Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли

Московский Государственный Университетимени М.В. ЛомоносоваМеханико-математический факультетНа правах рукописиУДК 514Деркач Мария МихайловнаМЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПОЛНЫХИНВОЛЮТИВНЫХ НАБОРОВ ПОЛИНОМОВНА ПОЛУПРЯМЫХ СУММАХ АЛГЕБР ЛИ.01.01.04 – геометрия и топологияДиссертацияна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучные руководители:академик РАН А. Т. Фоменкод.ф.-м.н., профессор А. В. БолсиновМосква, 2010ОглавлениеВведение .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова211.1 Анализ метода Тена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2 Анализ метода Браилова. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 261.3 Функции на двойственном пространстве к стационарнойподалгебре. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4 Сравнение наборов, получаемых методами Тена и Браилова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

301.5 Анализ метода Садэтова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5.11.5.2Строение алгебры рациональных сечений. . . . . . 37Строение алгебры рациональных функций KΦ . . . 391.6 Полный набор полиномов на алгебре Φ. . . . . . . . . . . 411.6.11.6.21.6.3Функции Fk как функции на g∗ . . . . . . . . . . . 42Сдвиги функций Fk .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 43Общий случай. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.502.1 Полный инволютивный набор полиномов для алгебр gnk =so(n) +ρk (Rn )k . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 512.2 Операторный вид формулы для проекции prSt v . . . . . . 612.3 Степени полиномов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.4 Алгебры малых размерностей . . . . . . . . . . . . . . . . 672Оглавление32.4.12.4.2Алгебра g21 = so(2) +ρ R2 . . . . . . . . . . . . . . . 67Алгебра g31 = e3 = so(3) +ρ R3 . . . .

. . . . . . . . 672.4.3Алгебра g41 = e4 = so(4) +ρ R4 . . . . . . . . . . . . 692.5 Полный инволютивный набор полиномов для алгебр hnk =su(n) +ζk (Cn )k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.6 Алгебры семейства hn1 . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 812.6.1 Алгебра h21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.6.2 Алгебра h31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.7 Полный инволютивный набор полиномов для алгебр fnk =u(n) +ζk0 (Cn )k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

842.8 Операторный вид проекций (2.23) и (2.37). . . . . . . . . 90Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934Введение.Актуальность темы. Данная диссертация посвящена исследованиюинтегрируемости гамильтоновых систем алгебраическими и геометрическими методами. Как известно, многие классические уравнения механики (в частности, гамильтоновы системы) записываются как системы дифференциальных уравнений на евклидовом пространстве Rn .Для полной интегрируемости такой системы в общем случае необходимо (n − 1) независимых первых интегралов. Однако есть класс многообразий, называемых симплектическими многообразиями, где дляполной интегрируемости системы иногда достаточно n/2 независимыхпервых интегралов.Один из простейших примеров симплектического многообразия —это орбита коприсоединенного действия группы Ли.

Если мы сможем вRn ввести структуру алгебры Ли так, чтобы на орбите коприсоединенного действия векторное поле, задающее исследуемую систему, былогамильтоновым, то для полной интегрируемости системы достаточнонайти набор интегралов, удовлетворяющих теореме Лиувилля. В таких случаях число независимых интегралов должно быть равно половине размерности орбиты.Эта задача допускает естественное обобщение: вместо рассмотренияконкретной системы уравнений можно поставить вопрос об отысканиимаксимального коммутативного набора полиномов для произвольнойалгебры Ли. Из таких наборов зачастую получаются интересные механические системы.

А именно: взяв любую функцию из набора в качестве гамильтониана, можно получить гамильтонову систему, котораяВведение5будет интегрируема ввиду наличия полного набора коммутирующихполиномиальных интегралов.Напомним ряд необходимых определений.Определение 1. Алгеброй Ли g над полем K называется линейноепространство, на котором введена билинейная, кососимметрическаяоперация коммутатор [·, ·] : g × g → g, удовлетворяющая тождествуЯкоби [[ξ, η], ζ] + [[η, ζ], ξ] + [[ζ, ξ], η] = 0 для любых η, ζ, ξ ∈ g.

Если рассматривать конечномерные алгебры Ли, то двойственное пространство g∗ (т.е. пространство линейных функционалов на g) будетконечномерным линейным пространством.Ниже, если не оговорено противное, мы рассматриваем лишь вещественные алгебры Ли.На двойственном пространстве g∗ будем рассматривать гладкие функции f : g∗ → R. Заметим, что на множестве таких функций C ∞ (g∗ )существует скобка Пуассона–Ли{·; ·} : C ∞ (g∗ ) × C ∞ (g∗ ) → C ∞ (g∗ ),определяемая в каждой точке x ∈ g∗ равенством∂f ∂g.(0.1)∂xi ∂xjВ механических системах первые интегралы чаще всего являются{f, g}(x) = ckij xkполиномиальными функциями на g∗ , например, полная энергия механической системы — это квадратичный полином от элементов самойалгебры. Для полиномиальных функций f и g скобку Пуассона–Лиможно определить следующим эквивалентным способом:1).

Если f и g — линейные (т.е. f, g ∈ g), то {f, g} = [f, g],Введение62). {, } — билинейная,3). {, } — кососимметричная,4). Скобка удовлетворяет правилу Лейбница {f g, h} = {f, h}g+{g, h}fдля любых полиномов f, g, h.Определение 2. Говорят, что две функции находятся в инволюции(или коммутируют), если их скобка Пуассона–Ли равна нулю.Еще одно важное понятие — это коприсоединенное действие группы. Пусть конечномерной алгебре Ли g соответствует группа Ли G, т.е.гладкое многообразие, имеющее структуру группы с гладкими операциями умножения и взятия обратного элемента.

Тогда алгебра Ли —это касательное пространство в единице этой группы. На алгебре gестественно определено присоединенное действие ее группы Ad : G →GL(g) по следующему правилу: пусть g(t) кривая в группе G, проходящая через единицу группы в начальный момент времени t = 0,касательный вектор к которой в единице группы совпадает с напередзаданным вектором ξ ∈ g. Тогда для любого элемента h ∈ G, hg(t)h−1— тоже кривая в группе G, проходящая через единицу группы в начальный момент времени t = 0, а значит касательный вектор к нейв единице группы также лежит в алгебре g. Этот вектор и являетсярезультатом действия оператора Adh на вектор ξ.

Действие, двойственное к присоединенному действию группы, называется коприсоединенным действием Ad∗ : G → GL(g∗ ) и играет важную роль в теориигамильтоновых систем, а именно: орбиты O∗ коприсоединенного действия являются симплектическими многообразиями (т.е. многообразиями, на которых можно ввести замкнутую невырожденную 2-форму,см. [1, стр. 15-17]). Для симплектических многообразий верна теоремаВведение7Лиувилля, позволяющая уменьшить необходимое количество первыхинтегралов.Теорема 1. Пусть на гладком симплектическом многообразии M 2nзаданы гамильтонова система1 v = sgrad H и набор гладких функцийf1 , .

. . , fn со следующими свойствами:• f1 , . . . , fn — первые интегралы системы,• они функционально независимы на M 2n ,• они попарно коммутируют относительно скобки Пуассона {f, g} =ω(sgrad f, sgrad g),• векторные поля sgradfi полны, т.е. естественный параметр вдольинтегральных траекторий полей определен на всей числовой прямой.Пусть Tξ — совместная поверхность уровня интегралов f1 , . . . , fn .Тогда1.

Если многообразие Tξ связно, регулярно и компактно, то онодиффеоморфно n-мерному тору. Этот тор называется торомЛиувилля2. Слоение Лиувилля в окрестности тора Лиувилля тривиально,т.е. диффеоморфно прямому произведению T n × Dn .3. В достаточно малой окрестности U = T n × Dn существуеттакая система координат s1 , . . . , sn , ϕ1 , . . . , ϕn (называемых переменными действие-угол), что1Определение косого градиента функции sgrad можно найти, например, в [1, стр. 18].Введение8• s1 , .