Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли, страница 2

. . , sn — координаты на диске Dn , ϕ1 , . . . , ϕn — координаты на торе T n ,• симплектическая форма ω принимает в этих координатахканонический вид: ω = dϕi ∧ dsi ,• В переменных действие-угол гамильтонов поток выпрямляется на каждом торе Лиувилля в окрестности U , т.е.гамильтоновы уравнения принимают видṡi = 0, ϕ̇i = qi (s1 , . . . , sn ), i = 1, . .

. , n.(Более подробную формулировку и доказательство теоремы Лиувилля можно найти в [1, стр.27-33]).Как было сказано выше, орбита O∗ является симплектическим многообразием, при этом симплектическая 2-форма ω вводится каноническим образом (см. [1, стр.17–18]). На пространстве гладких функцийна любом симплектическом многообразии M можно ввести операциюскобки Пуассона по следующему правилу: {f, g} = ω(sgrad f, sgrad g).Оказывается, что если M — это орбита коприсоединенного действияO∗ , то ограничение скобки Пуассона–Ли, введенной формулой (0.1),на M совпадает со скобкой Пуассона, существующей на ней как насимплектическом многообразии с канонической формой ω.Модельным примером описанной выше конструкции может служить система, описывающая движение твердого тела в трехмерномпространстве. Соответствующая система дифференциальных уравнений может быть записана в видеВведение9K̇ = [K, Ω] + [e, u],ė = [e, Ω].(0.2)Здесь K — кинетический момент, Ω — угловая скорость тела, а физический смысл векторов e и u определяется выбранной задачей.

Этасистема уравнений на R6 (K, e) имеет два естественных первых интеграла: f1 = he, ei, f2 = hK, ei. Для полной интегрируемости системы (0.2) необходимо найти еще три интеграла. Однако введение наR6 (K, e) структуры алгебры Ли позволяет уменьшить искомое числопервых интегралов.На пространстве R6 (K, e) можно ввести структуру алгебры Ли e(3),т.е. алгебры Ли группы движений трехмерного пространства.

Совместная поверхность уровня M12 первых интегралов f1 и f2 будет являтьсяорбитой коприсоединенного действия группы E(3), а значит ограничение скобки Пуассона–Ли (вырожденной на всей алгебре e(3)), на орбиту окажется невырожденным. Многообразие M12 в общем случае имеетразмерность 4. Поскольку векторное поле (0.2) касается поверхностиM12 и оказывается гамильтоновым на M12 ([2, стр.108]), получаем гамильтонову систему на 4-мерном симплектическом многообразии, дляинтегрируемости которой по теореме Лиувилля необходимо два интеграла. Один из них — это гамильтониан системы, второй требуетсянайти.Обобщение этой конструкции на случай произвольной алгебры gвыглядит следующим образом: пусть размерность орбиты коприсоединенного действия O∗ общего положения равна dim O∗ .

Тогда для«различения» орбит требуется dim g − dim O∗ = codim O∗ интегра-Введение10лов. Каждая орбита — это симплектическое многообразие, поэтомудля интегрируемости системы на нем необходимо ещеdim O∗2функций.Следовательно, общее число функционально независимых полиномовдля интегрируемости системы на всей алгебре Ли g равноdim O∗dim g + codim O∗m = codim O +=.22∗(0.3)Определение 3. Коразмерность орбиты регулярного элемента длякоприсоединенного действия называется индексом алгебры Ли g.ind g = min(dim g − dim O∗ ).∗OС использованием определения индекса алгебры формулу (0.3) мож³´dim g+ind gно переписать в виде: m =.2Определение 4. Коммутативный относительно скобки Пуассона набор функционально независимых полиномов f1 , .

. . , fm называется полным, есл赶1dim g + ind g .m=2(0.4)Таким образом, если на алгебре Ли найдется полный коммутативный набор полиномов f1 , . . . , fm , то гамильтонова система на всей алгебре, с гамильтонианом f ∈ {f1 , . . . , fn }, будет интегрируема.Исследуя гамильтоновы системы на алгебрах Ли, А. С. Мищенкои А. Т. Фоменко сформулировали важную гипотезу: на двойственномпространстве к любой конечномерной алгебре Ли над полем нулевой характеристики K всегда существует полный коммутативный набор полиномов. Следовательно, всегда существует интегрируемая гамильтонова система с полиномиальными интегралами. А.

С. МищенкоВведение11и А. Т. Фоменко доказали эту гипотезу для всех редуктивных алгебрЛи (определение см. ниже). Доказательство оказалось весьма нетривиальным и было основано на новом методе, предложенном авторами,и получившем в дальнейшем широкие применения и развитие во многих работах. Затем последовало большое число работ различных авторов, в которых гипотеза Мищенко-Фоменко доказывалась для других алгебр Ли. Окончательное доказательство гипотезы было получено С. Т. Садэтовым [3]. Более наглядное и геометрическое доказательство, основанное на алгоритме Садэтова, приведено А. В.

Болсиновымв [4]. Таким образом, верно следующее фундаментальное утверждение.Теорема 2 (Мищенко, Фоменко, Садэтов). На двойственном пространстве к любой конечномерной алгебре Ли над полем нулевой характеристики всегда существует полный инволютивный набор полиномов.Наиболее изученный класс алгебр Ли — это полупростые и редуктивные алгебры Ли. Напомним, что полупростой называется алгебраЛи, не имеющая нетривиальных разрешимых идеалов. Если рассмотреть прямую сумму полупростой алгебры Ли с любой коммутативнойалгеброй, получим редуктивную алгебру Ли. Для случая редуктивных алгебр теорема 2 была доказана А.

С. Мищенко и А. Т. Фоменко в[8]–[14]. Полный инволютивный набор полиномов для такой алгебрыможет быть построен с помощью метода сдвига аргумента2 , введенногов [8], [10], [16]–[19].Следующий важный класс алгебр — это полупрямые суммы алгебрЛи.2Подробнее о методе сдвига аргумента будет рассказано в главе 1.Введение12Определение 5. Пусть h — алгебра Ли с коммутатором [·, ·]h , а χ : h →gl(V ) — произвольное линейное представление этой алгебры. Полупрямой суммой g = h +χ V называется алгебра Ли, которая как линейноепространство изоморфна прямой сумме пространств h и V , а коммутатор определяется следующим образом: пусть ξ1 , ξ2 ∈ h, v1 , v2 ∈ V ,тогда [(ξ1 , v1 ), (ξ2 , v2 )] = ([ξ1 , ξ2 ]h , χ(ξ1 )v2 − χ(ξ2 )v1 ).Вопрос построения полных наборов для полупрямых сумм алгебрЛи рассматривался многими авторами.

Полупрямые суммы простыхалгебр Ли по неприводимому представлению рассматривали А.В. Болсинов [11, 29] и Б. Привитцер [12]. Кроме того, для сумм gl(2n) + V попредставлению Λ2 ρ (где Λ2 ρ – вторая внешняя степень представленияминимальной размерности), sl(2n)+V по представлению S 2 ρ (где S 2 ρ –вторая симметрическая степень представления минимальной размерности) и sp(n)+V по сумме представлений ρ+τ (где ρ – представлениеминимальной размерности, а τ — одномерное тривиальное представление) Т.

А. Певцовой в [21] построены явные формулы для искомыхполиномов. Наиболее полный список результатов приведен в обзореВ.В.Трофимова и А.Т.Фоменко [7, c.249], а также во введении к кандидатской диссертации К.Шваи [26]. Общие результаты в этом направлении получены А.В. Браиловым (см. обзор Трофимова, Фоменко [25])и А.С.

Теном (см. [23]).Определение 6. Инвариантом алгебры Ли называется функция f : g∗ →K, постоянная на орбитах коприсоединенного действия.Теорема 3 (А. В. Браилов [25, 24]). Пусть g = h +χ V — полупрямая сумма комплексной алгебры Ли h и линейного пространства VВведение13относительно неприводимого представления. χ : h → gl(V ). Пустьg1 , .

. . , gk — инварианты алгебры g. Тогда сдвиги этих инвариантов3gm (x + λL) на элемент L ∈ h∗ совместно с линейными функциямина V ∗ образуют инволютивный набор функций на g∗ .Введем обозначение для стационарной подалгебры в смысле представления χ∗ :St v = {A ∈ h : χ∗ (A)v = 0},v ∈ V ∗.(0.5)Теорема 4 (А.

В. Браилов [25, 24]). Набор, описанный в теореме 3,является полным тогда и только тогда, когда сдвиги инвариантовалгебры St v дают полный набор функций на пространстве (St v)∗ ,где v ∈ V ∗ — элемент общего положения.Определение 7. Обозначим через ad : g → gl(g) дифференциал присоединенного действия группы Ad : G → GL(g). Полупростой компактной (или просто компактной) алгеброй Ли называется вещественная полупростая алгебра Ли, форма Киллинга hM, N i = Tr adM adNна которой отрицательно определена.В виду компактности алгебры h ее можно представить как подалгебру в so(m) для достаточно большого m. Тогда отождествление ch∗ производится при помощи формы Tr : (A, B) = Tr AB, здесь A, Bпредставлены кососимметрическими матрицами m × m.Теорема 5 (А.

С. Тен [23]). Пусть g = h +χ V — полупрямая суммакомпактной алгебры Ли h и линейного пространства V по произвольному представлению χ : h → gl(V ). Рассмотрим следующий наP mбор функций на g∗ = h∗ +V ∗ :λ fk,L,m (M, v) = Tr (prSt v (M +λL))k ,3Т.е. функции, полученные из инвариантов алгебры путем сдвига аргумента. Подробнее обэтом будет рассказано в главе 1.Введение14где L ∈ h∗ , λ ∈ R, а prSt v M — проекция элемента M ∈ h∗ , рассматриваемого как элемент h, на стационарную подалгебру St v элементаv.

Функции fk,L,m , совместно с базисом пространства V , рассматриваемым как набор линейных функций на V ∗ , будут образовыватьполный инволютивный набор функций на g∗ .Поскольку результаты Тена и Браилова получены независимо, возникает вопрос о сравнении наборов, получаемых методами Тена, Браилова и Садэтова. Для начала определим, какие наборы полиномовмы называем совпадающими.Определение 8. По полному набору функций {hj } определим подпространство Dx (hj ) ⊂ g, порожденное дифференциалами функцийhj (x) из набора в точке x.Определение 9. Будем говорить, что наборы полиномов {fk } и {gm }эквивалентны, если подпространства Dx (fk ) и Dx (gm ) совпадают почти для всех точек x ∈ g∗ .Отметим, как известно, что два набора полиномов на алгебре Ли (ивообще на алгебраическом многообразии) эквивалентны в том и тольков том случае, когда они алгебраически зависимы, т.е.

полиномы одногонабора полиномиально выражаются через полиномы другого набора.Поскольку в наборах, построенных каждым из методов, присутствует матричный параметр сдвига, то естественно считать, что наборыэквивалентны, если возможно выбрать этот параметр так, чтобы полученные наборы оказались эквивалентными в смысле определения 9.Определение 10. Набором Браилова назовем следующий набор полиномов, состоящий из двух частей:Введение15Первая часть — линейные функции на V ∗ (т.е. базис пространства V ),Вторая часть — функции gm,L (x), полученные из сдвигов инвариантовgi (x) коприсоединенного представления алгебры g на вектор L ∈ h∗ ,путем разложения gi (x + λL) по степеням λ.Определение 11.

Набором Тена назовем следующий набор функций,состоящий из двух частей:Первая часть — линейные функции на V ∗ (т.е. базис пространства V ),Вторая часть — функции fk,L (x), полученные из сдвигов следов степеней Tr (prSt v (M +λL))i , путем разложения по степеням λ (см. теорему5).Заметим, что набор Браилова определен для более широкого классаалгебр, чем набор Тена. Однако, для получения явного вида функцийиз набора Браилова требуется знать вид инвариантов алгебры g, чтов общем случае является довольно сложной задачей.