Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли, страница 9

Поэтому и след Tr N (M − N ) = 0. Лемма доказана.Теорема D. Рассмотрим набор полиномиальных функций на g∗nk : базис u1 , . . . , unk пространства V = (Rn )k , рассматриваемый как линейные функции на V ∗ , и функцииfl,B,λ (M, v) = Γl (v1 , . . . , vk ) · Tr(prStv (M + λB))l ,(2.12)l = 2, 4, . . . , 2 · [(n − k)/2], где проекция prSt v M задана формулой(2.10), Γ(v1 , . .

. , vk ) — определитель матрицы Грама системы векторов v1 , . . . , vk , а B — регулярный элемент so(n), выступающий вкачестве параметра.Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.60Эти функции находятся в инволюции и образуют полный наборна двойственном пространстве к алгебре gnk = so(n) +ρk (Rn )k приk < n − 1. Если k > n − 1, то полный инволютивный набор на g∗nkобразуют функции u1 , . . . , unk .Доказательство теоремы D. Заметим, во-первых, что полнота набора линейных функций для k > n − 1 следует из формулы (2.2).Далее, согласно теореме Тена для получения полного инволютивного набора рациональных функций линейные функции на идеале V ∗¡¢lнеобходимо дополнить функциями вида Tr prSt v (M + λB) . Рассмотрим знаменатели этих функций. Из формулы (2.10) вытекает, что зна¡¢llменатель функции Tr prSt v (M + λB) равен (|w1 |2 · · · · · |wk |2 ) == Γl (w1 , .

. . , wk ), где Γ(w1 , . . . , wk ) — определитель матрицы Грамасистемы векторов w1 , . . . , wk . Но поскольку такой определитель равен объему параллелепипеда, натянутого на векторы w1 , . . . , wk , то изформулы (2.8) имеем равенство Γ(w1 , . . . , wk ) = Γ(v1 , .

. . , vk ) А значит,¡¢lf (M, v) = Γl (v1 , . . . , vk ) · Tr prSt v (M + λB) — полином. Кроме того,если (M, v) — регулярная точка для набора Тена (т.е. точка, в которойградиенты функций образуют максимальное изотропное подпространство), то Γ(v1 , . . . , vk ) 6= 0. Теперь подставим в равенство gradx (f g) =f (x)gradx g + g(x)gradx f функции g(M, v) = Γl (v1 , . . . , vk ), f (M, v) =¡¢lTr prSt v (M + λB) и, пользуясь тем, что gradx g ∈ V , а g(x) =g(M, v) 6= 0, получим, что подпространство, порожденное градиентами функций нового (полиномиального) набора совпадает с подпространством, порождаемым функциями набора Тена, а значит (M, v) —регулярная точка для нового набора. Таким образом множество регулярных точек нового набора имеет полную меру. Осталось заметить,Глава 2.

Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.61¡¢lчто поскольку функции Tr prSt v (M + λB) , образовывавшие полныйинволютивный набор вместе с базисом V , мы домножили на полиномот элементов V , то инволютивность набора сохранилась (это следуетиз формулы Лейбница для скобки Пуассона–Ли и явной выкладки).Теорема D доказана.2.2Операторный вид формулы для проекции prSt v .Формула (2.10) задает проекцию на подпространство в so(n), выделяемое условием (2.9). Отсюда следует, что N w = 0 для любого вектораw, лежащего в подпространстве hw1 , .

. . , wk0 i, натянутом на векторыw1 , . . . , wk0 . Поэтому формула (2.10) не должна меняться при заменебазиса w1 , . . . , wk0 другим базисом подпространства hw1 , . . . wk0 i. Иными словами сама проекция зависит только от подпространства, натянутого на векторы v1 , . . . , vk , а не от набора векторов его порождающего. Пусть P — ортогональная проекция вдоль подпространстваhw1 , . . .

wk0 i = hv1 , . . . vk i. Оказывается, что формулу (2.10) можно с еепомощью задать в очень простом виде.Пусть M ∈ so(n) представляется кососимметрической матрицей n×n, а P — такая симметрическая матрица n×n, что P v1 = · · · = P vk = 0и P u = u для любого u из ортогонального дополнения к hv1 , . . . , vk i.Лемма 2.3. Пусть P — оператор проектирования вдоль подпространства hv1 , .

. . , vk i, т.е.P u = 0 ∀u ∈ hv1 , . . . , vk i;P w = w ∀w ∈ hv1 , . . . , vk i⊥(ортогональное дополнение к подпространству берется в смысле скалярного произведения). Тогда проекция prSt v : so(n) → St v ⊂ so(n)Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.62имеет видprSt v M = P M P.Доказательство. Заметим, во-первых, что поскольку(P M P )T = P T M T P T = −P M P,матрица P M P является кососимметрической. Во-вторых, P M P vi = 0,поскольку P vi = 0 для всех i = 1, . . . , k. Отсюда уже следует, что матрица P M P лежит в St v. Осталось проверить, что эта проекция явля¡ется ортогональной, то есть, что выполнено условие Tr prSt v M (M −¢prSt v M ) = 0.

Но поскольку P 2 = P , а Tr AB = Tr BA для любыхматриц A и B, имеем¡¢Tr prSt v M (M prSt v M ) = Tr (P M P (M − P M P )) == Tr P M P M − Tr P M P 2 M P = Tr P M P M − Tr P 2 M P 2 M == Tr P M P M − Tr P M P M = 0.Что и требовалось показать.Для оператора P также можно предъявить формулу, выражающуюего через векторы из подпространства проектирования. Действительно, если w1 , . .

. , wk0 — ортогональный базис в пространстве hv1 , . . . vk i,k0Pwi ⊗wi>то P можно записать в виде: P = E −|wi |2 , где E — единичнаяi=1матрица. Поскольку векторы w1 , . . . , wk0 зависят от vi рационально, тои сама формула проекции будет рационально зависеть от vi .2.3Степени полиномов.В этом параграфе будут исследованы степени полиномов из формулы(2.12) в случае алгебр so(n) +ρ Rn . Он отвечает значению k = 1, аГлава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.63значит функции (2.12) можно переписать в формеfl,λ (M, v) = Tr (|v|2 prSt (v) (M + λB))l = Tr ((M + λB)|v|2 + v ⊗ (M v)> ++ λv ⊗ (Bv)> − M v ⊗ v > − λBv ⊗ v > ))l = Tr ((M |v|2 + v ⊗ (M v)> −− M v ⊗ v > ) + λ(B|v|2 + v ⊗ (Bv)> − Bv ⊗ v > ))l == Tr (|v|2 prSt (v) M + λ|v|2 prSt (v) B)l = Tr (P (M, v) + λQB (v))l ,(2.13)где P (M, v) — полином третьей степени, зависящий от M и v, а QB (v)— квадратичный полином, не зависящий от M , коэффициенты которого зависят от параметра B.Таким образом, после разложения по степеням λ для разных l получим следующие полиномы (в скобках указана степень полинома):λ0λ1λ2λ3l=1Tr P (3)Tr Q (2)——l=2Tr P 2 (6)Tr P Q (5)Tr Q2 (4)—l=3Tr P 3 (9)Tr P 2 Q(8)Tr P Q2 (7)Tr Q3 (6)l = 4 Tr P 4 (12) Tr P 3 Q (11) Tr (P 2 Q2 + (P Q)2 ) (10) Tr P Q3 (9)...............Поскольку для кососимметрических матриц Tr A2i+1 = 0, то строчки, соответствующие нечетным l мы не рассматриваем.Введем функцию:S(X) = |v|2 prSt (v) X = X|v|2 − vv T X − Xvv T(X ∈ so(n)).Как было сказано в главе 1, основная характеристика каждого набора — это пространство, натянутое на дифференциалы функций изГлава 2.

Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.64набора. Так, если для двух наборов эти пространства совпадают, то исами наборы считаются одинаковыми. В нашем случае это пространство всегда содержит все V = Rn . Поэтому интересны проекции дифференциалов функций на so(n).Лемма 2.4. Пусть f (M, v) и g(M, v) — два полинома на (so(n)+Rn )∗ ,причем f (M, v) = α(v) · g(M, v), где α(v) — функция, не зависящаяот M , а v1 , . . . vn — базис Rn , рассматриваемый, как линейные функции на (so(n) + Rn )∗ . Тогда подпространство натянутое на дифференциалы функций v1 , . . . , vn , f совпадает с подпространством натянутым на дифференциалы функций v1 , . .

. , vn , g.Доказательство. Пусть на алгебре so(n) введены координаты pij , 0 <i < j 6 n, тогда проекция дифференциала функции f (M, v) = f (pij , v)на алгебру so(n) имеет вид∂f∂p12... 0 ∂f − ∂p0 ...12prso(n) df =  ... ... 0− ∂p∂f1n .

. . . . .∂f∂p1n ∂f ∂p2n ...0(2.14)Поэтому0 −α(v) ∂p∂g12prso(n) df =  ...−α(v) ∂p∂g1nα(v) ∂p∂g1n α(v) ∂p∂g2n α(v) ∂p∂g12...0......0.........0 = α(v)prso(n) dg.(2.15)Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.65т.е. векторы prso(n) dg и prso(n) df коллинеарны. А значит проекция дифференциала функции f (M, v) на so(n) будет давать такой же вклад висследуемое подпространство, что и проекция дифференциала функции g(M, v). Поскольку оба подпространства содержат Rn , а часть,лежащая в so(n), определяется в первом случае функцией f , а во втором — функцией g, то исследуемые подпространства совпадают.Как видно из формулы (2.12) степени полиномов, входящих в набор достаточно велики, но, из леммы 2.4 следует, что иногда степеньполиномов можно понизить, не меняя подпространства, натянутого надифференциалы функций набора.Главный результат параграфа будет получаться как следствие изследующей леммы.Лемма 2.5.

Полиномf = Tr2tYi=12tYS(Xi ) = Tr(Xi |v|2 − vv T Xi − Xi vv T ),(2.16)i=1где все матрицы Xi кососимметрические, делится на |v|2t .Доказательство. Раскроем скобки в произведении (2.16), Получимсумму следов мономов, каждый из которых — это произведение сомножителей трех типов: P1 = vv T X, P0 = |v|2 X, P−1 = Xvv T (здесьX — одна из матриц Xi ). Посмотрим на вид одного монома M . Заметим, что если в мономе M встречаются комбинации P² ·P² (² = ±1) илиP−1 P0 P1 , то M = 0, что следует из равенства v T Xv = 0 ∀X ∈ so(n):P² · P² = vv T Xi vv T Xj = Xi v v T Xj v v T = 0;| {z }P−1 · P0 · P1 = Xi vv T Xj |v|2 vv T Xk = |v|2 Xi v v T Xj v v T Xk = 0.| {z }Глава 2.

Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.66Кроме того, поскольку нас интересует лишь след этого монома, томы можем циклически переставлять сомножители. ПустьTr M 6= 0.Рассмотрим случаи:1). В мономе M нет ни одного сомножителя типа P−1 . Переставимсомножители циклически, так чтобы M начинался с P1 (если так сделать нельзя, то Tr M = |v|4t Tr X 2t ). Тогда после каждого сомножителяP1 идет P0 (иначе M = 0) и в конце также идет P0 , так как в противномслучае Tr M = Tr (P1 . .