Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли, страница 5

Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова29Теперь вернемся к функциям на g∗ . Пусть g : g∗ → R — одна из таких функций. При каждом фиксированном v функцию g(M, v) можноограничить на h∗ . Пусть g̃ : h∗ → R — это ограничение, т.е. g̃(M ) =g(M, v) ∀M ∈ h.Лемма 1.5. Дифференциал функции g̃ удовлетворяет соотношениюdg̃M = prh dgx .(1.10)Доказательство. Рассмотрим произвольное L ∈ h.

Тогда для дифференциала dg̃M имеемg̃(M + εL) − g̃(M )g(M + εL, v) − g(M, v)= lim=ε→0ε→0εεg(x + λL) − g(x)= lim= hdgx , Li = hprh dgx , Li.ε→0εhdg̃M , Li = limОтсюда, в силу произвольности L следует утверждение леммы.Лемма 1.6. Пусть g : g∗ → R — такая функция, что prh dg(M,v) ∈St v для некоторого фиксированного v ∈ V ∗ . Тогда формулаĝ(M 0 ) = g(π(M 0 ), v)(1.11)корректно определяет ограничение функции g на подалгебру (St v)∗ ,при этом справедливо соотношениеdĝM 0 = prh dg(π(M 0 ),v) .Доказательство.

По лемме 1.5 для ограничения g̃ : h∗ → R функцииg справедливо соотношение (1.10). Следовательно, dĝM ∈ St v. Поэтому функцию g̃ можно ограничить на (St v)∗ , по формуле (1.11) и,воспользовавшись леммой 1.4, получить, чтоdĝM 0 = dg̃π(M 0 ) = prh dg(π(M 0 ),v) ∀M ∈ (St v)∗ .Что и требовалось доказать.Глава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова30Иными словами, по любой функции g : g∗ → R, дифференциал которой обладает свойством prh df(M,v) ∈ St v, фиксировав v, можно корректно определить функцию на (St v)∗ , дифференциал которой будетсовпадать с проекцией дифференциала исходной функции на подалгебру h.1.4Сравнение наборов, получаемых методами Тена и БраиловаАлгоритмы Тена и Браилова вкратце можно сформулировать следующим образом:Схема построения набора Тена.1.

Берется базис в пространстве V (первая часть набора).2. Вторая чаcть набора строится с помощью центра подалгебры V инвариантных функций. Этот центр задается соотношениямиprh dfx ∈ St v V -инвариантностьhM, [prh dfx , St v]i = 0 центр V -инвариантных функций(1.12)(1.13)Показывается, что в этом центре лежат функции fk (M, v) = Tr [(prSt v M )k ]3. В качестве второй части набора берутся функции из разложения ихсдвигов Tr [(prSt v (M + λL))k ] на вектор L ∈ h∗ по степеням λ.Схема построения набора Браилова.1. Берется базис в пространстве V (первая часть набора).2.

Находятся инварианты gm (x) коприсоединенного представления алгебры g.3. В качестве второй части набора берутся функции из разложения ихГлава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова31сдвигов gm (M + λL, v) на вектор L ∈ h∗ по степеням λ.Лемма 1.7. Пусть g : g∗ → R — инвариант алгебры g. Тогда функция ĝ : (St v)∗ → R заданная формулой (1.11), является инвариантомалгебры St v.Доказательство.

Покажем, во-первых, что определение корректно.Действительно, инвариант алгебры g будет являться инвариантом представления Ad|∗V : V → gl(g∗ ), поэтому по лемме 1.1, prh dg(M,v) ∈ St v, азначит, формула (1.11) применима.Во-вторых, для любого инварианта алгебры g выполняется равенствоhx, [dgx , ξ]i = 0 ∀x ∈ g∗ ∀ξ ∈ g,(1.14)а для доказательства леммы нам остается показать, чтоhM 0 , [dĝM 0 , A]i = 0 ∀A ∈ St v ∀M 0 ∈ (St v)∗ .(1.15)Фиксируем произвольные A ∈ St v и M 0 ∈ (St v)∗ и подставим в(1.14) значения x = (π(M 0 ), v) и ξ = (A, 0).

Получим0 = hx, [dgx , A]i = hπ(M 0 ), [prh dgx , A]i + hv, [prV dgx , A]i.Так как A ∈ St v, второе слагаемое принимает видhv, [prV dgx , A]i = −hv, χ(A)prV dgx i = hχ∗ (A)v, prV dgx i = 0,поскольку χ∗ (A)v = 0. Следовательно, hπ(M 0 ), [prh dg(π(M 0 ),v) , A]i = 0.Преобразуем левую часть этого соотношения£¤£¤0 = hπ(M 0 ), prh dg(π(M 0 ),v) , St v i = hπ(M 0 ), dĝM 0 , St v i =£¤= hM 0 , dĝM 0 , St v i.Глава 1.

Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова32£¤Последний переход следовал из (1.9) и из того, что dĝM 0 , St v ∈ St v.А значит (1.15) выполняется для любых A ∈ St v и M 0 ∈ (St v)∗ . Чтои требовалось доказать.Перейдем к функциям из второй части набора Тена. Посколькуфункции fk лежат в множестве F̃ (1.3), их тоже можно перенести наалгебру (St v)∗ .

Посмотрим, какой вид они приобретут.Напомним, что в силу компактности алгебры h можно отождествитьпространства h и St v с двойственными им. Обозначим первое отображение (задающее отождествление h и h∗ ) за κ1 , а второе — за κ2 .Лемма 1.8. При любом фиксированном v следующая диаграмма коммутативна:π(St v)∗ −−→κ2 ySt vh∗κy 1(1.16)prv←−St−−hДоказательство. Это утверждение — следствие того, что отображения prSt v и π двойственны друг другу, а также, что отображения κ1 иκ2 порождаются одной и той же формой Tr .Однако, доказательство этого утверждения может быть получено иявным вычислением.что длялюбого M 0 ∈ (St v)∗ выполнеµ Покажем,¶³ ¡¢´−10но равенство κ2 prSt v κ1 π(M )= M 0 . Возьмем произвольныйA ∈ St v.

Тогдаµµ³ ¡´¶³ ¡´¶¢¢hκ2−1 prSt v κ1 π(M 0 ), Ai = Tr A · prSt v κ1 π(M 0 )=³¡¢´0= Tr A · κ1 π(M ) = hA, π(M 0 )i = hA, M 0 i.Что и требовалось доказать.Глава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова33Из леммы 1.8 следует, что ограничения fˆk функций fk имеют вид³¡¢´k000ˆfk (M ) = fk (π(M )) = Tr prSt v κ1 π(M )= Tr (M 0 )k . То есть также, как и в случае набора Браилова, в силу редуктивности St v, ониявляются ее инвариантами.Теорема A. Рассмотрим полупрямую сумму g = h+χ V компактнойалгебры Ли h и линейного пространства V по произвольному представлению χ : h → gl(V ). Пусть вторые части наборов Тена и Браилова получены сдвигом на один и тот же вектор L.

Тогда наборыТена и Браилова эквивалентны.Доказательство теоремы A. Для сравнения наборов Тена и Браилова заметим, во-первых, что первые части этих наборов эквивалентны,т.е. они состоят из функций, чьи дифференциалы порождают одно ито же пространство, а именно идеал V (поскольку дифференциалы линейных функций — это сами эти функции).

Осталось сравнить вторыечасти наборов, т.е. посмотреть на те подпространства, которые порождают дифференциалы функций из вторых частей набора при одном итом же параметре сдвига. Более точно, нас интересуют не сами дифференциалы функций {fk,L } и {gm,L }, а проекции этих дифференциаловна алгебру h, поскольку пространства Dx,L (fk ) и Dx,L (gm ) уже содержат подпространство V .При фиксированном v, согласно лемме 1.6, и функции gm , и функции fk можно ограничить на (St v)∗ . Причем полученные наборы {ĝm }и {fˆk } состоят из инвариантов алгебры St v.

Посмотрим, как соотносятся сдвиги функций gm и fk на вектор L и сдвиги функций ĝm и fˆkна вектор L0 , такой что π(L0 ) = L.Глава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова34Лемма 1.9. Пусть {hi } — набор функций g∗ → R, такой что длялюбой функции hi и любого x ∈ g∗ prh (dhi )x ∈ St v.

И пусть v — фиксировано. Тогда пересечение пространства D(M,v) (hi,L ) с подалгебройh совпадает с пространством DM 0 (ĥi,L0 ), где π(L0 ) = L, π(M 0 ) = M .Доказательство. Пусть h : g → R функция, удовлетворяющая условию леммы 1.9. Сдвиг этой функции на L порождает семейство функций hLk по следующему правилу:h(M + λL, v) =Xλk hLk (M, v).kПоэтому, в частности, prh d(hLk )(M,v) ∈ St v. Теперь перейдем к сдвигуфункции ĥ(M 0 ) = h(π(M 0 ), v). С одной стороны, ее аргумент можно0сдвинуть на L0 и получить набор функций hLk (M 0 ) , таких чтоĥ(M 0 + λL0 ) =X0λk ĥLk (M 0 ).(1.17)kС другой стороны,ĥ(M 0 + λL0 ) = h(π(M 0 ) + λπ(L0 ), v) =Xπ(L0 )λk hk(π(M 0 )).(1.18)kπ(L0 )0Сравнивая (1.17) с (1.18), получаем, что ĥLk (M 0 ) = hkπ(L0 )для любого k.

Откуда, prh d(hk(π(M 0 ), v)0)π(M 0 ) = d(ĥLk )M 0 . Поэтому, в произ-вольной точке (M, v) та часть пространства D(π(M 0 ),v) (hi,π(L0 ) ), котораялежит в h, совпадает с пространством DM 0 (ĥi,L0 )Следствие 2. Пространство DM 0 (ĥi,L0 ) не зависит от того, какиепрообразы M 0 и L0 точек M и L при отображении π (π(L0 ) = L,π(M 0 ) = M ) мы выбираем.Глава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова35Окончание доказательства теоремы А.

Из леммы 1.9 следует, чтовместо того, чтобы сравнивать пространства, натянутые на дифференциалы сдвигов функций из вторых частей наборов, можно сравнитьподпространства DM 0 (fk,L0 ) и DM 0 (gm,L0 ), натянутые на дифференциалы сдвигов инвариантов алгебры St v, которые получаются путем ограничения функций fk и gm на (St v)∗ .Рассмотрим сдвиги инвариантов ĝm на вектор L0 : ĝm,L0 ≡ ĝm (M 0 +λL0 ) = gm (π(M 0 ) + λπ(L0 ), v). Если π(L0 ) — регулярный элемент, топроекции дифференциалов функций gm (π(M 0 ) + λπ(L0 ), v) на подал¡гебру h дают подпространство Dx,π(L0 ) (gm ) размерности l = 21 dim St v+¢ind St v (поскольку в силу полноты набора на g размерность подпространства Dx,π(L0 ) (gm ) равна dim V + 21 (dim St v+ ∈ St v), а перваячасть набора дает в эту сумму вклад ровно dim V ).

Значит и дифференциалы функций ĝm,L0 тоже образуют пространство DM 0 (ĝm,L0 ) раз¡¢мерности 21 dim St v + ind St v . Следовательно сдвиги инвариантовĝm,L0 (M 0 ) = ĝm (M 0 + λL0 ) дают полный набор на (St v)∗ . Аналогичносдвиги инвариантов fˆk,L0 (M 0 ) = fˆk (M 0 + λL0 ) дают полный набор на(St v)∗ .Рассмотрим набор функций на (St v)∗ , являющийся объединениемэтих наборов: {ĥn } = {fˆk } ∪ {ĝm }. Этот набор состоит из инвариантовалгебры St v.

Рассмотрим сдвиги ĥ(M 0 + λL0 ). Дифференциалы функций этого набора образуют подпространство DM 0 ,L0 (ĥn ) размерности¡¢не более, чем l = 21 dim St v + ind St v . Но DM 0 ,L0 (ĥn ) уже содержит l-мерные пространства DM 0 ,L0 (fˆk ) и DM 0 ,L0 (ĝm ), значит DM 0 ,L0 (fˆk )и DM 0 ,L0 (ĝm ) совпадают, а следовательно совпадают и пространства,натянутые на проекции дифференциалов функций из вторых частейГлава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова36наборов Тена и Браилова на алгебру h, что влечет доказательство теоремы A.1.5Анализ метода Садэтова.Посмотрим, как преобразуется алгоритм, описанный в [4] для алгебрвида (1.1).Согласно [4], в качестве «первой части» набора мы берём элементыкоммутативного идеала V , которые являются линейными функциямина V ∗ .Первую часть набора Садэтова мы хотим дополнить функциями,которые находятся в инволюции с элементами V .