Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли, страница 4

Иногда в AnnF (L) легко выбрать полнуюкоммутативную подалгебру B и тогда подалгебра A + B при некоторых естественных условиях будет полной коммутативной подалгебройв F.В качестве подалгебры L возьмем коммутативный идеал V . Требуется найти все функции, коммутирующие с V .Лемма 1.1. Пусть f : g∗ → R — некоторая функция на g∗ . Тогдаследующие три условия эквивалентны:Глава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова231. f — инвариант представления Ad|∗V : V → GL(g∗ ), двойственногоограничению AdV : V → GL(g) коприсоединенного действия группыAd : G → GL(g).2.

f коммутирует с любой линейной функцией v ∈ V .3. prh df(M,v) ∈ St v для любых M ∈ h∗ и v ∈ V ∗ , где стационарнаяподалгебра St v задана формулой (0.5), а prh : g → h — естественнаяпроекция.Доказательство. Поскольку dγ = γ для любой линейной функцииγ ∈ V , справедлива следующая цепочка равенств:{f, γ}(x) = hx, [dfx , γ]i = hadγ dfx , xi = hdfx , ad∗γ xi.(1.2)Пусть выполнено условие 2, т.е. для любого γ ∈ V {f, γ} = 0, тогда{f, γ}(x) = 0 ∀x ∈ g∗ , а следовательно, hdfx , ad∗γ xi = 0. Последнееравенство, в свою очередь, и означает выполнение условия 1.Аналогично в обратную сторону: если f — инвариант представленияAd|∗V : V → GL(g∗ ), то hdfx , ad∗γ xi = 0, а следовательно {f, γ} = 0.Пусть теперь x = (M, v).

Тогда эквивалентность условий 2 и 3 следует из следующей цепочки равенств:{f, γ}(x) = hx, [dfx , γ]i = hv, [prh dfx , γ]i = hχ∗ (prh dfx )v, γiдля любых γ ∈ V и x ∈ g∗ . Поэтому {f, γ} = 0 тогда и только тогда,когда prh dfx ∈ St v ∀x = (M, v) ∈ g∗ .Определение 14. Функции, являющиеся инвариантами представления Ad|∗V : V → GL(g∗ ), называются V -инвариантными функциямина g∗ .Глава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова24Обозначим через F̃ множество функций, удовлетворяющих условию 3, т.е.F̃ = {f ∈ C ∞ (g∗ ) : prh dfx ∈ St v}.(1.3)Поскольку F̃ — множество функций, коммутирующих с V , именно из него будем выбирать недостающие функции.

Нам нужно найтицентр Z(F̃) алгебры F̃.Лемма 1.2. V -инвариантная функция f (x) ≡ f (M, v) лежит в центре V -инвариантных функций тогда и только тогда, когда при любом фиксированном v ограничение дифференциала dfx на h удовлетворяет условию,hM, [prh dfx , St v]i = 0,(1.4)Доказательство.

Функция f должна удовлетворять условию {f, g} =0 для любой функции g ∈ F̃. Перепишем это условие следующим образом:0 = {f, g}(x) = hx, [dfx , dgx ]i = hM, [prh dfx , prh dgx ]i + hv, [prh dfx ,prV dgx ]i + hv, [prh dgx , prV dgx ]i = hM, [prh dfx , prh dgx ]i.В конце мы воспользовались тем, что f и g — V -инвариантные функции. Поскольку g — любая V -инвариантная функция, а значит prh dgx —любой элемент St v, условиеhM, [prh dfx , prh dgx ]i = 0равносильно формуле (1.4).Все рассуждения, проведенные с начала параграфа, справедливыдля любой полупрямой суммы h +χ V .

Другими словами, мы до сихГлава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова25пор не пользовались тем, что h — компактная алгебра. Компактностьалгебры h позволяет нам вложить ее как подалгебру в алгебру so(m)для достаточно большого m, после чего h отождествляет с h∗ при помощи формы Tr : hA, Bi = Tr AB (здесь A, B ∈ so(m) представленыкососимметрическими матрицами m × m). Это позволяет нам построить функции из центра в наглядном виде. Результат следует из следующих лемм.Лемма 1.3.

Функция f (x) ≡ f (M, v) = h(prSt v M ), где h : h → R —произвольная функция, лежит в пространстве V -инвариантных функций на g∗ .Доказательство см в. [23].Следствие 1. Функция fn (M, v) = Tr [(prSt v M )n ] лежит в центреV -инвариантных функций.Доказательство. Из леммы 1.2 следует, что нам достаточно доказатьравенство (1.4) для функции f (M, v) := fn (M, v) = Tr [(prSt v M )n ].Найдем prh df(M,v) . Для этого необходимо понять, как действует df(M,v) ∈g на элементы (L, 0) ∈ h∗ ∼= h.f (M + εL, v) − f (M, v)=ε→0εTr [(prSt v (M + εL))n ] − Tr [(prSt v M )n ]= lim=ε→0ε·´¸¢n−1prSt v εL ³¡n−1= lim Tr· prSt v (M + εL)+ · · · + (prSt v M )=ε→0壤£¤= Tr n prSt v L · (prSt v M )n−1 = n Tr prSt v (prSt v M )n−1 L .hdf(M,v) , Li = limСледовательно, prh df (M, v) = prSt v [(prSt v M )n ].

Возьмем теперь произвольную матрицу B ∈ St v. Левая часть соотношения (1.4) приметГлава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова26¡¢вид hM, [prSt v (prSt v M )n−1 , B]i. Преобразуем ее, используя ортогональность проекции prSt v в смысле формы hA, Bi = Tr AB, а такжето, что h[X, Y ], Zi = hX, [Y, Z]i = −h[X, Z], Y i для любых X, Y, Z ∈ h.¡£¡¡¢n−1 ¢ ¤¢hM, [ prSt v (prSt v M )n−1 , B]i = hprSt v M, prSt v prSt v M,B i=¡¡¢n−1 ¢£¤ ¡¢n−1= −h[prSt v M, B], prSt v prSt v Mi = −h prSt v M, B , prSt v Mi=£¡¢n−1 ¤= h prSt v M, prSt v M, Bi = 0 ∀B ∈ St vВ последнем выражении можно считать, что [ , ] — обычный матричный коммутатор.

Более строго: форма h , i невырождена на so(m),чьей подалгеброй является h, поэтому hN, prSt v Ai = hN, Ai для любых N ∈ St v и A ∈ so(m). Но поскольку prSt v M — кососимметрическая матрица, в формуле для функций fn имеет смысл брать толькочетные n. Следовательно, A = (prSt v M )n−1 — кососимметрическая, апоэтому справедлив третий переход и значит [prSt v M, (prSt v M )n−1 ] =(prSt v M )n − (prSt v M )n = 0. Таким образом, равенство (1.4) для функции fn (M, v) выполняется, что и доказывает лемму.Для получения результата основной теоремы остается применитьметод сдвига аргумента.

Доказательство полноты полученного наборасм. в [23].1.2Анализ метода Браилова.Приведем доказательство теоремы 3, которое будет полезно нам вдальнейшем.Доказательство теоремы 3. Пусть g — инвариант коприсоединенно-Глава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова27го действия. Тогда g(Ad∗(X,v) x) = g(x) ∀(X, v) ∈ G или, что то жесамое, dgx (ad∗ξ x) = 0 ∀ξ ∈ g. Последнее соотношение можно переписать в виде:−had∗ξ x, dgx i = hx, adξ dgx i = hx, [dgx , ξ]i = 0 ∀ξ ∈ g.(1.5)Пусть теперь g1 , . . .

, gk — инварианты из условия теоремы. Покажем,что их сдвиги gm (x + λL) коммутируют. Фиксируем i 6= j и положим gi = f , gj = g.Пояснение: Введем функции f˜(x) = f (x + λL) и g̃(x) = g(x + µL). Тогдаf˜(x + εy) − f˜(x)f (x + εy + λL) − f (x + λL)f (t + εy) − f (t)= lim= lim,ε→0ε→0εεεгде t = x + λL. Поэтому df˜x = df(x+λL) . Аналогично dg̃x = dg(x+µL) . А нам необходимо доказать,что функции g̃(x) и f˜(x) коммутируют, т.е., что выражениеdf˜x (y) = limε→0{df˜x , dg̃x } = hx, [df˜x , dg̃x ]i = hx, [df(x+λL) , dg(x+µL) ]iравно нулю.Заметим, что найдутся такие числа a и b, что a(x + λL) + b(x + µL) ≡ X длявсех λ 6= µ. Тогдаhx, [df(x+λL) , dg(x+µL) ]i = ha(x + λL) + b(x + µL), [df(x+λL) , dg(x+µL) ]i == ah(x + λL), [df(x+λL) , dg(x+µL) ]i + bh(x + µL), [df(x+λL) , dg(x+µL) ]i = 0,так как функции f и g удовлетворяют равенству (1.5).Теперь пусть α ∈ V — любая линейная функция на V ∗ .

Покажем, что {g(x +λL), α} = 0. Действительно,{g(x + λL, α}(x) = hx, [dg(x+λL) , α]i = hx + λL, [dg(x+λL) , α]i − λhL, [dg(x+λL) , α]i.Последнее слагаемое равно нулю, так как [dg(x+λL) , α] ∈ V , а первое обращается внуль из (1.5). Таким образом коммутативность набора доказана.1.3Функции на двойственном пространстве к стационарной подалгебре.В этом параграфе будет описана конструкция, которой мы будем пользоваться при доказательстве теоремы A.Глава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова28Зафиксируем v ∈ V .

В алгебре h зафиксируется некоторая подалгебра St v. Заметим, что отображение prSt v : h → St v индуцирует отображение двойственных пространств π : (St v)∗ → h∗ по правилуhπ(M 0 ), Ai = hM 0 , prSt v Ai(1.6)для любых M 0 ∈ (St v)∗ , A ∈ h.Пусть h(M ) — функция на h∗ такая, что dhM ∈ St v. Введем новую функцию ĥ : (St v)∗ → R по правилу ĥ(M 0 ) = h(π(M 0 )) ∀M 0 ∈(St v)∗ .Лемма 1.4. Дифференциал функции ĥ для любой точки M 0 ∈ (St v)∗удовлетворяет соотношениюdĥM 0 = dhπ(M 0 ) .(1.7)Доказательство. Рассмотрим, как действует дифференциал dĥM 0 напроизвольный элемент L0 ∈ (St v)∗ .ĥ(M 0 + εL0 ) − ĥ(M 0 )h(π(M 0 + εL0 )) − h(π(M 0 ))= limε→0ε→0εε(1.8)dĥM 0 (L0 ) = limно поскольку π(M 0 + εL0 ) = π(M 0 ) + επ(L0 ) из (1.8) имеемh(π(M 0 ) + επ(L0 )) − h(π(M 0 ))= dhπ(M 0 ) (π(L0 )) = dhπ(M 0 ) (L0 ),ε→0εdĥM 0 (L0 ) = limпоследний переход следует из того, что dhπ(M 0 ) ∈ St v и поскольку, всилу определения вложения π,hπ(L0 ), Ai = hL0 , Ai ∀A ∈ St v, ∀L0 ∈ (St v)∗ .(1.9)Таким образом, для произвольного L0 ∈ (St v)∗ имеем соотношениеdĥM 0 (L0 ) = dhπ(M 0 ) (L0 ), что и доказывает лемму.Глава 1.