Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр, страница 3

Тогда существует единственный морфизмдифференциальных исчислений ψ : Ω∗univ (A) → Ω∗ , т.е. гомоморфизм дифференциальных градуированных алгебр, такой что отображение ψ0 : Ω0univ (A) → Ω0 есть тождественное отображение алгебрыA = Ω0univ (A) = Ω0 .11Доказательство. Определим линейное отображение ψe : A⊗n+1 → Ωnформулойψe (a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an ) = a0 da1 . . . dan .eТак как d1 = 0, то ψ(a)= 0, если в элементе a = a0 ⊗ a1 ⊗ an один измножителей ai , i = 1, . . . , n, равен 1. Поэтому отображение ψe пропускается через отображение ψ : A ⊗ Ā⊗n → Ωn . Остаётся проверить, чтоопределённое таким образом ψ : Ω∗univ (A) → Ω∗ является гомоморфизмом дифференциальных алгебр.

Но это немедленно следует из (1.1), (1.2)и тождества Лейбница. Условие ψ0 = idA очевидно выполнено.Замечание 1.1. Универсальное дифференциальное исчисление Ω∗univ (A)можно определить иным способом. Для каждого натурального числа nрассмотрим отображения mi : A⊗n+1 → A⊗n , i = 1, . . .

, n, заданные формулойmi (a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an ) = a0 ⊗ · · · ⊗ ai−1 ai ⊗ · · · ⊗ an ,и положимΩ0u (A)= A,Ωnu (A)=n\ker mi .i=1Произведениеa0 ⊗ · · · ⊗ an · b0 ⊗ · · · ⊗ bm = a0 ⊗ · · · ⊗ an b0 ⊗ · · · ⊗ bm(1.3)и дифференциалd(a0 ⊗ · · · ⊗ an ) = 1 ⊗ a0 ⊗ · · · ⊗ an +n−1X(−1)i a0 ⊗ · · · ⊗ ai−1 ⊗ 1 ⊗ ai ⊗ · · · ⊗ an +i=1(−1)n a0 ⊗ · · · ⊗ an ⊗ 1 (1.4)Lопределяют на Ω∗u (A) = n Ωnu (A) структуру дифференциальной градуированной алгебры. Отображения ϕ : Ω∗u (A) → Ω∗univ (A) и ψ : Ω∗univ (A) →Ω∗u (A),ϕ(a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an ) = a0 da1 .

. . dan ,ψ(a0 da1 . . . dan ) = a0 · (1 ⊗ a1 − a1 ⊗ 1) · . . . · (1 ⊗ an − an ⊗ 1),являются взаимно обратными гомоморфизмами дифференциальных алгебр, поэтому Ω∗univ (A) и Ω∗u (A) изоморфны.12Кроме Ω∗univ (A), существуют и другие дифференциальные исчисления, обладающие тем или иным универсальным свойством [19]. Приведёмещё один пример подобного исчисления.Определение 1.2. Назовём дифференциальное исчисление Ω∗ центральным, если для каждого элемента c ∈ Z (A) из центра алгебры Aи произвольной формы ω ∈ Ω коммутатор [c, ω] = cω − ωc равен нулю.Пример 1.2. (универсальное центральное исчисление) Определим дифференциальное исчисление Ω∗Z (A) как д.г.а., получающуюся при факторизации Ω∗univ (A) по дифференциальному идеалу, порождённому коммутаторами с элементами центра алгебры A:Ω∗Z (A) = Ω∗univ (A)/I,I = ([c, ω], d[c, ω]), c ∈ Z (A), ω ∈ Ω∗univ (A).Из предложения 1.1 непосредственно следуетПредложение 1.2.

Пусть (Ω∗ , d) – некоторое центральное дифференциальное исчисление над алгеброй A. Тогда существует единственныйморфизм дифференциальных исчислений ψ : Ω∗Z (A) → Ω∗ .¤Вторая серия известных дифференциальных исчислений определяетсяс помощью дифференцирований алгебры A. Эти исчисления, как будетпоказано в разделе 1.3, находятся в тесной связи с характеристическимиклассами Жураева-Мищенко-Соловьёва.Пример 1.3.

(дифференциальное исчисление Ω(D, A)) Обозначим буквойD множество дифференцирований Der (A) алгебры A, т.е. совокупностьлинейных отображений X : A → A со свойством ЛейбницаX(ab) = a X(b) + X(a)bдля всех a, b ∈ A. Тогда D есть алгебра Ли относительно коммутаторадифференцирований, а алгебра A оказывается модулем над этой алгеброй Ли. Рассмотримсоответствующий коцепной комплекс Кошуля [13]L n∗Ω (D, A) = n Ω (D, A), где Ω0 (D, A) = A иΩn (D, A) = Homk (Λnk D, A) −пространство всех кососимметричных n-линейных отображений из D в A.13Дифференциал формы ω ∈ Ωn (D, A) имеет вид(dω)(X1 , X2 , .

. . , Xn+1 ) =n+1³´1 Xi+1(−1) Xi ω(X1 , . . . , Xi−1 , X̂i , Xi+1 , . . . , Xn+1 ) +n + 1 i=1³´1 Xi+j(−1) ω [Xi , Xj ], X1 , . . . , X̂i , . . . , X̂j , . . . , Xn .n + 1 i<j(1.5)Тождество Лейбница позволяет ввести согласованное умножение на комплексе Ω∗ (D, A):(ω ∧ η)(X1 , . . . , Xm+n ) =X1(−1)σ ω(Xσ(1) , . . . , Xσ(m) ) η(Xσ(m+1) , .

. . , Xσ(m+n) ),(m + n)!(1.6)σ∈Σm+nгде ω ∈ Ωm (D, A), η ∈ Ωn (D, A). Операция умножения и дифференциал делают Ω∗ (D, A) дифференциальной градуированной алгеброй [5, 13],которая, очевидно, является дифференциальным исчислением.Рассмотрим ещё один пример дифференциального исчисления, связанного с алгеброй Ли Der (A).Пример 1.4. Пусть, как и в примере выше, D есть множество дифференцирований алгебры A, а Z = Z(A) — центр алгебры A. Тогда D являетсяZ-модулем относительно естественного действия(zX)(a) = z · X(a)для всех z ∈ Z, a ∈ A, X ∈ D.Рассмотримградуированное векторное подпространство Ω∗Z (D, A) =L n∗n ΩZ (D, A) в Ω (D, A),Ω0Z (D, A) = A,ΩnZ (D, A) = HomZ (ΛnZ D, A),состоящее из Z-полилинейных кососимметрических отображений из D вA, т.е.

из форм ω ∈ Ωn (D, A), удовлетворяющих тождествуω(X1 , . . . , zXi , . . . , Xn ) = z · ω(X1 , . . . , Xi , . . . , Xn )при всех z ∈ Z, X1 , . . . , Xn ∈ D, 1 ≤ i ≤ n. В работе [2] показано, чтоΩ∗Z (D, A) является дифференциальной подалгеброй в Ω∗ (D, A), и поэтомуоно также представляет собой дифференциальное исчисление.14Замечание 1.2. Возьмём в качестве алгебры A алгебру гладких функций C ∞ (M ) на многообразии M . Тогда Z(A) = C ∞ (M ), Der (A) =V ect∞ (M ). Среди четырёх перечисленных выше дифференциальных исчислений только Ω∗Z (A) и Ω∗Z (D, A) дают ожидаемую алгебру форм деРама Ω∗dR (M ) (см. [19]). Для Ω∗Z (D, A) этот факт также установлен в работе [2].Покажем совпадение Ω∗Z (A) и Ω∗dR (M ). Согласно свойству универсальности кэлеровых дифференциалов, которые в данном случае образуютпространство Ω1dR (M ), получаем равенство Ω1Z (A) = Ω1dR (M ) = Ω1Z (D, A).Далее, дифференцирование тождества f dg = dg f в Ω1Z (A) для произвольной пары функций f, g ∈ A даёт соотношениеdf dg = −dg df.Благодаря этому существует гомоморфизм φ : Ω∗Z (D, A) → Ω∗Z (A), тождественный на 0-формах.

С другой стороны, в силу универсальности определён гомоморфизм π : Ω∗Z (A) → Ω∗Z (D, A). Поскольку оба дифференциальных исчисления в нашем случае порождаются 0-формами, то композиции π ◦ φ и φ ◦ π суть тождественные отображения, так что Ω∗Z (A)изоморфно Ω∗Z (D, A) = Ω∗dR (M ).Универсальное дифференциальное исчисление оказывается отличнымот форм де Рама. Как показывает замечание 1.1, её n-формы, лежащие вΩnuniv (A), можно (с точностью до пополнения) отождествить с функциямина пространствеM ×(n+1) = {(x0 , . .

. , xn ) | xi ∈ M, i = 0, . . . , n} ,обнуляющимися на диагоналях xi = xi+1 , i = 0, . . . , n.Предложение 1.3. Определённые в примерах 1.1-1.4 дифференциальныеисчисления связаны между собой последовательностью морфизмовπjπ12Ω∗univ (A) −→Ω∗Z (A) −→Ω∗Z (D, A) ,→ Ω∗ (D, A),где π1 , π2 проекции, а j — вложение.Доказательство. Существование и единственность отображений π1 и π2следует из универсальных свойств исчислений Ω∗univ (A) и Ω∗Z (A).

Существование вложения j обеспечивается самим определением дифференциального исчисления Ω∗Z (D, A).151.2Конструкция КарубиПусть A — ассоциативная алгебра с единицей, Ω∗ — некоторое дифференциальное исчисление над A и E — конечнопорождённый проективныйправый A-модуль.Следуя [22], определим понятие связности.Определение 1.3. Ковариантным дифференцированием, или связностью на модуле E называется k-линейное отображение ∇ : E → E ⊗A Ω1 ,обладающее свойством∇(sa) = ∇s · a + s ⊗ da(1.7)для всех s ∈ E, a ∈ A.Из тождества (1.7) немедленно вытекаетПредложение 1.4. Пусть ∇, ∇0 — две связности на модуле E. Тогда ∇ − ∇0 ∈ HomA (E, E ⊗A Ω1 ).

Обратно, если φ ∈ HomA (E, E ⊗A Ω1 )есть некоторый A-линейный гомоморфизм, то отображение ∇ + φ ∈Homk (E, E ⊗A Ω1 ) является связностью. Таким образом, связности образуют аффинное пространство.¤Пример 1.5 (связности на свободном модуле). Пусть E = A⊕n — свободный модуль, элементы которого суть столбцы высоты n. Из тождестваЛейбница для дифференциала d в Ω∗ следует, что отображение ∇0 = d⊕n ,задаваемое формулой a1da1a1∇0  . . .  =  . . .  ,  . . .

 ∈ A⊕n ,andananявляется связностью. Тогда произвольная связность на A⊕n имеет вид∇ = ∇0 + φ, φ ∈ HomA (A⊕n , A⊕n ⊗A Ω1 ). Отображение φ относительноестественных базисов в A⊕n и A⊕n ⊗ Ω1 = (Ω1 )⊕n задаётся матрицейΓ = (γij )ni,j=1 , γij ∈ Ω1 . Отсюда получаем формулу для связности ∇:  a1da1γ11 . . . γ1na1∇ ...  =  ...  +  ...

... ...  ... ,andanγn1 . . . γnnana1a =  . . .  ∈ A⊕n ,anили, в матричной форме, ∇a = da + Γa.16Пример 1.6 (грассманова связность). На любом конечнопорождённомпроективном модуле E, который оператор проектирования p ∈EndA (A⊕n ), p2 = p выделяет как прямое слагаемое E = Im p в свободном модуле A⊕n , можно задать грассманову связность ∇G с помощьюследующей диаграммы∇E ⊗A Ω1↑ p ⊗ idG−→E↓A⊕nd(1.8)⊕n−→ (Ω1 )⊕n = A⊕n ⊗A Ω1Поэтому на проективном модуле всегда существует связность.

Более того,оказывается верно и обратное.Предложение 1.5 (см. [23]). Пусть E — конечнопорождённый правыйA-модуль. Модуль E проективен тогда и только тогда, когда для любогодифференциального исчисления Ω∗ на A существует связность ∇ : E →E ⊗A Ω1 .Доказательство. Наличие у проективного модуля грассмановой связности показывает необходимость.Пускай теперь для каждого дифференциального исчисления на модуле E существует связность.