Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли, страница 6

Обозначим черезAnn(V ) множество функций из P (g), коммутирующих с элементамиV . Оказывается [4, стр. 97], что Ann(V ) является пуассоновой алгебройP (K) для некоторой алгебры K. Поэтому для построения оставшейсячасти набора достаточно найти полный инволютивный набор полиномов в алгебре K.Алгебра K, в свою очередь строится следующим образом: рассматриваются рациональные отображения ψ : V ∗ → g, такие что ψ(v) ∈˜ v для любого v ∈ V ∗ , где St˜ v — стационарная подалгебра в смыслеStпредставления (ad|V )∗ : g → gl(V ∗ ), двойственного ограничению ad|Vпредставления ad : g → gl(g) на идеал V ⊂ g. Эти отображения будутявляться сечениями расслоений стационарных подалгебр в g. По сечениям ψ строятся функции fψ (M, v) = h(M, v), ψ(v)i.

Эти функциии будут образовывать алгебру K, на которой необходимо построитьполный инволютивный набор полиномов на втором шаге. Построенная«вторая часть» набора будет состоять из полиномов Fi от элементовГлава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова37алгебры K, но поскольку сечения ψ — рациональные, функции fψ также будут рациональными, а значит Fi можно считать рациональнымифункциями от элементов g. Оказывается (и мы явно это покажем внашем частном случае), что полиномы, стоящие в знаменателях функций Fi зависят только от V . Домножив Fi на знаменатель и добавивпервую часть набора Садэтова, получим полный инволютивный наборполиномов на алгебре g.1.5.1Строение алгебры рациональных сечений.Лемма 1.10. Стационарная подалгебра в смысле представления(ad|V )∗ : g → gl(V ∗ ) имеет вид˜ v = {ξ ∈ g|(ad|V )∗ξ v = 0} = {(A, α) | α ∈ V, χ∗ (A)v = 0},Stто есть является полупрямой суммой подалгебры St v (0.5) и про˜ v → gl(V ) представления χ настранства V по ограничению χ|St : Stстационарную подалгебру (0.5)Доказательство.

Нам необходимо найти все такие ξ = (A, α), что(ad|V )∗ξ v = 0. Но это условие равносильно равенству h(ad|V )∗ξ v, βi =0 ∀β ∈ V . Посколькуh(ad|V )∗ξ v, βi = −hv, (ad|V )ξ βi = −hv, χ(A)βi = hχ∗ (A)v, βi,на пару ξ = (A, α) накладывается единственное условие: χ∗ (A)v = 0.Таким образом St v — это подалгебра g, содержащая все пространствоV и подалгебру St v ⊂ h (0.5).

Что и требовалось доказать.Остановимся подробнее на строении алгебры сечений. Если мы введем поточечный коммутатор на множестве этих сечений [ψ1 , ψ2 ](v) =Глава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова38[ψ1 (v), ψ2 (v)], алгебра сечений станет алгеброй Ли, размерность которой над исходным полем очевидно равна бесконечности. Но еслимы перейдем к полю R(V ∗ ) рациональных функций на V ∗ , алгебрастанет конечномерной. Алгебра сечений также, как и стационарная˜ v регулярного элемента, состоит из двух частей: Φ =подалгебра St{ϕ : V ∗ → h| χ∗ (ϕ (v)) v = 0} — множество рациональных функций,обладающих условием χ∗ (ϕ (v)) v = 0 ∀v ∈ V ∗ , и S = {s : V ∗ → V } —множество произвольных рациональных отображений. При этом сумма здесь тоже не будет прямой:[ϕ1 + s1 , ϕ2 + s2 ] (v) = [ϕ1 (v) + s1 (v) , ϕ2 (v) + s2 (v)] = [ϕ1 (v) , ϕ2 (v)] ++χ (ϕ1 (v)) s2 (v) − χ (ϕ2 (v)) s1 (v) 6= [ϕ1 , ϕ2 ] (v) + [s1 , s2 ] (v) .Если ввести базис в g, а именно α1 , .

. . αm ∈ V , A1 , . . . , Ak ∈ h, тосечения запишутся виде:s (·) =mXi=1Pi (·) αi ,ϕ (·) =kXQj (·) Aj ,(1.19)j=1где Pi (·) и Qj (·) — рациональные функции от элементов V .Построим отображение χ̃ : Φ → gl(S) , по правилу:χ̃ (ϕ) s = s̃, где s̃(v) = χ (ϕ (v)) s (v) .(1.20)Это отображение также будет также являться представлением (cм.[27]). Кроме того χ̃([ϕ1 , ϕ2 ]) = [χ̃(ϕ1 ), χ̃(ϕ2 )]. Таким образом, доказаналемма:Лемма 1.11. Алгебра сечений является полупрямой суммой Φ +χ̃ SалгебрыΦ = {ϕ : V ∗ → h| χ∗ (ϕ (v)) v = 0} ,Глава 1.

Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова39состоящей из рациональных сечений, обладающих условием χ∗ (ϕ (v)) v =0 ∀v ∈ V ∗ , и коммутативной алгебры S = {s : V ∗ → V }, состоящейиз произвольных рациональных отображений, по представлению χ̃определенному формулой (1.20).1.5.2Строение алгебры рациональных функций KΦ .Введем функцииfψ (x) = hx, ψ(prV ∗ x)i = h(M, v), ψ(v)i.(1.21)Согласно [4], эти функции принадлежат Ann(V ).Лемма 1.12. Алгебра Kψ = {fψ |fψ (x) = h(M, v), ψ(v)i} являетсяпрямой суммой алгебры KΦ = {fϕ |fϕ (x) = h(M, ψ(v)i} и основногополя — поля рациональных функций R(V ∗ ).Доказательство. Пусть x = (M, v), а fψ1 и fψ2 – две функции, отвечающие сечениям ψ1 = (ϕ1 , s1 ) и ψ2 = (ϕ2 , s2 ) соответственно. Посчитаемих скобку{fψ1 , fψ2 } (x) = h[ψ1 , ψ2 ] (v), xi = h[ψ1 , ψ2 ] (v) , (M, v)i == h[ψ1 (v) , ψ2 (v)] , (M, v)i == h[ϕ1 (v) , ϕ2 (v)] + χ (ϕ1 (v)) s2 (v) − χ (ϕ2 (v)) s1 (v) , (M, v)i == h[ϕ1 (v) , ϕ2 (v)] , M i + hχ (ϕ1 (v)) s2 (v) , vi − hχ (ϕ2 (v)) s1 (v) , vi .Однако, второе и третье слагаемые равны нулю, посколькуhχ (ϕ2 (v)) s1 (v) , vi = − hs1 (v) , χ∗ (ϕ2 (v)) vi = − hs1 (v) , 0iпо свойству сечений ϕ.

Поэтому сумма алгебр функций будет прямойи, более того, будет содержать центр — функции fs .Глава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова40Используя представление (1.19), легко получить наглядную записьдля функций fs :fs (·) = hPi (·) αi , ·i = Pi (·) αi (·) = P̃i (·) ,где P̃i = Pi αi . То есть алгебра {fs } — это ни что иное, как алгебрарациональных функций R(V ∗ ). Что и требовалось доказатьРассмотрим отображение ϕ 7→ fϕ . Это гомоморфизм алгебр Ли Φи KΦ .

Посмотрим на его ядро:fϕ = 0 ⇔ fϕ (M, v) = hM, ϕ(v)i = 0 ∀M ∈ h∗ , ∀v ∈ V ∗откуда, в частности ϕ(v) = 0 ∀v ∈ V ∗ . То есть ϕ 7→ fϕ — изоморфизмалгебр Ли.В нашем случае из компактности алгебры h следует редуктивностьалгебры St v, а значит будут редуктивными также алгебры Φ и KΦ .

Поэтому на втором шаге нам необходимо построить полный инволютивный набор полиномов на алгебре, являющейся прямой суммой редуктивной алгебры KΦ и основного поля R(V ∗ ), то есть на редуктивнойалгебре (прямая сумма редуктивной алгебры с основным полем также редуктивна).

Поскольку алгебра KΦ ⊕ R(V ∗ ) редуктивная, к ней,согласно методу Садэтова, надо применить метод сдвига аргумента. Аименно, пусть F1 , . . . , Fk — инварианты алгебры, тогда их сдвиги дают полный набор полиномов. Однако полный набор инвариантов будетсостоять из инвариантов полупростой части алгебры KΦ и одной линейной функции на (R(V ∗ ))∗ . Сдвигая же последнюю, будем получатьфункции, зависящие только от элементов V , а значит, функциональнозависимые с первой частью набора Садэтова. Следовательно, для получения полного набора на алгебре g достаточно найти полный наборГлава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова41полиномов на KΦ , который вместе с первой частью набора Садэтовабудет давать искомый набор полиномов.В связи с тем, что KΦ ∼= Φ, построим полный набор для алгебры Φ,а потом перенесем его на алгебру KΦ .1.6Полный набор полиномов на алгебре Φ.Как было сказано в предыдущем параграфе, задача построения полного инволютивного набора по методу Садэтова свелась к построениюполного набора полиномов на алгебре Φ и перенесения этого наборана алгебру KΦ .Для начала рассмотрим частный случай, когда Φ — полупроста, аF1 , .

. . , Fk выбираются особым образом. Из полупростоты алгебры Φследует, что Φ можно отождествить с Φ∗ с помощью формы Tr : Φ ×Φ → R(V ∗ ), действующей по правилу (см. также [4, стр.93]):¡¢hTr ϕ1 ϕ2 , vi = Tr χ ϕ1 (v)ϕ2 (v) .(1.22)¡¢ ¡¢Здесь справа берется след произведения операторов χ ϕ1 (v) , χ ϕ1 (v) ∈gl(V ∗ ). Тогда в качестве инвариантов алгебры Φ можно взять следыстепеней, т.е.

функции Fk : Φ → R(V ∗ ), такие что¡¢khFk (ϕ), vi = Tr χ ϕ(v) .(1.23)при этом сдвиг будет производиться на вектор ϕ0 такой, что для элемента v ∈ V ∗ общего положения его образ ϕ0 (v) ∈ h регулярен вSt v = ϕ0 (V ) ⊂ h.Глава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова42Функции Fk как функции на g∗ .1.6.1Фиксируем k и рассмотрим функцию F := Fk . Поскольку имеет место отождествление Φ с Φ∗ , функцию F можно считать полиномом отP Qэлементов ϕij ∈ Φ: F = i j ϕij , которая на любой элемент ϕ ∈ Φдействует по правилуF (ϕ) =XYj¡¢Tr ϕij ϕ .(1.24)iPНо для сечений ϕij имеем представление (1.19): ϕij = k Qijk Aijk ,P Q Pгде Aijk ∈ h, Qijk ∈ R(V ∗ ). Поэтому функцию F = i j k Qijk Aijkможно рассматривать как функцию на g∗ :XYXF (M, v) =Qijk (v)hAijk , M i ==XYiijk¡¢ XY ¡¢Tr ϕij (v) · M =Tr ϕij (v) · prSt v M .ji(1.25)jЗдесь после второго знака равенства M рассматривается как элемент h (что можно сделать в силу существования отождествления hи h∗ ), а проекция prSt v , как и раньше, — ортогональная проекция настационарную подалгебру St v.Фиксируем v.

Из функции F получим рациональную функцию (насамом деле даже полином) от элементов h:Fv (M ) = F (M, v) =XYiTr (ϕij (v)M ).jПоскольку ϕij (v) ∈ St v можно считать, что Fv — функция на стационарной подалгебре. Преобразуем формулу (1.25). Пусть A ∈ St v —произвольный элемент. Рассмотрим рациональное сечение ϕA , такоеГлава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова43что ϕA (v) = A. ТогдаFv (A) = Fv (ϕA (v)) ==hXYiXYi¡¢Tr ϕij (v)ϕA (v) =jTr χ (ϕij ϕA ), vi = hF (ϕA ), vi =j¡¢k= hTr ϕkA , vi = Tr ϕA (v) = Tr Ak .Иными словами,Fv (A) =XYi¡¢Tr ϕij (v)A = Tr Ak∀A ∈ St v(1.26)j— функция на стационарной подалгебре St v для каждого фиксированного v.Поэтому, возвращаясь к формуле (1.25), с учетом (1.26), получимF (M, v) =XYi1.6.2Tr (ϕij (v)prSt v M ) = Tr (prSt v M )k .jСдвиги функций Fk .Теперь рассмотрим функцию Fk,ϕ0 (ϕ) = Tr (ϕ + λϕ0 )k .

Это тоже полином, поэтому, проводя рассуждения, аналогичные приведенным выше,получаем, что Fk,ϕ0 может рассматриваться как функция на g∗ , приэтом если фиксировать v, то функция Fk,ϕ0 ,v на произвольном элемен¡¢kте A будет вычисляться по формуле Fk,ϕ0 ,v (A) = Tr A + λϕ0 (v) . А¡¢kследовательно, Fk,ϕ0 (M, v) = Tr prSt v M + λϕ0 (v) . В качестве сечения для сдвига можно взять сечение ϕ0 (v) = pr L для L ∈ h ∼= h∗St vобщего положения. Тогда функции Fk,ϕ0 примут вид Fk,ϕ0 (M, v) =¡¢kFk,L (M, v) = Tr (prSt v M + λL) , где M и L рассматриваются какэлементы алгебры h.Глава 1.