Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр, страница 2

Завершает параграф пример 2.1 дифференциального исчисления групповой алгебры диэдральнойгруппы C [Dn ], не являющегося центральным, в котором, однако, все характеристические классы тривиальны.Второй параграф главы посвящён рассмотрению случая, когда характеристика поля не равна нулю. Хотя все построения предыдущей главы5проводились в предположении, что характеристика основного поля равна нулю, при ненулевой характеристике поля также возможно с некоторыми ограничениями определить характеристические классы конечнопорождённого проективного модуля. Эти ограничения касаются размерности определяемых классов: она должна быть меньше, чем характеристика поля.

Пример 2.2 показывает, что при нарушении этого условия выборсвязности начинает оказывать влияние на характеристический класс, такчто определение 1.6 становится некорректным. Мы рассматриваем характеристические классы cn (E, Ω∗ ) в "стабильной"размерности 2n < char k идоказываем теоремы, аналогичные теоремам параграфа 2.1.

Как и ранее,универсальные характеристические классы оказываются в определённомсмысле мономорфными (теорема 2.6). Новой по сравнению со случаем нулевой характеристики является необходимость учитывать индексы алгебрс делением (определение 2.1), отвечающих простым компонентам изучаемой алгебры A, и рассматривать только регулярную часть алгебры имодуля. Характеристические классы, соответствующие другим дифференциальным исчислениям, неожиданно оказываются не равными нулютождественно (предложения 2.8, 2.9).Начиная с третьей главы в игру вступает топология.

С этого моментамы имеем дело с банаховыми алгебрами (точнее говоря, с C ∗ -алгебрами) ирассматриваем конструкции главы 1 в рамках категории банаховых пространств, учитывая топологию алгебры. Замена категории никак не влияет на определения и факты развитой теории и производится автоматически. В главе 3 изучаются универсальные характеристические классыаппроксимативно конечных C ∗ -алгебр.Открывающий главу параграф касается общей теории характеристических классов C ∗ -алгебр. Следуя [14], мы вводим понятие аменабельнойалгебры (определение 3.2). С точки зрения теории характеристическихклассов, аменабельные алгебры выделяются тем, что отображение периодичности S из параграфа 1.4 является изоморфизмом (теорема 3.2) и,таким образом, все универсальные характеристические классы совпадают между собой.

Далее мы приводим без доказательства фундаментальный результат Конна и Хаагерупа (теорема 3.1), который заключаетсяв том, что класс аменабельных C ∗ -алгебр совпадает с классом ядерныхC ∗ -алгебр. Это означает, что аменабельных алгебр очень много. В частности, все аппроксимативно конечные или же коммутативные алгебрыаменабельны.

В примере 3.1 мы рассматриваем последний случай и показываем, что единственным инвариантом, который доставляют характеристические классы проективного модуля над коммутативной C ∗ -алгеброй,является размерность соответствующего ему по теореме Cерра-Суона век6торного расслоения.В параграфе 3.2 мы определяем аппроксимативно конечные алгебры,или AF-алгебры (определение 3.6) и описываем распространённый комбинаторный способ задания AF-алгебр — диаграммы Браттели (определение 3.7).

Завершают параграф несколько примеров аппроксимативноконечных алгебр. Материал этого параграфа взят нами из [7, 15].Параграф 3.3 открывает пример вычисления K-группы с помощьютеоремы о непрерывности K-функтора (пример 3.5). Далее следуют дваосновных результата K-теории аппроксимативно конечных алгебр: классификационная теорема Эллиотта (теорема 3.11), которая утверждает,что AF-алгебра однозначно восстанавливается по своей K-группе, рассматриваемой вместе с естественным частичным порядком на ней; итеорема Хандельмана-Шена-Эффроса (теорема 3.9), которая описываеткласс частично упорядоченных групп, получающихся как K-группы AFалгебр. В качестве иллюстрации к классификационной теореме мы показываем в предложении 3.8, как свойство простоты алгебры выражаетсяна уровне её K-группы.

В примере 3.6 для каждого иррационального числа θ на отрезке [0, 1] строится алгебра Aθ с K-группой Z ⊕ Zθ, котораяиспользуется в следующей главе.Главный результат главы заключён в параграфе 3.4. Это теорема 3.11,в которой вычисляются универсальные характеристические классы аппроксимативно конечной алгебры. В отличие от конечномерной ситуацииглавы 2 в случае AF-алгебр у характера Конна-Черна появляется ядро— бесконечно малая часть Kinf (A) группы K0 (A) (определение 3.10). Вкачестве следствия к теореме мы показываем, что характеристическиеклассы Каруби и Жураева-Мищенко-Соловьёва бесконечномерной алгебры Клиффорда, а также алгебры Aθ из примера 3.6 равны нулю (пример 3.9).

Вторым следствием является факт, что проективные модулинад унитализацией групповой алгебры компактной топологической группы различаются с помощью универсальных характеристических классов(пример 3.10).В последней главе работы рассматриваются характеристические классы алгебр фон Неймана. Появляющиеся при этом теоремы оказываютсяочень похожими на теоремы главы 2. Утверждения из общей теории алгебр фон Неймана, довольно многочисленные в главе 4, приводятся бездоказательства, мы отсылаем читателя к [18].Параграф 4.1 включает некоторые известные факты из теории операторных алгебр и начинается определением алгебры фон Неймана (определение 4.2).

Затем определяются типы алгебр фон Неймана (определение 4.4), для чего вводится понятие следа (определение 4.3). Далее мы7формулируем структурные теоремы об алгебрах фон Неймана (теоремы 4.1, 4.2, 4.3). Завершают параграф несколько утверждений (теоремы 4.4, 4.5 и утверждение 4.6), касающихся гиперфинитного фактора Rтипа II1 (определение 4.7). В примере 4.1, где мы следуем [7], строитсявложение в гиперфинитный фактор алгебры Клиффорда и AF-алгебрыAθ .Основное содержание параграфа 4.2 составляют теоремы 4.9 и 4.11,в которых вычисляется K-группа алгебр фон Неймана. Этот результат,без сомнения, известный каждому специалисту в теории операторных алгебр, почему-то не нашёл своего отражения в доступной литературе, поэтому мы его доказываем, в значительной степени опираясь на [18]. Вовтором параграфе также определяется понятие операторного следа (определение 4.10), который используется при вычислении K-теории конечныхалгебр фон Неймана.Третий, и заключительный параграф главы несёт в себе теоремы охарактеристических классах алгебр фон Неймана.

Универсальные характеристические классы описываются теоремами 4.13 (для случая факторов) и 4.15. Заметим, что при доказательстве используется вложение AF-алгебры Aθ в гиперфинитный фактор, построенное в примере 4.1. Теорема 4.17 покрывает случай характеристических классов, отвечающих другим дифференциальным исчислениям, определённым в параграфе 1.1, а также характеристических классов Жураева-МищенкоСоловьёва. Результат схож с тем, что дают теоремы 2.1 и 2.5: характерКонна-Черна инъективен, а классы Жураева-Мищенко-Соловьёва (топологически) равны нулю.Автор выражает сожаление в связи с безвременной кончиной своегонаучного руководителя профессора Юрия Петровича Соловьёва, вдохновляющее влияние которого при написании данной работы невозможнопереоценить.

Автор благодарен всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложений во главе с академиком А. Т. Фоменко затворческий климат, сложившийся на кафедре, и поддержку.8ОглавлениеВведениеГлава1.11.21.31.41.521 Основные определенияДифференциальные исчисления . . . . . . . . . . . . . . .

.Конструкция Каруби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Характеристические классы Жураева-Мищенко-СоловьёваЦиклические гомологии и теорема Каруби . . . . . . . . .Характеристические классы с точки зрения функтора . ......101016263745Глава 2 Конечномерные полупростые алгебры532.1 Случай char k = 0 . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2 Случай char k 6= 0: стабильные характеристические классы . 61Глава3.13.23.33.43 Аппроксимативно конечные алгебрыЯдерные и аменабельные C ∗ -алгебры . . . . . .Определение аппроксимативно конечных алгебрK-теория AF-алгебр . . . . . . . . . . . .

. . . . .Характеристические классы AF-алгебр . . . . .....6868717580Глава4.14.24.34 Алгебры фон НейманаКлассификация алгебр фон Неймана . . . . . . . . . . . . . .K-теория алгебр фон Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . .Характеристические классы алгебр фон Неймана . .

. . . .86869096Список литературы........................1009Глава 1Основные определенияВ первой главе мы даём определение характеристических классов, которые являются объектом изучения в данной работе. В изложении конструкции характеристических классов, занимающем параграфы 1.1 и 1.2,мы следуем работе М. Каруби [22]. Универсальным характеристическимклассам, определяемым в конце параграфа 1.2, отводится центральнаяроль в последующих, вычислительных главах. В пункте 1.3 разбираетсядругая конструкция, принадлежащая А. С.

Мищенко, Ю. П. Соловьёвуи Ю. Й. Жураеву, и анализируется её связь с построениями параграфа 1.2. Параграф 1.4 посвящён теореме Каруби, связывающей его конструкцию характеристических классов с циклическими гомологиями. Основным следствием этой теоремы оказывается периодичность универсальных характеристических классов. В параграфе 1.5, завершающем даннуюглаву, мы показываем, что никаких других классов, кроме классов Каруби, не существует.1.1Дифференциальные исчисленияПусть A – ассоциативная алгебра с единицей над полем k характеристикинуль.Введём понятие, которое в настоящее время играет в некоммутативнойгеометрии роль обычных дифференциальных форм де Рама.Определение 1.1. Дифференциальным исчислением над алгебройA наL∞n∗зывается дифференциальная градуированная алгебра Ω = n=0 Ω , такая что Ω0 = A.10Видно, что определение предъявляет к дифференциальному исчислению самые умеренные требования, что позволяет применять его в самомшироком контексте.

Однако из-за этого у подавляющего большинства алгебр, с которыми приходится иметь дело, обнаруживается слишком много дифференциальных исчислений, так что выбор наиболее подходящегоиз них становится проблемой. Другой особенностью определения, отчасти вытекающей из его всеобщности, является неконструктивность, и этосоображение упрощает ситуацию. На сегодняшний день известны, по сути, всего две конструкции дифференциальных исчислений (см. [19]), нетребующих от алгебры A никаких специальных свойств: универсальноеисчисление и комплекс Кошуля, строящийся на основе дифференцирований алгебры. Начнём с универсального исчисления, которое, в основном,и будет использоваться ниже.Пример 1.1.

(универсальное дифференциальное исчисление)РассмотримL∞∗nградуированное линейное пространство Ωuniv (A) = n=0 Ωuniv (A):Ωnuniv (A) = A ⊗ Ā⊗n ,где Ā = A/k1.Для элементов пространства Ωnuniv (A) мы будем использовать следующеераспространённое обозначениеa0 ⊗ ā1 ⊗ · · · ⊗ ān или же a0 da1 .

. . dan .Формулы для умножения и дифференциала du имеют следующий видdu (a0 da1 . . . dan ) = 1 da0 da1 . . . dan ,(1.1)a0 da1 . . . dan · b0 db1 . . . dbm = a0 da1 . . . d(an b0 )db1 . . . dbm +n−1X(−1)n−k a0 da1 . . . dak−1 d(ak ak+1 )dak+2 . . . dan db0 . . . dbm +(1.2)k=1(−1)n a0 a1 da2 . . . dan db0 . . . dbm .Заметим, что выражение для умножения получается формальным применением тождества Лейбница.Дифференциальное исчисление Ω∗univ (A) с точностью до изоморфизмахарактеризуется следующим универсальным свойством:Предложение 1.1. Пусть (Ω∗ , d) – некоторое дифференциальное исчисление над алгеброй A.