Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр, страница 7

Для каждого следового модуля (V, τ ) определено отображениеe ∗univ (A)) → H ∗ (Ω∗Z (D, V )),Π = ρ∗ πe∗ ψ∗ : H ∗ (Ωe ∗ (A)) → H ∗ (Ω∗ (D, A))e индуцировано морфизмом диффегде ψ∗ : H ∗ (ΩunivZренциальных исчислений ψ : Ω∗univ (A) → Ω∗Z (D, A), которое переводитуниверсальные характеристические классы Каруби в характеристические классы Жураева-Мищенко-Соловьёва.¤Замечание 1.6.

Конструкция характеристических классов ЖураеваМищенко-Соловьёва имеет следующее обобщение (см. [2, 6]). Пусть Dобозначает не множество всех дифференцирований Der (A) алгебры A,как ранее, а некоторую подалгебру Ли в Der (A). Аналогично, возьмёмв качестве Z некоторую подалгебру в центре Z(A) алгебры A. Потребуем, чтобы пара (D, Z) была совместимой, т.е. D являлось Z-модулем, аZ было замкнуто в Z(A) относительно действия D.

Тогда все конструкции и теоремы этого параграфа переносятся на этот случай безо всякихизменений.1.4Циклические гомологии и теорема КарубиСередина 80-х годов, когда появились конструкции характеристическихклассов проективных модулей, стала временем рождения и развития теории циклических (ко)гомологий, которое традиционно связывают с именами А. Конна, Б. Цыгана, Лодэ, Квиллена. Каруби был первым, ктозаметил связь между своей конструкцией характеристических классов ициклическими гомологиями. Важным проявлением этой связи являетсяe ∗ (A))оператор периодичности S, действующий на когомологиях H ∗ (Ωunivабелинизации универсального дифференциального исчисления, которыйпереводит каждый характеристический класс в класс меньшим номером.Это обстоятельство существенно облегчает работу с универсальными характеристическими классами.Целью настоящего пункта является доказательство теоремы Конна оточности последовательности, носящей его имя, и теоремы Каруби.Пусть A — ассоциативная алгебра с единицей и Ω∗univ (A) — её универсальное дифференциальное исчисление.

Введём в рассмотрение операторы Хохшильда и Каруби.37Определение 1.12. Оператор Хохшильда на пространстве Ω∗univ (A)nопределяется как семейство отображений bn+1 : Ωn+1univ (A) → Ωuniv (A),bn+1 (ωda) = (−1)n (ωa − aω) = (−1)ω [ω, a],ω ∈ Ωnuniv (A), a ∈ A. (1.16)Циклическим оператором Каруби называется каждое из отображенийσn : Ωnuniv (A) → Ωnuniv (A),σn (ωda) = (−1)ω da · ω,n−1ω ∈ Ωuniv(A), a ∈ A.(1.17)Рассмотрим простейшие коммутационные свойства операторов Хохшильда и Каруби.Предложение 1.21. Для каждого n выполнено1. bn bn+1 = 0, т.е. оператор Хохшильда b является дифференциалом;2.

1 − σn = bn+1 d + dbn , и таким образом, [σ, d] = [σ, b] = 0;nd.3. 1 − σnn = −bn+1 σn+1Доказательство. Пусть ω ∈ Ωn−1univ (A), a, b ∈ A. Тогдаbn bn+1 (ωdadb) = bn ((−1)n (ωda · b − bωda)) =bn ((−1)n (ωd(ab) − ωadb − bωda)) =(−1)n+n−1 (ωab − abω − ωab + bωa − bωa + abω) = 0,что доказывает первую часть предложения.Пусть ω = a0 da1 . . . dan ∈ Ωnuniv (A). Тогдаbn+1 d(ω) = bn+1 (da0 . . . dan−1 dan ) =(−1)n da0 . .

. dan−1 an + (−1)n+1 an da0 . . . dan−1 ,dbn (ω) = (−1)n−1 d(a0 da1 . . . dan−1 an − an a0 da1 . . . dan−1 ) =(−1)n−1 da0 . . . dan−1 an + a0 da1 . . . dan−1 dan + (−1)n d(an a0 ) . . . dan−1 =ω + (−1)n−1 da0 . . . dan−1 an + (−1)n dan a0 da1 .

. . dan−1 +(−1)n dan a0 da1 . . . dan−1 ,откуда(bn+1 d + dbn )ω = ω + (−1)n dan a0 da1 . . . dan−1 = (1 − σn )ω.38Рассматривая действие оператора σnn на элементе ω = a0 da1 . . . dan ,получим равенствоσnn ω = (−1)n(n−1) da1 . . . dan a0 = da1 . . . dan a0 .С другой стороны,nn(bn+1 σn+1d)ω = bn+1 σn+1(da0 . . . dan ) =(−1)n·n bn+1 (da1 . . . dan da0 ) = (−1)n+n (da1 . .

. dan a0 − a0 da1 . . . dan ) =− ω + σnn ω,что даёт последнее равенство предложения.Определение 1.13. Гомологии HH∗ (A) комплекса (Ω∗univ (A), b) называются хохшильдовыми гомологиями алгебры A.Из предложения 1.21 вытекает, что подпространство Im (1−σ)+Im d ⊂является подкомплексом в (Ω∗univ (A), b). Действительно, для любой формы ω ∈ Ω∗univ (A) имеемΩ∗univ (A)b((1 − σ)ω) = (1 − σ)(bω),b(dω) = d(−bω) + (1 − σ)ω.Тогда мы можем дать следующее определение.Определение 1.14. Приведёнными циклическими гомологиями алгебрыA называются гомологии HC ∗ (A) факторкомплексаC̄∗λ = Ω∗univ (A)/(Im (1 − σ) + Im d) с дифференциалом b.Замечание 1.7.

Согласно определению универсального дифференциального исчисления, данному в примере 1.1, факторпространствоΩnuniv (A)/Im d можно отождествить с Ā⊗(n+1) . Рассмотрим на этом пространстве оператор циклической перестановки tn : Ā⊗(n+1) → Ā⊗(n+1) :tn (ā0 ⊗ · · · ⊗ ān−1 ⊗ ān ) = (−1)n ān ⊗ ā0 ⊗ · · · ⊗ ān−1 ,или, в обозначениях примера 1.1,tn (a0 da1 . . . dan + Im d) = an da0 . . . dan−1 + Im d.С другой стороны, по определению σn имеемσn (a0 da1 . . .

dan ) = (−1)n−1 dan · a0 da1 . . . dan−1 =(−1)n an da0 . . . dan−1 + (−1)n−1 d (an a0 da1 . . . dan−1 ) .39Так как [σ, d] = 0, то σn определяет оператор на пространствеΩnuniv (A)/Im d, совпадающий в силу предыдущего равенства с tn . Следовательно, приведённый циклический комплекс C̄∗λ изоморфен комплексу(Ā⊗(n+1) /Im (1 − tn ))n с дифференциалом Хохщильдаb(ā0 ⊗ · · · ⊗ ān ) =n−1X(−1)i ā0 ⊗ · · · ⊗ ai ai+1 ⊗ · · · ⊗ ān +i=0(−1)n an a0 ⊗ ā1 ⊗ · · · ⊗ ān−1 .Такое определение циклических гомологий совпадает с первоначальнымопределением Конна.Введём еще два оператора:Nn = 1 + σn + · · · + σnn : Ωnuniv (A) → Ωnuniv (A),(1.18)Bn = dNn : Ωnuniv (A) → Ωn+1univ (A).(1.19)Из коммутационных соотношений, указанных в предложении 1.21, непосредственно вытекаетПредложение 1.22. Имеются тождества1.

bB + Bb = 0;2. Bd = dB = (1 − σ)B = B(1 − σ) = 0;3. B 2 = 0.¤Пусть ε : A → k — произвольное линейное отображение, т.ч. ε(1) = 1.Определим оператор стягивающей гомотопии µn : Ωnuniv (A) → Ωn−1univ (A)для дифференциала d:µn (a0 da1 . . . dan ) = ε(a0 )(a1 − ε(a1 )1)da2 . . . dan .Предложение 1.23. Пусть ω ∈ Ωnuniv (A).

Тогда1. (µn+1 d + dµn )ω = ω;2. µn+1 Bω − (n + 1)ω = d(−µn Nn ω) + (1 − σ)(βn ω), гдеβn =n−1X(n − i)σni : Ωnuniv (A) → Ωnuniv (A).i=040(1.20)Доказательство. Пусть ω = a0 da1 . . . dan . Тогдаdµn (ω) = d(ε(a0 )(a1 − ε(a1 )1)da2 . . . dan ) = ε(a0 )da1 . . .

dan ,µn+1 d(ω) = µn+1 (da0 . . . dan ) = ε(1) · (a0 − ε(a0 )1)da1 . . . dan =ω − ε(a0 )da1 . . . dan ,так что(µn+1 d + dµn )ω = ω.Взяв композицию доказанного тождества с Nn и воспользовавшись соотношениемNn =nXσninX= (n + 1)id −(1 − σni ) = (n + 1)id − (1 − σn )βn ,i=0i=1мы получим второе утверждение предложения.Следствие 1.24. ker B = Im d + Im (1 − σ).Доказательство. Включение ker B ⊃ Im d + Im (1 − σ) следует из предложения 1.22.

Обратное включение есть следствие второго равенства предложения 1.23.Теперь мы можем определить оператор периодичности S как композициюn−2Sn = µn−1 Nn−1 b : Ωnuniv (A) → Ωuniv(A).(1.21)Сформулируем одну из двух основных теорем этого пункта.Теорема 1.25 (Конн). Пусть A есть произвольная ассоциативная алгебра с единицей. Тогда1. отображение Bn : Ωnuniv (A) → Ωn+1univ (A) задаёт корректное отображение B : HC n (A) → HHn+1 (A);2.

отображение Sn : Ωnuniv (A) → Ωn−2univ (A) определяет отображениеS : HC n (A) → HC n−2 (A);3. операторы B, S и естественная проекция I : HHn (A) → HC n (A)образуют точную последовательность (последовательность Конна)SBISHC n+2 (A) −→ HC n (A) −→ HHn+1 (A) −→ HC n+1 (A) −→ HC n−1 (A)41Доказательство. 1. Из следствия 1.24 вытекает, что B определяет инъективное отображение из C̄∗λ в Ω∗+1univ (A). Так как Bb = b(−B), то B —цепное и индуцирует отображение в гомологиях.2. Покажем в первую очередь, чтоS(Im (1 − σ) + Im b + Im d) ⊂ Im (1 − σ) + Im b + Im d.Если ξ = bη, то Sξ = µN bbη = 0. Предположим теперь, что ξ = dη, η ∈ТогдаΩn−1univ (A).Nn−1 bξ = Nn−1 bdη = bdNn−1 η = bBη = −Bbη.Из предложения 1.23 следует, что при ξ = dηSξ = −µn−1 Bbη = −(n−1)bη +dη1 +(1−σ)η2 ∈ Im b+Im d+Im (1−σ),где η1 = µn−2 Nn−2 bη, η2 = −βn−2 bη.Если же, наконец, ξ = (1 − σ)η, то ξ = bdη + dbη, и можно воспользоваться предыдущими рассуждениями.

Следовательно, S определяет отобλражение из C̄∗λ /Im b в C̄∗−2/Im b.Покажем, что S переводит циклы в циклы. Пусть ξ ∈ Ωnuniv (A) является циклическим циклом, т.е. bξ = dη1 + (1 − σ)η2 для некоторых η1 , η2 .Проверим, что Sξ также есть цикл. Для этого достаточно показать, чтоB(bSξ) = 0. ИмеемBSξ = (Nn−2 d)(µn−1 Nn−1 b)ξ = Nn−2 (dµn−1 )Nn−1 bξ =Nn−2 (id − µn d)Nn−1 bξ = Nn−2 Nn−1 bξ + Nn−2 µn Bbξ =Nn−2 Nn−1 bξ + 0 = b(Nn−2 Nn−1 ξ) = (n − 1)bNn−1 ξ, (1.22)так как Bbξ = B(dη1 + (1 − σ)η2 ) = 0, согласно предложению 1.22, иbσNn−1 = bNn−1 в силу тождестваb(1 − σn )Nn−1 = b(1 − σn )n−1Xnd = 0.σni = b(1 − σnn ) = −bbσn+1i=0Следовательно,B(bSξ) = −b(BSξ) = −(n − 1)bbNn−1 ξ = 0,т.е. Sξ — цикл.42Таким образом, оператор S определяет отображение приведённыхциклических гомологий.3a.

Im S = ker B. Включение Im S ⊂ ker B следует из формулы (1.22).Обратно, пусть класс гомологий элемента ξ ∈ C̄nλ переходит в нуль приотображении B, т.е. Bξ = bη для некоторого η ∈ Ωn+2univ (A). Так как (1 −σ)B = 0, тоNn+1 bη = Nn+1 Bξ = ((n + 2)id − βn+1 (1 − σn+1 )) Bξ = (n + 2)Bξ,откудаSη = (n + 2)µn+1 Bξ = (n + 2)(n + 1)ξ + dω1 + (1 − σ)ω2 ,где ω1 = −(n + 2)µn Nn ξ, ω2 = (n + 2)βn ξ. Следовательно,[ξ] =1[Sη] ∈ HC n (A).(n + 1)(n + 2)3б. Im B = ker I. Так как B = dN , то Im B ⊂ Im d ⊂ ker I по определению комплекса C̄∗λ . Пусть ξ ∈ Ωnuniv (A), bξ = 0 такое, что I[ξ] = 0.Значит,ξ = dη1 + (1 − σ)η2 + bη3 = d(η1 + bη2 ) + b(dη2 + η3 ).Так как класс гомологий определён с точностью до границы, то можносчитать, что ξ имеет вид ξ = dη.