Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр, страница 9

Пусть B =M2 (k) и B = E1 ⊕ E2 — разложение на неприводимые модули. Тогда посвойству аддитивности c(B) = c(E1 ) + c(E2 ), откудаλchk (B) = (λ − µ)chk (B) + µchk (B) = c(B) = c(E1 ) + c(E2 ) =(λ − µ)chk (E1 ) + µchk (B) + (λ − µ)chk (E2 ) + µchk (B) =(λ + µ)chk (B),так что µ = 0, поскольку chk (B) 6= 0 по предложению 1.34.Таким образом, уравнение (1.23) переписывается в видеc(p) = λchk (p)для произвольной алгебры A и её проектора p.50(1.24)Пускай теперь проективный модуль E задаётся проектором p ∈Mr (A), r > 1.

Рассмотрим гомоморфизм ψ : A → Mr (A),a0a , a ∈ A.ψ(a) = ...0aГомоморфизм ψ индуцирует отображение ψ⊗ : A⊗(n+1) → Mr (A)⊗(n+1) ,композиция которого с отображением Tr из предложения 1.32 равнаTr ◦ ψ⊗ (a0 ⊗ · · · ⊗ an ) = Tr ((1r ⊗ a0 ) ⊗ · · · ⊗ (1r ⊗ an )) =Tr (1r )a0 ⊗ · · · ⊗ an = r · a0 ⊗ · · · ⊗ anдля любого a0 ⊗ · · · ⊗ an ∈ A⊗(n+1) , так что Tr ◦ φ⊗ = r id. Следовательно,Tr ∗ ◦ ψ∗ = r id : HC ∗ (A) → HC ∗ (A). Кроме того, ψ∗ (E) = rF, где F =Im p ⊂ Mr (A).

Поэтому, в соответствии с (1.24),r c(E) = Tr ∗ ψ∗ c(E) = rTr ∗ (c(F )) = rλTr ∗ (chk (p)) = rλ chk (E),где последнее равенство вытекает из предложения 1.34. Следовательно,c(E) = λchk (E) для любого E ∈ K(A) и для любой алгебры A.Рассмотрим приведённую версию доказанного утверждения.Определение 1.17. Назовём характеристическим классом степени n скоэффициентами в дифференциальных исчислениях алгебры естественноеe →He n , где приведённый K-функтор Ke : A → K(A)eпреобразование c : Ke n : Ω∗ → H n (Ω∗ /[Ω∗ , Ω∗ ]) рассматриваются как функторыи функтор Hиз категории с объектами (A, Ω∗ ), A — унитальная ассоциативная алгебранад полем k, Ω∗ — дифференциальное исчисление на A, и естественнымиморфизмами.Замечание 1.9. Предложения 1.9 и 1.10 показывают, что классы Каруби являются характеристическими классами в только что определённомсмысле.Сформулируем вспомогательное предложение, аналогичное предложению 1.34.51Предложение 1.36.

Пусть A — ассоциативная алгебра с единицей. Тогда для любого натурального r коммутативна диаграммаe r (A))K(Mch∗ ↓HC ∗ (Mr (A))'eK(A)↓ ch∗Tr∗HC ∗ (A)−→¤Теорема 1.37. Любой n-мерный характеристический класс c̄ с коэффициентами в дифференциальных исчислениях алгебры имеет вид c̄ =λ cn/2 ( ·, ·) для некоторого λ ∈ k, где cn/2 ( ·, ·) — характеристическийкласс Каруби, определённый в параграфе 1.2.Доказательство. Характеристический класс с коэффициентами в дифференциальных исчислениях c̄ определяется значениями на универсальных дифференциальных исчислениях.

Теорема Каруби 1.26 утверждает,чтоe ∗ (A)) = ker(B : HC ∗ (A) → HH ∗+1 (A)).H ∗ (ΩunivТак как последовательность Конна естественна, то и вложениеe ∗ (A)) ⊂ HC ∗ (A) является естественным. Поэтому c̄ задаёт естеH ∗ (Ωuniveственное преобразование c̄ : K(A)→ HC n (A). Остаётся лишь повторитьрассуждения теоремы 1.35, заменяя предложение 1.34 на 1.36 и учитываятот факт, что для U = k ⊕ k½0, n = 2k + 1;e ) = Z, HC n (U ) =K(Uk, n = 2k,e ) → HC 2n (U ) — мономорфизм, согласно предложению 1.31 ии chn : K(Uрассуждениям предыдущей теоремы.52Глава 2Конечномерныеполупростые алгебрыВ этой главе, равно как и в следующих за ней главах 3, 4 теория характеристических классов, описанная выше, рассматривается применительно кконкретным классам алгебр. Ниже изучаются характеристические классы конечномерных полупростых алгебр.

В этом случае удаётся получитьполную классификацию характеристических классов проективных модулей (теорема 2.1 и предложение 2.5). Во втором параграфе аналогичныерезультаты получены для полупростых алгебр над полем ненулевой характеристики (теорема 2.6, предложения 2.8, 2.9).2.1Случай char k = 0С этого момента мы будем считать, что A является конечномерной полупростой алгеброй над полем k нулевой характеристики, тогда по структурной теореме Веддебарна-АртинаLN она представляется в виде прямойсуммы матричных алгебр: A =i=1 Mni (Fi ), где Fi — алгебра с делением над k. Нас будет интересовать вопрос о существовании нетривиальных характеристических классов её конечнопорождённых проективныхмодулей. В силу полупростоты алгебры APлюбой её конечнопорождённыйNмодуль E проективен и имеет вид E = i=1 µi Ei , где для каждого i µi— целое неотрицательное число, а Ei = Fini — неприводимый модуль,соответствующий i-той матричной компоненте. Ответ на поставленныйвопрос даёт следующая53LNТеорема 2.1.

Пусть A =i=1 Mni (Fi ) — полупростая алгебра, E =PNi=1 µi Ei — конечномерный A-модуль. Тогда, если модуль E пропорционален свободному (E = λA), т.е. существует, вообще говоря, рациональное число λ, такое что µi = λni , i = 1, . . . , N , то все характеристические классы cn (E) равны нулю. В противном случае, cn (E) 6= 0 длявсех n.Доказательство.

1. Пусть E пропорционален свободному модулю. Этоозначает, что существует натуральное k, такое что модуль kE изоморфенсвободному модулю, скажем, lA. Тогда в силу аддитивности характеристических классовk cn (E) = cn (kE) = cn (lA) = l cn (A) = l 0 = 0,откуда cn (E) = 0 для любого n.2. Пусть E не пропорционален свободному. Тогда найдётся пара индексов i, j, например, i = 1, j = 2, таких что µi nj 6= µj ni .

Благодаряпредложению 1.29 достаточно показать, что нетривиален нулевой характеристический классe = A/([A, A] + k1),c0 (E) = Tr (P ) ∈ Aгде P ∈ Mr (A) — проектор, определяющий проективный модуль, изоморфный E. В качестве P в данном случае можно взять элементLN(i)(i) ⊕µi, где ekl , i = 1, . .

. , N, k, l = 1, . . . , ni суть матричные едиi=1 (e11 )ницы алгебры A.Рассмотрим функционал τ : A → k, заданный формулойτ (a) = n2 Tr 1 (a1 ) − n1 Tr 2 (a2 ),a=NXai ∈ A,i=1где Tr i : Mni (Fi ) → k есть композиция обычного матричного следа Tr :Mni (Fi ) → Fi и отображения нормированного следа tri : Fi → k, tri (1) =1, конечного расширения Fi поля k. Тогда τ (ab) = τ (ba) для всех a, b ∈ A,согласно свойству цикличности следа.

Кроме того,τ (1) = n2 Tr (1n1 ) − n1 Tr (1n2 ) = n2 n1 − n1 n2 = 0.e → k. Посмотрим, чемуСледовательно, τ определяет отображение τe : A54равно значение τe на элементе c0 (E):τe(c0 (E)) = τÃNX!(i)µi e11(1)(2)= n2 Tr 1 (µ1 e11 ) − n1 Tr 2 (µ2 e11 ) =i=1n2 µ1 − n1 µ2 6= 0.e аТаким образом, характеристический класс c0 (E) не равен нулю в A,значит и все остальные характеристические классы модуля E отличны отнуля.Повторение рассуждений первой части теоремы в случае простой алгебры немедленно приводит к такому результату.Следствие 2.2.

Если A — простая конечномерная алгебра, т.е. A =Mn (F ), где F — конечномерное тело над k, то для любого конечнопорождённого модуля E и любого дифференциального исчисления Ω∗ всехарактеристические классы cn (E, Ω∗ ) равны нулю.¤Прямым следствием теоремы 2.1 является также следующееПредложение 2.3. Пусть G – конечная группа, A = k[G] её групповаяалгебра над полем k характеристики 0. Тогда любой конечномерный Aмодуль, не являющийся свободным, имеет нетривиальные универсальные характеристические классы.Доказательство.

По теореме Машке алгебра A являетсяP полупростой.Она содержит одномерный неприводимый модуль E1 = k g∈G g ⊂ A, соответствующий тривиальному представлению группы G. Кратность представления E1 в разложении регулярного представленияна неприводимыеPравна dim k E1 = 1. Поэтому, если модуль E = i µi Ei пропорционаленсвободному, т.е.

E = λA, то λ = µ1 – целое неотрицательное число и E является свободным модулем. Следовательно, любой несвободный модуль непропорционален свободному и, согласно доказанной выше теореме, имеетнетривиальные характеристические классы.Замечание 2.1. Первый пример ненулевого характеристического классадля групповой алгебры был построен в работе [10].Теперь рассмотрим характеристические классы для других дифференциальных исчислений, определённых в параграфе 1.1. Нам потребуетсяследующее вспомогательное утверждение, которое, впрочем, представляет самостоятельный интерес.55Предложение 2.4.

Пусть A1 , A2 — ассоциативные алгебры с единицейи A = A1 ⊕A2 . Пусть даны также Ω∗ — центральное дифференциальноеисчисление на алгебре A и E — конечнопорождённый проективный Aмодуль. Тогда1. Ω∗ раскладывается в прямую суммы дифференциальных градуированных алгебр Ω∗ = Ω∗1 ⊕ Ω∗2 , где Ω∗i есть дифференциальное исчисление на алгебре Ai ;2. модуль E представляется в виде прямой суммы E = E1 ⊕ E2 , гдеEi есть конечный проективный Ai -модуль;3. cn (E, Ω∗ ) = cn (E1 , Ω∗1 ) + cn (E2 , Ω∗2 ) при всех n.Доказательство. Обозначим ek — единицу подалгебры Ak в A. Тогдаek ∈ Z (A), e1 + e2 = 1, ek el = δkl ek .(2.1)Положим Ω∗k = ek Ω∗ , k = 1, 2.

Из (2.1) следует, что как линейное пространство Ω∗ = Ω∗1 ⊕ Ω∗2 . Из центральности исчисления Ω∗ вытекает, чтоΩ∗k является градуированной подалгеброй. Кроме того, в силу той же центральности,de1 = d(e1 e1 ) = e1 de1 + de1 e1 = e21 de1 + de1 e21 = 2e1 (de1 )e1 = 0,аналогично, de2 = 0, так что Ω∗1 и Ω∗2 суть дифференциальные подалгебры. То, что Ω∗k есть дифференциальное исчисление на Ak , следует изравенства ek A = Ak .Положим Ek = Eek .

Тогда, как и ранее, E = E1 ⊕E2 . Так как e1 e2 = 0,то E1 A2 = 0, аналогично, E2 A1 = 0. Поэтому Ek есть Ak -модуль. Проективность и конечнопорождённость модуля Ek есть очевидное следствиеаналогичных свойств модуля E.Пусть модуль E задаётся проектором P ∈ Mr (A). Тогда P = P1 + P2 ,где Pk ∈ Mr (Ak ) также является проектором. Заметим, что Ek ' Im Pk .Так как ω1 ω2 = 0 для любых ω1 ∈ Ω∗1 , ω2 ∈ Ω∗2 , то P (dP )2n = P1 (dP1 )2n +P2 (dP2 )2n . С другой стороны, имеем разложение комплексовe ∗ = Ω∗ /[Ω∗ , Ω∗ ] = Ω∗1 /[Ω∗1 , Ω∗1 ] ⊕ Ω∗2 /[Ω∗2 , Ω∗2 ] = Ωe ∗1 ⊕ Ωe ∗2 ,Ωe ∗ ).