A⊕m и связность ∇ =d + Γ. Тогда ∇t = d + Γt является связностью на свободном модуле A[t]⊕mи её кривизна равна Rt = dΓt + Γ2 t2 − Γdt. В силу доказанного ранееэлемент Tr (Rtn ) ∈ Ω∗ ⊗ L∗ является коциклом.

Поэтому кограницей будетэлементnnTr (Rtn )(1) − Tr (Rtn )(0) = Tr ((Rt (1)) ) − Tr ((Rt (0)) ) =¡¢Tr (dΓ + Γ2 )n − Tr (0n ) = Tr (Rn ),так как¡¢Rt (1) = dΓt + Γ2 t2 − Γdt (1) = dΓ + Γ2 ,¡¢Rt (0) = dΓt + Γ2 t2 − Γdt (0) = 0.Перейдём к случаю проективного модуля и докажем для начала коцикличность для грассмановой связности.

Пусть E = Im P — образ проектора P в свободном модуле A⊕m . Действие проектора P на элементах22A⊕m , рассматриваемых как столбцы высоты m, заключается в умножении слева на матрицу размера m × m с элементами из A, которую мыбудем обозначать той же буквой P = (pij )mi,j=1 . Мы можем отождествить∗∗Ω -модуль E ⊗A Ω c прямым слагаемым в A⊕m ⊗A Ω∗ = (Ω∗ )⊕m , выделяемым проектором P , т.е.

умножением слева на ту же матрицу P .Согласно (1.8), грассманова связность есть композиция ∇G = P d. Тогда для любых s ∈ E, ω ∈ Ω∗∇G (s ⊗A ω) = P ds ⊗A ω + s ⊗A dω = P (ds ⊗A ω + s ⊗A dω) = P d(s ⊗A ω),откудаRG (s ⊗A ω) = P d(P d(s ⊗A ω)) = P (dP )d(s ⊗A ω) + P 2 d2 (s ⊗A ω) =P (dP )d(P s⊗A ω) = P (dP )2 (s⊗A ω)+P (dP )P d(s⊗A ω) = P (dP )2 (s⊗A ω),так как P (dP )P = 0 ввиду тождестваP (dP )P = P (d(P 2 ))P = P 2 (dP )P + P (dP )P 2 = 2P (dP )P.Таким образом, оператор грассмановой кривизны есть умножение слеваn— на матрицуна матрицу P (dP )2 ∈ Mn (Ω2 ), а оператор RG[P (dP )2 ]n = P (dP )2n ∈ Mn (Ω2n ),поскольку(dP )2 P = dP (d(P P ) − P dP ) = (dP )2 − (d(P P ) − P dP )dP = P (dP )2 .(1.11)nПокажем, что dTr (RG) = 0:2) = dTr (P (dP )2n ) = Tr (dP )2n+1 = Tr (d(P 2 )(dP )2n ) =dTr (RGTr (P (dP )2n+1 ) + Tr (dP · P (dP )2n ) = 0,так какTr (P (dP )2n+1 ) = Tr (P 2 (dP )2n+1 ) = Tr (P (dP )2n+1 P ) =Tr (P (dP )P (dP )2n ) = Tr (0) = 0,23где во втором равенстве мы воспользовались цикличностью следа, а втретьем — тождеством (1.11), и, подобным образом,Tr (dP · P (dP )2n ) = Tr (dP · P 2 (dP )2n ) = Tr (dP · P (dP )2n P ) =Tr (P (dP )P (dP )2n ) = Tr (0) = 0.Рассмотрим на модуле E две связности ∇1 и ∇2 .