Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли, страница 3

Поэтому наборТена в определенном смысле построен «более явно», чем набор Браилова.Структура диссертации.Данная диссертация состоит из двух глав. Первая глава диссертации посвящена сравнению наборов, получаемых методами Тена, Браилова и Садэтова. Главный результат первой главы сформулирован втеоремах A,B и С.Теорема A. Рассмотрим полупрямую сумму g = h+χ V компактнойалгебры Ли h и линейного пространства V по произвольному представлению χ : h → gl(V ). Пусть вторые части наборов Тена и Браилова получены сдвигом на один и тот же вектор L.

Тогда наборыТена и Браилова эквивалентны.Введение16Подобно описанным двум методам, метод Садэтова также использует коммутативный идеал, который дополняется до полного наборафункциями следующего специального вида: рассматриваются рацио˜ v для любогональные отображения ψ : V ∗ → g, такие что ψ(v) ∈ St˜ v — стационарная подалгебра в смысле представленияv ∈ V ∗ , где St(ad|V )∗ : g → gl(V ∗ ), двойственного ограничению ad|V представленияad : g → gl(g) на идеал V ⊂ g. Эти отображения будут являться сечениями расслоений стационарных подалгебр в g.

По сечениям ψ строятся функции fψ (M, v) = h(M, v), ψ(v)i. Функции fψ и будут образовывать алгебру K, на которой необходимо построить полный инволютивный набор полиномов на втором шаге. Пусть мы умеем строитьполный инволютивный набор полиномов на алгебре K. Построенная«вторая часть» набора будет состоять из полиномов Hi от элементовалгебры K, но поскольку сечения ψ — рациональные, функции fψ также будут рациональными, а значит Hi можно считать рациональнымифункциями от элементов g. Оказывается (и мы явно это покажем внашем случае), что полиномы, стоящие в знаменателях функций Hi ,зависят только от V .

Домножив Hi на знаменатель и добавив первуючасть набора Садэтова, получим полный инволютивный набор полиномов на алгебре g.Полный инволютивный набор на втором шаге метода Садэтова в нашем случае строится методом сдвига аргумента, причем вектор сдвигаинвариантов F1 , . . . Fn алгебры K — это некоторое сечение ϕ из алгебры сечений Φ = {ϕ : V ∗ → h|ϕ(v) ∈ St v ∀v ∈ V ∗ }4 .4Связь между сечениями ϕ и сечениями ψ, описанными выше, будет объяснена в параграфе5 главы 1.Введение17Определение 12.

Первой частью набора Садэтова назовем линейные функции на V ∗ , т.е. базис коммутативного идеала V . Второй частью набора Садэтова назовем функции, полученные на втором шагеметода Садэтова.Теорема B. Рассмотрим полупрямую сумму g = h+χ V компактнойалгебры Ли h и линейного пространства V по произвольному представлению χ : h → gl(V ). Пусть вторая часть набора Тена полученасдвигом функций fk на вектор L, а вторая часть набора Садэтова —сдвигами инвариантов Fi (ϕ) = Tr ϕi на сечение ϕL = prSt v L ∈ Φ, гдепроекция prSt v определена в теореме 5.Тогда наборы Тена и Садэтова эквивалентны.Теорема C.

Рассмотрим полупрямую сумму g = h+χ V компактнойалгебры Ли h и линейного пространства V по произвольному представлению χ : h → gl(V ). Пусть вторая часть набора Браилова получена сдвигом инвариантов g1 , . . . , gm на вектор L ∈ h∗ . Пусть ψ̌L— такой элемент пространства Φ∗ , двойственного алгебре сеченийΦ, что для любого v ∈ V ψ̌L (v)5 — естественная проекция элементаL ∈ h∗ на (St v)∗ , а вторая часть набора Садэтова получена из сдвигов инвариантов Fi : Φ∗ → R(V ∗ ) на элемент ψ̌L ∈ Φ∗ (эти сдвигирассматриваются как функции на g∗ ).Тогда наборы Браилова и Садэтова эквивалентны.Заметим, что если в теореме C инварианты Fi брать в виде Fi (ϕ) =Tr ϕi , то из теорем A и B следует утверждение теоремы C. В параграфе6 первой главы теорема C доказана в общем случае (то есть для любогомаксимального набора инвариантов).5О сопоставлении ψ̌ 7→ ψ̌(v) будет рассказано в параграфе 6 главы 1.Введение18Вторая глава диссертации посвящена свойствам инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.

Здесь рассматриваютсяполупрямые суммы алгебр gnk = so(n) +ρk (Rn )k , hnk = su(n) +ζk (Cn )kи fnk = u(n) +ζk0 (Cn )k (где ρk , ζk , ζk0 — k-ые степени представленийминимальной размерности, т.е. в каждом случае первая часть суммыдействует независимо на каждой компоненте Rn или Cn ). Для рассматриваемых алгебр найдены явные формулы для проекции на стационарную подалгебру St v.Теорема D.

Рассмотрим набор полиномиальных функций на g∗nk : базис u1 , . . . , unk пространства V = (Rn )k , рассматриваемый как линейные функции на V ∗ , и функцииfl,B,λ (M, v) = Γl (v1 , . . . , vk ) · Tr(prStv (M + λB))l ,(0.6)l = 2, 4, . . . , 2 · [(n − k)/2], где проекция prSt v M задана явной формулой, Γ(v1 , . . . , vk ) — определитель матрицы Грама системы векторов v1 , . . . , vk , а B — регулярный элемент so(n), выступающий вкачестве параметра.Эти функции находятся в инволюции и образуют полный наборна двойственном пространстве к алгебре gnk = so(n) +ρk (Rn )k приk < n − 1. Если k > n − 1, то полный инволютивный набор на g∗nkобразуют функции u1 , . . .

, unk .Теорема E. Рассмотрим набор полиномиальных функций на h∗nk : базис u1 , . . . , u2nk пространства V = (Cn )k , рассматриваемый как линейные функции на V ∗ , и функцииfl,B,λ (M, v) = Γ2l (v1 , . . . , vk ) · Tr(prSt(v1 ,...,vk ) (M + λB))l ,(0.7)Введение19l = 2, 3 . . . n − k − 1, где проекция prSt v M задана явной формулой,Γ(v1 , . . . , vk ) — определитель матрицы Грама системы векторов v1 , . .

. , vk ,а B — регулярный элемент su(n), выступающий в качестве параметра.Эти функции находятся в инволюции и образуют полный наборна двойственном пространстве к алгебре hnk = su(n) +ζk (Cn )k приk < n − 1. При k > n − 1 полный коммутативный набор образуютфункции u1 , .

. . , u2nk .Теорема F. Рассмотрим набор полиномиальных функций на f∗nk : базис u1 , . . . , u2nk пространства V = (Cn )k , рассматриваемый как линейные функции на V ∗ , и функцииfl,B,λ (M, v) = Γ2l (v1 , . . . , vk ) · Tr(prSt(v1 ,...,vk ) (M + λB))l ,(0.8)l = 1, 2 . . . n − k − 1, где проекция prSt v M задана явной формулой,Γ(v1 , . . .

, vk ) — определитель матрицы Грама системы векторов v1 , . . . , vk ,а B — регулярный элемент u(n), выступающий в качестве параметра.Эти функции находятся в инволюции и образуют полный наборна двойственном пространстве к алгебре fnk = u(n) +ζk0 (Cn )k приk < n − 1. При k > n − 1 полный коммутативный набор образуютфункции u1 , . .

. , u2nk .Явные формулы для проекций мы приводить не будем в виду ихгромоздкости. Они приведены в соответствующих параграфах под номерами (2.10), (2.23) и (2.37) для алгебр gnk , hnk и fnk соответственно.Для алгебр gn1 также получена оценка на степени полиномов, входящих в построенный набор.Введение20Теорема G.

Степени полиномов, входящих в набор, описанный втеореме D для k=1, не превосходят 2n.Научная новизна работы.Результаты работы являются новыми. В диссертации получены следующие результаты.1. Произведено сравнение трех методов построения полных инволютивных наборов полиномов. Доказано, что при правильном выборепараметра сдвига, наборы, получаемые всеми тремя методами, эквивалентны. Указано соответствие между параметрами сдвига.2. С использованием методов, исследованных в главе 1, приведеныявные формулы полиномов для трех бесконечных серий алгебр Ли.3.

Для алгебр Ли малой размерности из исследованных бесконечных серий формулы для полиномов значительно упрощены.4. Найдена оценка сверху для степеней полиномов, получаемых вбесконечной серии e(n).Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы вработах [27], и [31] – [32].Глава 1Методы Тена, Браилова и Садэтовапостроения полных коммутативныхсемейств полиномов на алгебрах Ли.Сравнение полученных наборовполиномов.В этой главе мы рассмотрим, какие наборы полиномов можно получить, применяя методы Тена, Браилова и Садэтова.Напомним для начала идею метода сдвига аргумента, которыйпонадобится нам в этой главе. Этот метод заключается в следующем:пусть f (x) — инвариант алгебры Ли, т.е. функция, постоянная на орбитах коприсоединенного действия. Рассмотрим сдвиг f (x + λa) напроизвольный регулярный вектор a. Если инвариант полиномиальный, то f (x + λa) можно разложить по степеням λ.

Коэффициентыfi (x) этого разложения будут находиться в инволюции. Если алгебра редуктивная, то взяв такие коэффициенты для всех инвариантовалгебры, получим полный инволютивный набор полиномов.В этой главе мы будем рассматривать алгебры типа полупрямой21Глава 1. Сравнение методов Тена, Браилова и Садэтова22суммыg = h +χ V,(1.1)где h — полупростая вещественная компактная алгебра Ли, а представление χ : h → gl(V ) — произвольное.Определение 13. По набору функций {hj } определим подпространство Dx,a (hj ) ⊂ g, порожденное дифференциалами сдвигов функцийhj (x) из набора на вектор a, взятыми в точке x.Для доказательства теоремы A, напомним вкратце доказательстваинволютивности наборов Тена и Браилова.1.1Анализ метода ТенаДля построения полного коммутативного набора на алгебре g Тен использует метод цепочек подалгебр. Напомним его схему (см.

также [7,§35]). Пусть требуется построить коммутативную подалгебру алгебрыF. Рассмотрим подалгебру L ⊂ F . Предположим, что в L мы умеемстроить полную коммутативную подалгебру A. Рассмотрим функциииз F, коммутирующие с L. Подалгебру таких функций естественнообозначить через AnnF (L).