Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр, страница 6

Для этого посмотрим на конкретный вид этого отображения. Пусть φ ∈ ΩmZ (D, EndA (E)), s ∈ E, ω ∈nΩZ (D, A). Тогда Ψ∗ (φ) является эндоморфизмом модуля E ⊗A Ω∗Z (D, A),повышающим градуировку на n, и, отождествляя пространстваE ⊗A Ω∗Z (D, A) = E ⊗A HomZ (Λ∗Z D, A) и HomZ (Λ∗Z D, E),имеем для всех X1 , . . . , Xm+n ∈ D[Ψ∗ (φ)(s ⊗ ω)] (X1 , . .

. , Xm+n ) =X£¤1(−1)σ φ(Xσ(1) , . . . , Xσ(m) ) (s)·(m + n)!σ∈Σm+nω(Xσ(m+1) , . . . , Xσ(m+1) ). (1.13)В частности,[Ψ∗ (φ)(s ⊗ 1)] (X1 , . . . , Xm ) = [φ(X1 , . . . , Xm )] (s).nПусть φ1 ∈ ΩmZ (D, EndA (E)), φ2 ∈ ΩZ (D, EndA (E)). Проверку доста0точно производитьP на элементах вида s ⊗A 1n ∈ E ⊗A ΩZ (D, A). ПустьΨ∗ (φ2 )(s ⊗ 1) =i si ⊗ ωi , si ∈ E, ωi ∈ ΩZ (D, A). Тогда для любых30X1 , . .

. , Xm+n ∈ D[Ψ∗ (φ1 )Ψ∗ (φ2 )(s ⊗ 1)](X1 , . . . , Xm+n ) =X[Ψ∗ (φ1 )(si ⊗ ωi )](X1 , . . . , Xm+n ) =1(m + n)!1(m + n)!1(m + n)!iXXiσ∈Σm+n¡¢(−1)σ φ1 (Xσ(1) , . . . , Xσ(m) ) (si )·ωi (Xσ(m+1) , . . . , Xσ(m+n) ) =X¡¢(−1)σ φ1 (Xσ(1) , . . . , Xσ(m) )σ∈Σm+nXÃX!si · ωi (Xσ(m+1) , .

. . , Xσ(m+n) )=i¡¢(−1)σ φ1 (Xσ(1) , . . . , Xσ(m) )σ∈Σm+n¡¢[φ2 (Xσ(m+1) , . . . , Xσ(m+n) )](s) =[(φ1 φ2 )(X1 , . . . , Xm+n )](s) = [Ψ∗ (φ1 φ2 )(s ⊗ 1)](X1 , . . . , Xm+n ).Следовательно, Ψ∗ (φ1 )Ψ∗ (φ2 ) = Ψ∗ (φ1 φ2 ), так что Ψ∗ — гомоморфизм.Покажем теперь, как соотносятся только что введённые определениясвязности и кривизны с понятиями связности и кривизны в конструкцииКаруби.Предложение 1.16. Для любого конечного проективного A-модуля Eвыполнены следующие утверждения1.

изоморфизм Φ из леммы 1.15 устанавливает биекцию между связностями в смысле Жураева-Мищенко-Соловьёва и связностямиКаруби в дифференциальном исчислении Ω∗Z (D, A);2. изоморфизм Ψ2 устанавливает биекцию между кривизнами всмысле Жураева-Мищенко-Соловьёва и кривизнами Каруби в дифференциальном исчислении Ω∗Z (D, A).

При этом, если ∇ есть некоторая ЖМС-связность и Θ — её кривизна, то Ψ2 (Θ) есть удвоенная кривизна связности Каруби Φ(∇) (ср. [5, § III.5]).31b = Φ(∇).Доказательство. 1. Пусть ∇ — ЖМС-связность на E и пусть ∇Тогда для любых s ∈ E, a ∈ A, X ∈ Db∇(sa)(X)= ∇X (sa) = ∇X (s)a + sX(a) = ∇X (s)a + s · da(X) =b(∇(s)a)(X)+ (s ⊗A da)(X),b удовлетворяет тождеству Лейбница и, таким образом,т.е.

отображение ∇является связностью.b — связность Каруби и ∇ = Φ−1 (∇).b ТогдаОбратно, пусть ∇³´bb∇X (sa) = ∇(sa)(X) = ∇(s)a + s ⊗A da (X) = ∇X (s)a + sX(a),следовательно, ∇ — связность в смысле Жураева-Мищенко-Соловьёва.b = Φ(∇) — соот2. Пусть ∇ — ЖМС-связность, Θ — её кривизна, а ∇ветствующая ей связностьPКаруби.bПусть s ∈ E и ∇(s) = i si ⊗ ωi , где si ∈ E, ωi ∈ Homk (D, k). Тогдадля любых X, Y ∈ DÃb∇X ∇Y (s) = ∇X (∇(s)(Y)) = ∇XXX!si ωi (Y )=ib i ))(X)ωi (Y ) =(∇(siАналогично,∇Y ∇X (s) =XX∇X (si )ωi (Y ) =ib i ) ⊗ ωi )(X, Y ).(∇(siXb i ) ⊗ ωi )(Y, X),(∇(siтак что∇X ∇Y (s) − ∇Y ∇X (s) = 2Xb i ) ∧ ωi )(Y, X).(∇(s(1.14)iС другой стороны, так как ωi (Y ) ∈ k, то X(ωi (Y )) = 0. Аналогично,Y (ωi (X)) = 0, и мы получаем равенство∇[X,Y ] (s) =Xsi ωi ([X, Y ]) =iXsi (−2(dωi )(X, Y ) + X(ωi (Y )) + Y (ωi (X))) =i−2X(si ⊗ dωi )(X, Y ).

(1.15)i32Вычитая из равенства (1.14) равенство (1.15), получим(ψ2 (Θ)(s))(X, Y ) = (Θ(X, Y ))(s) = ∇X ∇Y (s) − ∇Y ∇X (s) − ∇[X,Y ] (s) =XXb i ) ∧ ωi )(X, Y ) + 22(∇(s(si ⊗ dωi )(X, Y ) =2Xiib i ) ∧ ωi + si ⊗ dωi )(X, Y ) = 2(∇(siXb i ⊗ ωi ))(X, Y ) =(∇(sib ◦ ∇(s))(X,b2(∇Y ).b 2 — удвоенная кривизна связности ∇,b иСледовательно, ψ2 (Θ) = 2∇Ψ2 , таким образом, устанавливает биекцию между кривизнами в смысле Жураева-Мищенко-Соловьёва и кривизнами Каруби.Предложение 1.12 есть прямое следствие только что доказанногоутверждения.Связь между конструкциями Каруби и Жураева-Мищенко-Соловьёваосуществляется с помощью двух объектов: с одной стороны, дифференциального исчисления Ω∗Z (D, A), введённого в примере 1.4, с другой —универсального следового модуля.Пример 1.7 (универсальный следовой модуль).

Рассмотрим пространствоe = A/[A, A]. Поскольку для любых a, b ∈ A, z ∈ Z, X ∈ DAz[a, b] = [za, b] ∈ [A, A],X[a, b] = [X(a), b] + [a, X(b)] ∈ [A, A],e имеютсято [A, A] является Z- и D-подмодулем в A и, следовательно, на Aестественные согласованные между собой структуры Z- и D-модуля. Приe является Z- и D-гомоморфизмом,этом естественная проекция π : A → Aкоторый по определению на коммутаторах равен нулю. Поэтому π естьe — следовой модуль. Оказывается, что Ae универсален в следуюслед, а Aщем смысле.Предложение 1.17.

Пусть V есть следовой модуль со следом τ : A →e→V,V . Тогда существует единственный морфизм Z- и D-модулей ρ : Aтакой что τ = ρ ◦ π.e положим ρ(eДоказательство. Для каждого ea = a + [A, A] ∈ Aa) = τ (a).Так как τ ([a, b]) = 0 для любых a, b ∈ A, то ρ корректно определён. Тогда ρ — морфизм, обладающий всеми свойствами из формулировки предложения. Единственность такого морфизма следует из сюръективностипроекции π.33e → V — морфизм изДоказательство предложения 1.13. Пусть ρ : Aпредложения 1.17. Положим τ̄ = ρ ◦ Tr . Тогда τ̄ удовлетворяет всем требованиям в формулировке предложения.Лемма 1.18.

Следующая диаграмма, состоящая из отображений градуированных линейных пространств, коммутативнаTrEndΩ∗Z (D,A) (E ⊗A Ω∗Z (D, A))↑ Ψ∗−→Ω∗Z (D, EndA (E))(π̄E )∗−→e ∗ (D, A)ΩZ↓πe∗ ,eΩ∗ (D, A)Ze ∗ (D, A) = Ω∗ (D, A)/[Ω∗ (D, A), Ω∗ (D, A)], (A,e π) — универсальныйгде ΩZZZZследовой модуль, πe∗ — отображение, индуцированное проекцией π∗ :∗∗e а Ψ∗ — изоморфизм из леммы 1.15.

При этомΩZ (D, A) → ΩZ (D, A),πe∗ — цепное отображение.nДоказательство. Если ω1 ∈ ΩmZ (D, A), ω2 ∈ ΩZ (D, A), то для любыхX1 , . . . , Xm+n ∈ D[ω1 , ω2 ](X1 , . . . , Xm+n ) =X©1(−1)σ ω1 (Xσ(1) , . . . , Xσ(m) )ω2 (Xσ(m+1) , . . . , Xσ(m+n) )−(m + n)!σ∈Σm+nª(−1)mn ω2 (Xσ(1) , . .

. , Xσ(n) )ω1 (Xσ(n+1) , . . . , Xσ(m+n) ) =X¡¢1(−1)σ [ω1 (Xσ(1) , . . . , Xσ(m) ), ω2 (Xσ(m+1) , . . . , Xσ(m+n) )](m + n)!σ∈Σm+n∈ [A, A].Следовательно, отображение πe∗ корректно определено. πe∗ есть цепноеотображение, так как таковым является π∗ .Пусть φ ∈ ΩnZ (D, EndA (E)) и X1 , . . . , Xn ∈ D. Тогда[(π̄E )∗ (φ)](X1 , . . . , Xn ) = π̄E (φ(X1 , .

. . , Xn )) = Tr (φ(X1 , . . . , Xn )) ,e есть обычный операторный след. Отожпоскольку π̄E : EndA (E) → Aдествляя E с образом некоторого проектора P ∈ EndA (A⊕l ) в свободноммодуле с базисом ei , i = 1, . . . , l, получим[(π̄E )∗ (φ)](X1 , . . . , Xn ) =lXφii (X1 , . . . , Xn )i=134mod [A, A],где элементы φii (X1 , . .

. , Xn ) ∈ A определены равенствами[φ(X1 , . . . , Xn )](P ei ) =lXej · φji (X1 , . . . , Xn )j=1для всех 1 ≤ i ≤ l.С другой стороны, модуль E ⊗A Ω∗Z (D, A) выделяется в свободноммодуле A⊕l ⊗A Ω∗Z (D, A) проектором P ⊗ id. ТогдаTr (Ψ∗ (φ)) =lXφ0iimod [Ω∗Z (D, A), Ω∗Z (D, A)],i=1где для каждого 1 ≤ i ≤ l[Ψ∗ (φ)] ((P ⊗ 1)(ei ⊗ 1)) =lXej ⊗ φ0ji ,φ0ji ∈ ΩnZ (D, A),j=1и таким образом,[π̃∗ ◦ Tr (Ψ∗ (φ))](X1 , . .

. , Xn ) =lXφ0ii (X1 , . . . , Xn ) mod [A, A].i=1Но из определения отображения Ψ∗ следует, что для каждого 1 ≤ i ≤ llXej · φ0ji (X1 , . . . , Xn ) = [Ψ∗ (φ) (P ei ⊗ 1)](X1 , . . . , Xl ) =j=1[φ(X1 , . . . , Xl )](P ei ) =lXej · φji (X1 , . . . , Xn )j=1и потому φ0ii (X1 , . .

. , Xn ) = φii (X1 , . . . , Xn ). Следовательно,[π̃∗ ◦ Tr (Ψ∗ (φ))](X1 , . . . , Xn ) = [(π̄E )∗ (φ)](X1 , . . . , Xn ).Так как выбор φ и X1 . . . , Xn произволен, то (π̄E )∗ = πe∗ ◦ Tr ◦ Ψ∗ .Замечание 1.5. Отображение πe∗ — изоморфизм, если A коммутативнаили D является конечнопорождённым проективным Z-модулем.35Доказательство теоремы 1.14. Пусть ∇ есть некоторая связность всмысле Жураева-Мищенко-Соловьёва на модуле E и Θ — её кривизb с кривизнойна. Рассмотрим соответствующую ей связность Каруби ∇b 2 .

Тогда по лемме 1.15 2R = Ψ∗ (Θ). Поскольку Ψ∗ является гомоR=∇морфизмом алгебр, то для любого n Ψ∗ (Θn ) = 2n Rn .Отображение следа τ следового модуля (V, τ ), согласно предложению 1.17, раскладывается в композизию τ = ρ ◦ π. Следовательно, отображение (τ̄E )∗ : Ω∗Z (D, EndA (E)) → Ω∗Z (D, V ) тоже представляется в видекомпозиции цепных отображений:(π̄E )∗ρ∗e −→ Ω∗Z (D, V ).Ω∗Z (D, EndA (E)) −→ Ω∗Z (D, A)Тогда, применяя лемму 1.18, получаем равенствоσn (E, ∇) = 2n ρ∗ πe∗ (Rn ),n ∈ N.Теперь утверждения доказываемой теоремы легко выводятся из аналогичной теоремы 1.8. Действительно, σn (E, ∇) является коциклом как образ коцикла 2n Rn при цепном отображении ρ∗ πe∗ .

При этом когомологи2n∗ческий класс [σn (E, ∇)] ∈ H (ΩZ (D, V )) не зависит от выбора связности,e ∗ (D, A). Теоремапоскольку от её выбора не зависит уже класс [Rn ] ∈ ΩZдоказана.Заметим, что, помимо доказательства теоремы 1.14, мы получили следующий результат.Теорема 1.19. Пусть A — ассоциативная алгебра с единицей, D =Der (A) — алгебра Ли её дифференцирований, Z = Z(A) — её центр.Пусть даны также конечнопорождённый проективный правый Aмодуль E и следовой модуль (V, τ ). Тогда характеристические классыЖураева-Мищенко-Соловьёва Chn (E, V ) модуля E с коэффициентами вследовом модуле V и характеристические классы cn (E, Ω∗Z (D, A)) модуляE с коэффициентами в дифференциальном исчислении Ω∗Z (D, A) связанысоотношениемChn (E, V ) = 2n ρ∗ πe∗ (cn (E, Ω∗Z (D, A))),e ∗ (D, A)) → H ∗ (Ω∗ (D, A))e — отображение из леммы 1.18,где πe∗ : H ∗ (ΩZZe → H ∗ (Ω∗ Z(D, V ))взятое на уровне когомологий, а ρ∗ : H ∗ (Ω∗Z (D, A))e → V из универсальногоиндуцировано каноническим отображением ρ : Aследового модуля.¤36Следствие 1.20.