Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр, страница 5

Если E ⊕ F = A⊕m ,то грассманова связность ∇0 на F дополняет ∇1 и ∇2 до связностей¯ i = ∇i ⊕ ∇0 , i = 1, 2 на свободном модуле A⊕m . Кривизна R̄i = ∇¯2∇iв данном случае тоже представляется в виде прямой суммы Ri ⊕ R0 . Поnэтому в силу аддитивности следа Tr (R̄in ) = Tr (Rin ) + Tr (R0 ), откудаTr (R1n ) − Tr (R2n ) = Tr (R̄1n ) − Tr (R̄2n ) — кограница как разность двухкограничных элементов. Кроме того, выбор грассмановой связности в качестве ∇1 немедленно даёт коцикличность связности ∇2 . Таким образом,теорема полностью доказана.Определение 1.6 (см. [22]). Характеристическими классами конечнопорождённого проективного модуля E со значениями в дифференциальe ∗ ).ном исчислении Ω∗ называются элементы cn (E, Ω∗ ) = [Tr Rn ] ∈ H 2n (ΩЗамечание 1.3. Доказательство теоремы 1.8 даёт следующую широкоприменяемую при вычислениях формулу для характеристических классов модуля, заданного проектором P :£ ¡¢¤cn (Im P, Ω∗ ) = Tr P (dP )2n .(1.12)Рассмотрим простейшие свойства характеристических классов Каруби.Предложение 1.9.

Пусть A — ассоциативная алгебра с единицей, Ω∗— дифференциальное исчисление на ней. Тогда1. для любых конечнопорождённых проективных правых модулей E иF cn (E ⊕ F, Ω∗ ) = cn (E, Ω∗ ) + cn (F, Ω∗ );2. cn (A⊕m , Ω∗ ) = 0 для любого n и m.Доказательство. 1. Если ∇1 : E → E ⊗A Ω1 , ∇2 : F → F ⊗A Ω1 —связности, то ∇ = ∇1 ⊕∇2 — связность на E ⊕F . Тогда R = ∇2 = R1 ⊕R2 ,где Ri = ∇2i .

Точно так же Rn = R1n ⊕ R2n , поэтому из аддитивности следа(предложение 1.7) получаем равенствоTr (Rn ) = Tr (R1n ) + Tr (R2n ),24откуда cn (E ⊕ F, Ω∗ ) = cn (E, Ω∗ ) + cn (F, Ω∗ ).2. В силу предыдущего пункта достаточно проверить обнуление характеристических классов у регулярного модуля A.

В качестве связности в этом случае можно взять дифференциал d комплекса Ω∗ . ТогдаR = d2 = 0, так что cn (A, Ω∗ ) = 0 при всех n и для всех Ω∗ .Предложение 1.10. Пусть A есть ассоциативная алгебра с единицей,E — конечнопорождённый проективный модуль на A. Пусть Ω∗1 , Ω∗2 —дифференциальные исчисления на A и φ : Ω∗1 → Ω∗2 — морфизм дифференциальных исчислений. Тогда для любого ncn (E, Ω∗2 ) = φ∗ cn (E, Ω∗1 ),e ∗ ) → H ∗ (Ωe ∗ ) индуцировано φ.где отображение φ∗ : H ∗ (Ω12Доказательство. Если E выделяется проектором P ∈ Mm (A) в свобод£¤e ∗ ). Поскольку φном модуле A⊕m , то cn (E, Ω∗i ) = Tr (P (dP )2n ) ∈ H 2n (Ωiявляется гомоморфизмом дифференциальных алгебр, то¡¢φ P (dP )2n = P (dP )2n ,e ∗ и затем к их когомологиям,откуда, переходя к факторкомплексам Ωiполучаем искомое равенство cn (E, Ω∗2 ) = φ∗ cn (E, Ω∗1 ).Следствие 1.11. Пусть A есть ассоциативная алгебра с единицей, E— конечнопорождённый проективный модуль на A, Ω∗ — дифференциальное исчисление на A.

Тогда для любого ncn (E, Ω∗ ) = ψ∗ cn (E, Ω∗univ (A)),где ψ : Ω∗univ (A) → Ω∗ — единственный морфизм дифференциальных исчислений. Следовательно, равенство cn (E, Ω∗univ (A)) = 0 влечёт равенство cn (E, Ω∗ ) = 0 для каждого дифференциального исчисления Ω∗ . ¤Определение 1.7. Характеристические классы конечнопорождённогопроективного модуля E над ассоциативной алгеброй с единицей A с коэффициентами в универсальном дифференциальном исчислении Ω∗univ (A)называются универсальными характеристическими классами модуля Eи будут обозначаться в дальнейшем cn (E) = cn (E, Ω∗univ (A)).Утверждение 1.11, таким образом, показывает, что среди всех характеристических классов универсальные являются максимальным инвариантом проективных модулей.

В силу этого соображения в последующем мысосредоточим основное внимание на универсальных характеристическихклассах.25£¤Замечание 1.4. Формула cn (E, Ω∗ ) = Tr (P (dP )2n ) вдохновляет насна следующее определение. Пусть E — конечнопорождённый проективный A-модуль.

Определим нулевой характеристический класс модуля Ec0 (E) = Tr (idE ) ∈ A/ ([A, A] + k1). Класс c0 аддитивен (c0 (E ⊕ F ) =c0 (E) + c0 (F )) и приведён (c0 (A) = 0), очевидно, не зависит от выборасвязности и от дифференциального исчисления.

На самом деле, несложно показать, чтоe ∗ ) = H 0 (Ωe ∗ )/k1 ⊂ A/ ([A, A] + k1)c0 (E) ∈ H̄ 0 (Ωдля каждого дифференциального исчисления Ω, так что можно считатьc0 (E) = c0 (E, Ω∗ ) для любого Ω∗ .1.3Характеристические классы ЖураеваМищенко-СоловьёваВ середине 80-х годов прошлого века были предложены две различныеконструкции, обобщающие характеристические классы Чженя-Вейля наслучай некоммутативных алгебр и их проективных модулей. Одну из них,принадлежащую Каруби, мы описали в предыдущем параграфе. Другаяконструкция возникла в серии совместных работ [3, 4], [2] А.

С. Мищенко, Ю. П. Соловьёва и Ю. Й. Жураева. Нашей ближайшей целью будет установление связи между характеристическими классами Карубии Жураева-Мищенко-Соловьёва. Напомним вкратце основные элементыконструкции, принадлежащей последним трём авторам (см. также [6]).Пусть A — ассоциативная алгебра с единицей, Z = Z(A) — её центр,D = Der (A) — множество дифференцирований на A. Тогда, как былоуказано в разделе 1.1, D является алгеброй Ли и Z-модулем, а Z — инвариантная относительно действия D центральная подалгебра в A.

Зафиксируем некоторый конечнопорождённый проективный правый A-модульE.Определение 1.8. Связностью в смысле Жураева-Мищенко-Соловьёвана модуле E называется произвольное k-линейное отображение∇ : E → HomZ (D, E),удовлетворяющее тождеству Лейбница∇X (sa) = ∇X (s)a + sX(a)для любых s ∈ E, a ∈ A, X ∈ D,где ∇X (s) = ∇(s)(X).26Предложение 1.12. На любом конечнопорождённом проективном модуле существует связность в смысле Жураева-Мищенко-Соловьёва.Определение 1.9. Кривизной в смысле Жураева-Мищенко-Соловьёвасвязности ∇ на модуле E называется билинейное отображение Θ из D вEndk (E), определённое формулойΘ(X, Y )(s) = ∇X ∇Y (s) − ∇Y ∇X (s) − ∇[X,Y ] (s),X, Y ∈ D, s ∈ E.Заметим, ¡что кривизна Θ¢ Z-линейна и кососимметрична и потому лежит в HomZ Λ2Z D, Endk (E) .

Кроме того, равенствоΘ(X, Y )(sa) = ∇X ∇Y (sa) − ∇Y ∇X (sa) − ∇[X,Y ] (sa) =∇X (∇Y (s)a + sY (a)) − ∇Y (∇X (s)a + sX(a)) − ∇[X,Y ] (s)a − s[X, Y ](a) =(∇X ∇Y (s))a + ∇Y (s) · X(a) + ∇X (s) · Y (a) + s · (XY )(a)−(∇Y ∇X (s))a − ∇X (s) · Y (a) − ∇Y (s) · X(a) − s · (Y X)(a)−∇[X,Y ] (s)a − s · (XY − Y X)(a) =(∇X ∇Y (s))a − (∇Y ∇X (s))a − ∇[X,Y ] (s)a = Θ(X, Y )(s)aпри всех s ∈ E, a ∈ A, X, Y ∈ D показывает, что Θ является элементомпространства HomZ (Λ2Z D, EndA (E)).Конструкция характеристических классов Жураева-МищенкоСоловьёва по сравнению с конструкцией Каруби имеет дополнительныйпараметр — следовой модуль.Определение 1.10. Линейное пространство V называется следовым модулем, если V является модулем над Z и D, причём(zX)(v) = z · X(v),X(z · v) = X(z) · v + z · X(v)для всех X ∈ D, z ∈ Z, v ∈ V , и кроме того, имеется линейное отображение (след) τ : A → V , являющееся гомоморфизмом Z- и D-модулей иудовлетворяющее сотношениюτ (ab) = τ (ba)для любых a, b ∈ A.Каждая алгебра обладает хотя бы одним следовым модулем (см.

пример 1.7 ниже).Как и обычный след, следовой модуль (V, τ ) можно использовать длявычисления инвариантов эндоморфизмов проективных модулей. Болееточно, справедливо утверждение.27Предложение 1.13. Пусть (V, τ ) есть следовой модуль. Тогда существует расширение следа τ до семейства отображений τ̄E : EndA (E) →V , E — конечнопорождённый проективный A-модуль, такого что1.

(линейность) для каждого конечного проективного модуля E τ̄Eявляется k-линейным отображением;2. (коммутативность) для любых конечных проективных A-модулейE, F и любых морфизмов φ ∈ HomA (E, F ), ψ ∈ HomA (F, E)τ̄E (ψφ) = τ̄F (φψ);3. (аддитивность) для любых конечных проективных A-модулей E,F и любых морфизмов φ ∈ EndA (E), ψ ∈ EndA (F ) τ̄E⊕F (φ ⊕ ψ) =τ̄E (φ) + τ̄F (ψ);4. (нормировка) для E = A отображение τ̄A : EndA (A) = A → Vсовпадает с τ .Итак, пускай имеются конечнопорождённый проективный A-модульE, на котором выбрана некоторая связность в смысле Жураева-МищенкоСоловьёва ∇ с кривизной Θ, и следовой модуль V со следом τ . Приступим к построению характеристических классов Жураева-МищенкоСоловьёва.Рассмотрим градуированное линейное пространство∗Ω (D, V ) =∞MHomk (Λnk D, V ).n=0Дифференциал, задаваемый формулой (1.5), определяет на Ω∗ (D, V )структуру комплекса. В Ω∗ (D, V ) можно выделить подпространствоΩZ (D, V ) =∞MHomZ (ΛnZ D, V ),n=0которое, на самом деле, есть подкомплекс (см.

[2, 6]).Рассмотрим также пространствоΩ∗Z (D, EndA (E))=∞MHomZ (ΛnZ D, EndA (E)),n=0которое вместе с умножением (1.6) является градуированной алгеброй.Тогда Θ ∈ Ω2Z (D, EndA (E)). След τ̄E : EndA (E) → V индуцирует линейноеотображение(τ̄E )∗ : Ω∗Z (D, EndA (E)) → Ω∗Z (D, V ).28Определим элемент σn (E, ∇) ∈ Ω2nZ (D, V ) равенствомσn (E, ∇) = (τ̄E )∗ (Θn ).Теорема 1.14. Для каждого натурального n справедливы утверждения1. элемент σn (E, ∇) является коциклом в комплексе Ω∗Z (D, V );2.

класс когомологий [σn (E, ∇)] ∈ H 2n (Ω∗Z (D, V )) не зависит от выбора связности ∇.Определение 1.11. Элемент Chn (E, V ) = [σn (E, ∇)] группы 2n-мерныхкогомологий комплекса Ω∗Z (D, V ) называется n-ым характеристическимклассом Жураева-Мищенко-Соловьёва модуля E с коэффициентами в модуле следов V .Как видно из вышеизложенного, теория характеристических классовЖураева-Мищенко-Соловьёва во многом параллельна теории Каруби. Воставшейся части параграфа мы выявим связи, которые имеются между этими двумя конструкциями.

При этом мы получим доказательствосформулированных в начале этого параграфа предложений и теорем.Лемма 1.15. Для любого конечнопорождённого проективного A-модуляE имеют место следующие изоморфизмы линейных пространствΦ : Homk (E, HomZ (D, E)) ' Homk (E, E ⊗A Ω1Z (D, A)),Ψ∗ : Ω∗Z (D, EndA (E)) ' EndΩ∗Z (D,A) (E ⊗A Ω∗Z (D, A)),причём Ψ∗ является гомоморфизмом градуированных алгебр.Доказательство. Определим Φ как композицию изоморфизмовHomk (E, HomZ (D, E)) ' Homk (E, HomZ (D, E ⊗A A)) 'Homk (E, E ⊗A HomZ (D, A)) = Homk (E, E ⊗A Ω1Z (D, A)),29а Ψ∗ — как композициюΩ∗Z (D, EndA (E)) =HomZ (Λ∗Z D, EndA (E)) = HomZ (Λ∗Z D, HomA (E, E)) 'HomA (Λ∗Z D ⊗Z E, E) ' HomA (E, HomZ (Λ∗Z D, E)) =HomA (E, HomZ (Λ∗Z D, E ⊗A A)) ' HomA (E, E ⊗A HomZ (Λ∗Z D, A)) =HomA (E, E ⊗A Ω∗Z (D, A)) '³¡ ∗¢´∗HomA E, HomΩ∗Z (D,A) ΩZ (D, A), E ⊗A ΩZ (D, A) 'HomΩ∗Z (D,A) (E ⊗A Ω∗Z (D, A), E ⊗A Ω∗Z (D, A)) =EndΩ∗Z (D,A) (E ⊗A Ω∗Z (D, A)).Покажем, что Ψ∗ — гомоморфизм.