Характеристические классы аппроксимативно конечных алгебр, страница 10

Следовательно, по формуле 1.12e ∗ ) = H ∗ (Ωe ∗ ) ⊕ H ∗ (Ωтак что H ∗ (Ω21получаемcn (E, Ω∗ ) = [P (dP )2n ] = [P1 (dP1 )2n ] + [P2 (dP2 )2n ] =cn (E1 , Ω∗1 ) + cn (E2 , Ω∗2 ).56Предложение 2.5. Пусть A — конечномерная полупростая алгебраи Ω∗ — одно из дифференциальных исчислений Ω∗Z (A), Ω∗ (D, A) илиΩ∗Z (D, A). Тогда для любого конечнопорождённого модуля E характеристические классы cn (E, Ω∗ ) равны нулю при всех n ∈ N.

Как следствие,все характеристические классы Жураева-Мищенко-Соловьёва тривиальны.Доказательство. В силу предложений 1.3, 1.10 и теоремы 1.19 достаточно показать, что cn (E, Ω∗Z (A)) = 0 для любого конечного проективногомодуля E и любогоLN n.Пусть A = k=1 Ak , Ak = Mnk (Fk ) — разложение алгебры A в пряLNмую сумму простых алгебр и E =k=1 Ek — соответствующее разло∗жение модуля E. Поскольку ΩZ (A) есть центральное дифференциальноеисчисление, то по предложению 2.4cn (E, Ω∗Z (A))=NXcn (Ek , Ω∗Z (Ak )).k=1Но cn (Ek , Ω∗Z (Ak )) = 0 при всех k, согласно следствию 2.2. Следовательно,cn (E, Ω∗Z (A)) = 0.Замечание 2.2.

Предложение 2.5 обобщает результат диссертации [6]о тривиальности характеристических классов Жураева-МищенкоСоловьёва конечномерных комплексных полупростых алгебр на случайпроизвольных полей нулевой характеристики.Пример 2.1. Центральные дифференциальные исчисления могут не исчерпывать множество всех дифференциальных исчислений, в которыхвсе характеристические классы тривиальны. Возьмём, например, в качестве алгебры A групповую алгебру C [Dn ] диэдральной группы­®Dn = a, b | an = b2 = e, bab−1 = a−1и дифференциальное исчисление Вороновича Ω∗W (A) на ней (см. [9]). Этоисчисление определяется следующим образом:ΩnW (A) = A ⊗ Λn Γinv ,где Γinv — линейное пространство, имеющее базис ωg , e 6= g ∈ Dn , ипроизведение с дифференциалом задаются формуламиωh g = g(ωhg − ωg ),ωg ωh = −ωh ωg ,dg = gωg ,dωg = 057для любых g, h ∈ Dn .

Оно не является центральным, так как, например,XXg, ωh =g(ωh + ωg − ωhg ) 6= 0,g∈Dng∈Dnесли h 6= e.Пусть τ — неприводимое представление алгебры A и χ — его характер.Тогда τ входит в регулярное представление с кратностью dim τ = χ(e) исоответствующая изотипическая компонента выделяется с помощью центрального проектораXpτ = λχ(g −1 )g,g∈Dnгде λ = dim τ |Dn |−1 — нормирующий множитель (см. [1, Глава 10]).

Следовательно, грассманова кривизна в данном случае имеет видRτ = pτ (dpτ )2 =1 3λ2X(χ(k −1 )χ(kh−1 )χ(hg −1 )−g,h,k∈Dnχ(h−1 )χ(hk −1 )χ(kg −1 ))g ωh ∧ ωk .Группа Dn имеет одномерные и двумерные неприводимые представления (см. [9]). Если представление τ одномерно, т.е. τ — характер, то длялюбых g, h, k ∈ Dn имеемχ(k −1 )χ(kh−1 )χ(hg −1 ) = χ(k)−1 χ(k)χ(h)−1 χ(h)χ(g)−1 = χ(g)−1 ,откуда1Rτ = λ32X(χ(g)−1 − χ(g)−1 )g ωh ∧ ωk = 0.g,h,k∈DnСледовательно, все характеристические классы одномерных представлений равны 0.Предположим теперь, что τ — двумерное представление. Тогда в некотором базисе матрицы генераторов имеют ви䶵¶µ k0 1ε0τ (a) =, τ (b) =,1 00 ε−1где ε = e2πm/n , 1 ≤ m ≤ n − 1 и ε 6= −1.

Следовательно, для любого1≤l≤nχ(al ) = 2 cos(lθ), χ(al b) = 0,58где ε = eθ . Отсюда видно, что произведениеχ(k −1 )χ(kh−1 )χ(hg −1 )может быть не равно 0, только когда g = ar , h = as , k = at для некоторыхr, s, t. В этом случаеχ(k −1 )χ(kh−1 )χ(hg −1 ) = 8 cos tθ cos(t − s)θ cos(s − r)θ =4 cos(s − t)θ [cos(s + t − r)θ + cos(r − s + t)θ] ,так чтоRτ = 2nXcos(s − t)θ [cos(s + t − r)θ + cos(r − s + t)θr,s,t=1− cos(t + s − r)θ − cos(r − t + s)θ] ar ωas ∧ ωat =nX2cos(s − t)θ · 2 sin rθ sin(s − t)θ ar ωas ∧ ωat =r,s,t=12nXsin rθ sin 2(s − t)θ ar ωas ∧ ωat .r,s,t=1Квадрат кривизны равенRτ2=4nXsin rθ sin r0 θ sin 2(s − t)θ sin 2(s0 − t0 )θ·r,r 0 ,s,s0 ,t,t0 =10ar+r (ωas+r0 − ωar0 )(ωat+r0 − ωar0 )ωas0 ωat0 =nX0Cr,r0 ,s,s0 ,t,t0 ar+r ωas+r0 ωat+r0 ωas0 ωat0 −r,r 0 ,s,s0 ,t,t0 =1nXr,r 0 ,s,s0 ,t,t0 =1nX0Cr,r0 ,s,s0 ,t,t0 ar+r ωar0 ωat+r0 ωas0 ωat0 −0Cr,r0 ,s,s0 ,t,t0 ar+r ωas+r0 ωar0 ωas0 ωat0 =r,r 0 ,s,s0 ,t,t0 =1S1 − S2 − S3 ,гдеCr,r0 ,s,s0 ,t,t0 = 4 sin rθ sin r0 θ sin 2(s − t)θ sin 2(s0 − t0 )θ =2 sin rθ sin r0 θ (cos 2(s − t − s0 + t0 )θ − cos 2(s − t + s0 − t0 )θ).59В силу тождестваS3 = 0.

Наконец,S1 =Pns=1sin 2(s − t)θ = 0 сумма S2 равна 0. Аналогично,nX0Cr,r0 ,s,s0 ,t,t0 ar+r ωas ωat ωas0 ωat0 = 0,r,r 0 ,s,s0 ,t,t0 =1так как функция cos 2(s − t − s0 + t0 )θ, входящая в последнюю формулудля коэффициента Cr,r0 ,s,s0 ,t,t0 , симметрична по паре индексов (s, t0 ), аcos 2(s − t + s0 − t0 )θ — по паре индексов (s, s0 ). Следовательно, Rτ2 = 0, ивсе характеристические классы модуля Eτ = dim τ · τ с коэффициентамив исчислении Вороновича равны нулю, начиная со второго.Покажем, что c1 (Eτ , Ω∗W (A)) = 0.

Коммутатор 1-форм gωh и ωk равен[g ωh , ωk ] = g ωh ∧ ωk − g ωh ∧ ωkg − g ωg ∧ ωh ,причём последнее слагаемое есть кограница d(g ωh ). Поэтому с точностьюдо коммутаторов и кограниц грассманова кривизна равнаnn2 X XRτ ≡sin rθ sin 2(s − t)θ ar ωas ∧ ωat (ar )l =n r,s,t=1l=1Ã n!nXX2sin rθsin 2(rl + s − t)θ ar ωas ∧ ωat = 0,n r,s,t=1l=1так как если rθ = π или 2π, то sin rθ = 0, в противном случаеnXsin 2(rl + s − t)θ = 0.l=1e ∗ (A)), т.е. характеристическийТаким образом, класс элемента Rτ в H 2 (ΩWкласс c1 (Eτ , Ω∗W (A)) есть 0.Значит,cn (τ, Ω∗W (A)) = (dim τ )−1 cn (Eτ , Ω∗W (A)) = 0для всех натуральных n и всех неприводимых представлений τ , и поэтомувсе характеристические классы с коэффициентами в дифференциальномисчислении Вороновича Ω∗W (A) равны нулю.602.2Случай char k 6= 0: стабильные характеристические классыВ пределах данного параграфа и только здесь предполагается, что основное поле имеет ненулевую характеристику char k = p 6= 0.Все конструкции, рассмотренные в параграфах 1.1,1.2, без измененийпереносятся на случай ненулевой характеристики основного поля k.

Единственное препятствие для построения теории характеристических классовпри char k = p 6= 0 возникает при доказательстве независимости классовот выбора связности. Доказательство Каруби для n-го характеристического класса сводится к тождествуµ Z 1¶(dΓ + Γ2 )n ≡ d nΓ(dΓ · t + Γ2 t2 )n−1 dtmod [Ω∗univ (A), Ω∗univ (A)]0и, таким образом, предполагает возможность деления на числа2, 3, . . . , 2n − 1. Тем не менее в "стабильном"случае 2n < p элементыcn (E, Ω∗ ) корректно определены и имеет смысл говорить о характеристических классах в малых размерностях. Заметим, что рассуждения теорем 1.25, 1.26 остаются корректными в размерности меньшей характеристики поля.

Поэтому, как и в предыдущем параграфе, можно проводитьредукцию к младшим характеристическим классам.Следующий пример показывает, что ограничение на размерность является существенным.Пример 2.2. Рассмотрим поле из трёх элементов k = F3 и алгебру матриц A = M2 (k) с матричными единицами eij , i, j = 1, 2. Пусть E = A— свободный модуль. Тогда ∇0 = d : A → Ω1univ (A) есть связность наE с нулевой кривизной и, следовательно, нулевыми характеристическими классами. С другой стороны, рассмотрим связность ∇ = d + Γ, гдеΓ = e11 de11 + e21 de12 , и покажем, что второй характеристический класссвободного модуля, вычисленный по формуле (1.12), отличен от нуля.Из равенств dΓ = (de11 )2 + de21 de12 иΓ2 = e11 de11 e11 de11 + e11 de11 e21 de12 + e21 de12 e11 de11 + e21 de12 e21 de12 =0 − e11 de21 de12 − e22 de11 de11 + (e21 de11 de12 − e22 de21 de12 ) =− de21 de12 − e22 de11 de11 + e21 de11 de12получаем выражение для кривизны связности ∇:R = e11 de11 de11 + e21 e11 de12 = e11 de11 de11 e11 + e21 de11 de11 e12 .61В последнем равенстве мы воспользовались тождествами de12 = e11 de12 +de11 e12 иe21 de11 e12 = e21 e11 de11 e11 e12 = e21 0e12 = 0.Следовательно,R2 = e11 (de11 )2 e11 e11 (de11 )2 e11 + e11 (de11 )2 e11 e21 (de11 )2 e12 +e21 (de11 )2 e12 e11 (de11 )2 e11 + e21 (de11 )2 e12 e21 (de11 )2 e11 =e11 (de11 )2 e11 (de11 )2 e11 + e21 (de11 )2 e11 (de11 )2 e12 =e11 (de11 )4 e11 + e21 (de11 )4 e12 .Заметим, что e21 (de11 )4 e12 = e11 (de11 )4 e11 + [e21 (de11 )4 e11 , e12 ], поэтомудостаточно проверить, что элемент e11 (de11 )4 не является кограницей вe 4 (A).

Воспользуемся представлением Ω∗ (A) как подпространстваΩunivunivL∞⊗(n+1)в тензорной алгебры T A =(см. замечание 1.1). Вложеn=0 A∗ние Ωuniv (A) → T A является гомоморфизмом дифференциальных алгебр,отображающим e11 (de11 )4 в элементe11 ⊗ e22 ⊗ e11 ⊗ e22 ⊗ e11 .(2.2)Достаточно показать, что этот элемент не является кограницей в комgплексе TA = T A/[T A, T A]. Из формулы (1.3) для произведения в T Aследует, что пространство [T A, T A]n порождено коммутаторами двух типов: во-первых, формами, у которых не совпадают концыei0 j0 ⊗ · · · ⊗ ein jn = [ei0 i0 , ei0 j0 ⊗ · · · ⊗ ein jn ] при i0 6= jn ;во-вторых, суммами видаepj0 ⊗ · · · ⊗ eil jl ⊗ eil+1 jl+1 ⊗ · · · ⊗ ein p +(−1)l(n−l) eqjl+1 ⊗ eil+2 jl+2 ⊗ · · · ⊗ ein j0 ⊗ ei1 j1 ⊗ · · · ⊗ eil q =[epj0 ⊗ ei1 j2 ⊗ · · · ⊗ eil q , eqjl ⊗ eil+1 jl+1 ⊗ · · · ⊗ ein p ].gСледовательно, TA можно отождествить со множеством линейныхкомбинаций форм(j0 i1 |j1 i2 | .

. . |jn−1 in ) = epj0 ⊗ ei1 j1 ⊗ · · · ⊗ ein−1 jn−1 ⊗ ein p(с точностью до коммутаторов форма не зависит от выбора p), которыесвязаны между собой циклическими соотношениями(j0 i1 |j1 i2 | . . . |jn−1 in ) = (−1)n−1 (j1 i2 | . . . |jn−1 in |j0 i1 ).62Учитывая, что в формуле дифференциала (1.4) первый и последний члены образуютP2 коммутатор дифференцируемой формы с элементом 1 ⊗ 1 ичто 1 = k=1 ekk , мы получаем такое выражение для d в новых обозначениях2nXXl(−1)(i1 j1 | . . . |il k|kjl | .

. . |in jn ).(2.3)d(i1 j1 | . . . |in jn ) =k=1l=1Заметим, что "цикличные"элементы вида (i0 i1 |i1 i2 | . . . |in−1 i0 ) выдеggляются как прямое слагаемое TAcycl в TA. Мы будем использовать дляних сокращённое обозначение (i0 i1 . . . in−1 ), в частности, элемент (2.2) будет записываться как (1212).

Кроме того, из формулы (2.3) следует, чтоgTAcycl выделяется прямым слагаемым как подкомплекс.3gВ размерности 3 пространство TAcycl линейно порождается четырьмяформами: (111), (112), (122), (222). Посмотрим, какие граничные формыони могут дать:Xd(111) = d(11|11|11) =(−(1k|k1|11|11) + (11|1k|k1|11) − (11|11|1k|k1)) =k=1,23d(112) =X(11k1) = 0;k=1,2X((1k12) − (11k2) + (112k)) = (1212) + (1112);k=1,2d(122) =X((1k22) − (12k2) + (122k)) = −(1212) + (1222);k=1,2d(222) = 3X(22k2) = 0.k=1,2Отсюда ясно, что элемент (1212) не может быть кограницей, и следовательно, второй характеристический класс свободного модуля, вычисленный по связности ∇, нетривиален.¤Вернёмся к общему случаю конечномерных полупростых алгебр. Теорема Веддебарна-Артина остаётся справедливой и для поля простой характеристики, значит, как и Lранее, любая полупростая алгебра A предNставима в виде суммы A =k=1 Ak , Ak = Mnk (Fk ), где Fk — алгебрас делением над полем k.