Диссертация (Распространение и преломление упругих волн в акустооптических кристаллах), страница 13

Связьмежду механическими величинами - напряжением T и деформацией S, а также электрическими - полем E и поляризацией, в трехмерном случае определяеттензор третьего ранга для пьезоэлектрических модулей eijk . Тогда формула дляэлектрической индукции имеет вид:Di = ij Ej + eijk Sjk ,(3.1)где ij - компоненты тензора диэлектрической проницаемости материала.Пьезоэлектрические модули eijk связывают изменение электрической индукции Di с деформацией Sjk при постоянном электрическом поле: eijk =(∂Di /∂Sjk )E . С помощью термодинамических соотношений из модуля eijk получается коэффициент обратного пьезоэффекта, когда приложение электрического поля приводит к появлению механического напряжения: (∂Tjk /∂Ei )σ,E =−eijk .Для того, чтобы рассчитать основные характеристики упругих волн в кристалле с учетом пьезоэлектрического эффекта, необходимо решить модифицированное уравнение Кристоффеля для собственных значений тензора Γil .

Выражение для механического напряжения в присутствие электрического поля101имеет вид:Tij = cEijkl Skl − eijk Ek ,(3.2)где cEijkl - модули упругости, связывающие механическое напряжение и деформацию при постоянном токе [1, 2].При подстановке в 3.2 выражений для деформации Skl =12 (∂Uk /∂xl+∂Ul /∂xk ) и квазистатического электрического поля, выраженного через потенциал Φ, где Ek = −∂Φ/∂xk , уравнение для механического напряжения приметвид:∂Φ∂Ul+ eijk.∂xk∂xkТогда основной закон динамики выражается следующим образом:Tij = cEijkl∂ 2 Ui∂ 2Φ∂ 2 UlEρ 2 = cijkl+ eijk.∂t∂xj ∂xk∂xj ∂xkПри удовлетворении электромагнитной индукции Dj(3.3)(3.4)=eijk ∂Ul /∂xk −ij ∂ 2 Φ/∂xj ∂xk уравнению Пуассона для непроводящей среды ∂Dj /∂xj = 0 получаем:cEijkl∂ 2 Ul∂ 2ΦS− jk= 0.∂xj ∂xk∂xj ∂xk(3.5)Исключая электрический потенциал Φ в случае плоской бегущей волны,распространяющейся в направлении, перпендикулярном волновому фронту, модифицированное уравнение Кристоффеля с учетом пьезоэлектрического эффекта можно записать следующим образом:γi γj)pl ,(3.6)Eгде Γil = cEijkl nj nk , γi = eijk nj nk и = jk nj nk .

Собственные векторы тензораρV 2 pi = (Γil +второго ранга Γ̄il = Γil + γi γj / определяют направление смещения частиц, а изсобственных значений γ̄ = ρV 2 рассчитывается фазовая скорость.В итоге, тензор Кристоффеля для пьезоэлектрического эффекта в средеможно записать в форме, аналогичной непьезоэлектрическому случаю [1, 2, 68,96, 97]:102Γ̄il = c̄ijkl nj nk ,(3.7)гдеc̄ijkl = ceijkl +(epij np )(eqij nq ).sjk nj nk(3.8)Известно, что величины c̄ijkl называются "ужестченными"модулями упругости[1].По экспериментально определенным значениям пьезоэлектрических констант eij материала (таблица 3.1) из выражения (3.8) можно получить основные характеристики упругих волн (а именно - фазовую скорость и поляризацию) в случае пьезоэлектрического эффекта в кристалле. Сравнение рассчитанных значений с упругими характеристиками, полученными в предыдущихглавах настоящей работы из исходного уравнения Кристоффеля (1.4), дает возможность оценить степень влияния пьезоэффекта на распространение звука вматериалах.Таблица 3.1: Значения пьезоэлектрических констант в к/м2материалe11e13e14e15e22e33e36источникGaAs0,15KDP0,02T eO20,22[2]-0,14[2]α − SiO2 0,17LiN bO3LiT aO3Te[2]0,14[2]0,203,70 2,50 1,30[98]0,333,66 2,41 1,89[99]02,60 1,60 1,90[98]-0,152,63 1,80 1,85[99]0,420,17[100]0,830,57[101]Также в настоящей главе диссертационной работы определено, каким образом при наличии пьезоэлектрического эффекта изменяется акустическийснос волн, распространяющихся в рассматриваемых кристаллах.

Иными словами, был проведен анализ влияния пьезоэлектрического эффекта в материалахна угол между волновым вектором и вектором Умова-Пойнтинга [1,2,6,102–104].103Данный угол может быть рассчитан по известной зависимости фазовой скорости упругой волны от направления распространения [1, 2, 103]. Очевидно,что для расчета значений угла сноса в случае пьезоэффекта необходимо использовать компоненты тензора Кристоффеля, в которые входят "ужестченные"модули упругости и пьезоэлектрические константы (3.8).3.2.Пьезоэлектрический эффект в кубических и тетрагональных кристаллахОдним из распространенных в акустооптике, электрооптике и акустоэлек-тронике пьезоэлектриков кубической сингонии является кристаллический арсенид галлия [105, 106].

При создании электрооптических модуляторов света,работающих на длине волны ИК излучения λ = 10,6 мкм, было замечено, чтона функционирование приборов сильное влияние оказывает пьезоэлектрический эффект. А именно, наблюдалось резкое изменение амплитуды модуляциисигнала на отдельных частотах модуляции, определяющихся геометрией кристалла, в основном, его толщиной. Данный эффект негативно влиял на работуприбора. Для того, чтобы определить оптимальное расположение кристаллографических осей арсенида галлия по отношению к направлению возбуждениязвука в электрооптических устройствах, было необходимо исследовать направления, в которых пьезоэлектрический эффект влияет на характеристики распространения акустический волн. На основе имеющихся констант для данногоматериала были рассчитаны основные характеристики упругих волн: фазоваяскорость, поляризация и угол сноса.

Расчет был проведен в плоскости XOY дляпьезоэлектрического случая и в отсутствие пьезоэффекта. Анализ показал, чтовлияние данного эффекта на указанные параметры крайне незначительно. Тоесть различие величин, рассчитанных с учетом пьезоэффекта и без него, непревышает 1%.Ситуация, близкая описанной выше, наблюдается в кристаллах дигидрофсфата калия (KDP) и парателлурита (ТeO2 ), принадлежащих к тетрагональным материалам, использующимся в акустооптических приборах [35, 43, 79, 80,83, 84].

Известно, что кристалл KDP прозрачен для оптического излучения сдлинами волн до λ = 0,2 мкм. Данная особенность позволила создать фильтр104УФ-диапазона на основе дигидрофосфата калия [107]. В отличии от KDP, кристалл парателлурита используется при создании акустооптических приборов соптическим диапазоном 0,35 < λ < 5 мкм. Было обнаружено, что пьезоэлектрические модули данных материалов e14 и e36 отличны от нуля. Пьезоэффект вплоскости XOY кристалла KDP был подробно рассмотрен в работе [108]. Былообнаружено, что присутствует влияние лишь на параметры медленной квазисдвиговой акустической моды. Причем, вдоль кристаллографических осей X иY пьезоэффект не оказывает никакого действия на скорости распространенияупругих волн.

Однако, в остальных направлениях влияние имеется, но достаточно слабое. Аналогичная ситуация имеет место в кристалле парателлурита.Таким образом, можно отметить, что кубические и тетрагональные акустооптические материалы демонстрируют достаточно слабое влияние пьезоэлектрического эффекта на акустические характеристики волн, в отличие оттригональных кристаллических сред, в которых пьезоэффект весьма сильноизменяет основные характеристики упругих волн: фазовую скорость, поляризацию и угол сноса. Поэтому в данной главе диссертационной работы проведенподробный анализ кристаллов тригональной сингонии. Ниже представлены результаты расчета упругих характеристик в плоскости XOY рассматриваемыхакустооптических материалов.

Подробное рассмотрение данного среза обусловлено тем, что пьезоэффект наиболее сильно проявляется именно в этой плоскости кристаллов.3.3.Тригональные акустооптические кристаллы3.3.1.Кристаллический α - кварцКристаллический кварц является одним из наиболее подробно изученных акустооптических тригональных материалов, обладающим заметным пьезоэлектрическим эффектом [2].Значения упругих характеристик волн, а именно, обратных скоростей и поляризаций, в α - кварце для плоскости симметрии материала (XOY) представлены на рисунке 3.1.

Пьезоэлектрический эффект рассчитан с использованиемзначений пьезоконстант, представленных в таблице 3.1.105Графики на рисунке 3.1а иллюстрируют зависимости акустической медленности (1/V ) от направления распространения звука в плоскости XOY α- кварца. На рисунках здесь и далее сплошной линией показаны поверхности медленности без учета пьезоэлектрического эффекта, а пунктирной– значения обратных скоростей, рассчитанные с использованием "ужестченных"пьезоконстант упругости. Анализ показал, что пьезоэффект не влияет нафазовую скорость самой медленной волны (3), распространяющейся вдоль осиX (угол ϕ = 0).

Её скорость, как было показано в главе 1, равна V3 = 3277 м/с.Однако, вдоль направления ϕ = 30◦ фазовая скорость с учетом пьезоэффектаравна V30 = 3889 м/с, что превышает скорость звука в случае отсутствия пьезоэффекта: V3 = 3853 м/с. Таким образом, рассматриваемый эффект дает увеличение скорости или "ужестчение"материала в данном направлении. В целом,значения скоростей звука в α - кварце, рассчитанные с учетом пьезоэлектрического эффекта, отличаются от значений, рассчитанных при его отсутствии, неболее, чем на 1% (таблица 3.2), и наиболее заметны для медленной квазипоперечной моды (3).

В этом отношении свойства тетрагональных кристаллов KDPи парателлурита аналогичны кристаллическому α - кварцу.Рис. 3.1: Поверхности медленностей (а) и зависимость углов поляризации от направленияраспространения волны (б) в плоскости XOY α - кварца: сплошная линия - значения безучета пьезоэффекта, пунктир - результаты расчета с учетом пьезоэффектаНа рисунке 3.1б представлены графики зависимости углов поляризации106от направления распространения упругой волны в плоскости XOY α - кварца.Графики показывают, что в рассматриваемой плоскости кристалла пьезоэффект не оказывает достаточно заметного влияния на поляризацию акустических мод.

Например, для медленной квазипоперечной волны (3) максимальноеотличие значения угла вектора поляризации с учетом пьезоэлектрического эффекта и при его отсутствии равно 0,5◦ . Для остальных мод данное различиееще меньше, что следует из данных таблицы 3.3.Рис. 3.2: Угол акустического сноса для трех мод в плоскости XOY α - кварца для различныхзначений пьезоэлектрических констант: сплошная линия - значения угла без учета пьезоэффекта, пунктир - результаты расчета с учетом пьезоэффектаРезультаты расчета зависимости углов акустического сноса от направления волнового вектора для трех мод, распространяющихся в плоскости XOYкристалла α - кварца, представлены на рисунке 3.2.

Анализ графиков на рисунке 3.2 показывает, что наиболее сильно изменяются квазипоперечные волны (2и 3). Расчет показал, что значения углов между направлением распространенияи вектором Умова-Пойнтинга данных мод с учетом и без учета пьезоэффектане различаются более, чем на 0,7◦ . Причем, угол сноса для медленной квазипоперечной волны (3) увеличивается с пьезоэлектрическим эффектом, а длябыстрой квазипоперечной моды (2) – уменьшается (таблица 3.4). Максимальным значением угла сноса обладает быстрая квазипоперечная волна (2): безучета пьезоэффекта значение этого угла равно ψmax = 33,3◦ и достигается прираспространении моды под углами ϕ1 = 20,6◦ и ϕ2 = 39,5◦ относительно оси X.107С учетом пьезоэффекта максимальный угол сноса для этой волны оказывается0равным ψmax= 32,3◦ для ϕ01 = 22,3◦ и ϕ02 = 37,8◦ .Таким образом, можно заключить, что пьезоэлектрический эффект не оказывает существенного влияния как на значения угла акустического сноса, таки на скорости и поляризации волн в рассматриваемой плоскости кристалла α кварца.3.3.2.Кристалл ниобата литияАкустооптический кристалл ниобата лития обладает ярко выраженнымипьезоэлектрическими свойствами и широко применяется для создания акустооптических и акустоэлектронных устройств.