Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли, страница 10

. P1 ) = Tr (P1 P1 . . . ) = 0. Поэтому сомножителей P0 не меньше половины, но так как каждый из них содержит |v|2 ,то M делится на |v|2t и Tr M также делится на |v|2t .2). Сомножители типа P−1 присутствуют. Переставим сомножителициклически так, чтобы M начинался с P−1 . После каждого P−1 идетлибо P0 , либо P−1 . Каждая такая пара делится на |v|2 . Действительно,P−1 P1 = Xv |{z}v T v v T X = |v|2 Xvv T X;|v|2P−1 P0 = Xvv T X|v|2 .Выделим все такие пары с P−1 . Посмотрим, что осталось невыделенным.

Если невыделенными остались только P0 , то из монома можновынести заведомо большую степень |v|, чем 2t. Если среди невыделенных остались не только P0 , но и P1 (все экземпляры P−1 вошли ввыделенные пары), то в каждом промежутке перед каждым P1 идетP0 (поскольку P1 не может идти после любой выделенной пары и дваP1 не могут идти подряд). Отсюда заключаем, что и в этом случае вневыделенном множестве множителей P0 не меньше половины. Поэтому из M , а значит и из Tr M вынесется не менее, чем |v|2t .

Что итребовалось доказать.Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.67Теорема G. Степени полиномов, входящих в набор, описанный втеореме D для k=1, не превосходят 2n.Доказательство теоремы G. Из введенных обозначений следует, чтоP (M, v) = S(M ), a QB (v) = S(B). Кроме того, степень полинома T =m+kQTrS(Xi ), где среди Xi k раз встречается M и m раз переменнаяi=1Q равна 3k + 2m. Но тогда по лемме 2.5 полином T делится на |v|k+m(k + m — число четное, как было отмечено раньше). Итого степеньполинома T можно уменьшить до 2k + m.

Поскольку k + m < n, томаксимальное значение выражение 2k + m принимает при k = n −1, m = 0. При этом 2k + m = 2(n − 1) < 2n. Что и требовалосьдоказать.2.4Алгебры малых размерностейВ данном параграфе мы рассмотрим, какие наборы полиномов даеттеорема D на алгебрах so(2) + R2 , so(3) + R3 и so(4) + R4 , а также выясним в каждом случае, как можно понизить степени этих полиномов.2.4.1Алгебра g21 = so(2) +ρ R2 .Здесь набор должен содержать3+12= 2 полинома. Видим, что комму-тативный идеал имеет размерность 2.

То есть набор состоит из функций s1 , s2 ∈ R2 .2.4.2Алгебра g31 = e3 = so(3) +ρ R3 .Здесь необходимо (6 + 2)/2 = 4 полинома и линейных функций наидеале уже не хватает: нужен еще один полином. Поскольку четвер-Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.68тый полином должен быть функционально независим с первыми тремя, а значит, должен зависеть не только от v, но и от M , то на рольчетвертого полинома могут претендовать только f1 = Tr P 2 (M, v) и¡¢f2 (M, v) = Tr P (M, v) · QB (v) . Используя лемму 2.5, можно понизить степень каждого из этих полиномов на 2, разделив на |v|2 .Введем координаты на алгебре: p12 −p13s1  0 v = s2  M = −p12 0p23  s3p13 −p23 0и выпишем функцию f˜1 (M, v) =1|v|2 f1 (M, v),пользуясь соотношением1f˜1 (M, v) = 2 f1 (M, v) = |v|2 Tr M 2 −2(v, M 2 v) = |v|2 Tr M 2 +2(M v, M v)|v|Тогдаf˜1 (M, v) = −2((p212 + p213 + p223 )(s21 + s22 + s23 )−−((p12 s2 − p13 s3 )2 + (p12 s1 − p23 s3 )2 + (p13 s1 − p23 s2 )2 )) == 2(p212 s22 + p213 s23 + p212 s21 + p223 s23 + p213 s21 + p223 s22 +−2p12 p13 s2 s3 − 2p12 p23 s1 s3 − 2p13 p23 s1 s2 −−p212 s21 − p212 s22 − p212 s23 − p213 s21 − p213 s22 − p213 s23 − p223 s21 − p223 s22 − p223 s23 ) == −2(p212 s23 + p223 s21 + p213 s22 + 2p12 p13 s2 s3 + 2p12 p23 s1 s3 + 2p13 p23 s1 s2 ) == −2(p12 s3 + p23 s1 + p13 s2 )2 .Видим, что полином является (c точностью до константы) квадратоминтеграла площадей, который также будет находиться в инволюции стремя линейными функциями на идеале.Аналогичные выкладки дают следующую формулу для полиномаГлава 2.

Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.69f˜2 (M, v) =1|v|2 f2 (M, v):f˜2 (M, v) = −2(p12 s3 + p13 s2 + p23 s1 )(b23 s1 + b12 s3 + b13 s2 )Поскольку вторая скобка не зависит от M опять получаем, что четвертый полином дает тот же вклад в подпространство дифференциаловфункций, что и интеграл площадей.Теорема H. Функции s1 , s2 , s3 и fˆ(M, v) = (p12 s3 + p23 s1 + p13 s2 )образуют полный набор полиномов на алгебре Ли e(3).2.4.3Алгебра g41 = e4 = so(4) +ρ R4 .Количество полиномов, которое необходимо найти равно 4 +3+12=6, коммутативный идеал 4-мерный. Следовательно, необходимо еще2 полинома.

Поскольку l в нашем случае не превосходит 2, на рольнедостающих полиномов могут претендовать только функции Tr P 2 ,Tr P Q. Введем координаты на алгебре следующим образом, p12p13 p14 s 1  0 s 2 −p12 0p23 p24 v=  M =s 3 −p13 −p23 0 p34  s4−p14 −p24 −p34 0После сокращения на максимально возможную степень |v| функцииможно переписать в виде:f˜1 (M, v) = |v|2 Tr M 2 + 2(M v, M v)f˜2 (M, v) = |v|2 Tr M B + 2(Bv, M v)Глава 2.

Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.70Теорема I. Функции v1 , v2 , v3 , v4 , и f˜1 , f˜2 образуют полный наборполиномов на алгебре e(4).В статье А.С.Воронцова [28] было показано, что функция f˜1 является функцией Казимира на исследуемой алгебре.2.5Полный инволютивный набор полиномов дляалгебр hnk = su(n) +ζk (Cn)k .Рассмотрим полупрямую сумму алгебры su(n) и пространства Cnk попредставлению ζk = ζ × ζ · · · × ζ , где ζ : su(n) → gl(Cn ) — представ|{z}k разление минимальной размерности, т.е. su(n) действует независимо накаждой компоненте Cnhnk = su(n) +ζk (Cn )k ,(2.17)Если, подобно случаю so(n) +ρk (Rn )k , представлять себе Cnk как kэкземпляров пространства Cn и выбрать во всех этих экземплярах Cnодинаковый базис, то операторы ζk (A), A ∈ su(n) будут представленыблочно-диагональными матрицами с k одинаковыми блоками порядкаn×n, в которых стоит одна и та же косоэрмитова матрица со следом 0.Напомним, что поскольку свойство косоэрмитовости не сохраняетсяпри умножении на i, алгебра su(n) — вещественная.

Поэтому и пространство Cn в полупрямой сумме (2.17) следует понимать не как nмерное комплексное, а как 2n-мерное вещественное пространство.В каждом экземпляре введем эрмитово произведение (·, ·) (линейное по первому аргументу и косолинейное по второму), которое порождает форму h·; ·i = Re(·; ·), являющуюся скалярным произведениев R2n .Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.71Фиксируем одинаковые базисы во всех экземплярах Rn . Тогда каждому элементу алгебры hnk можно сопоставить набор (M, v1 , . . . , vk ),где M ∈ su(n) — косоэрмитова матрица n × n со нулевым следом, аv1 , .

. . , vn — векторы-столбцы, взятые по одному из каждого экземпляра Cn , при этом ζ(M )vi = M vi .Двойственное пространство к каждой из алгебр (2.17) отождествляется с самой алгеброй посредством невырожденной формы:h(M1 , v1 , . . . , vk ); (M2 , u1 , . . . , uk )i =(2.18)= Tr M1 M2 + hv1 , u1 i + · · · + hvk , uk i,что позволяет нам произвести отождествление представлений ζ и ζ ∗ ,подобно тому, как это было сделано в §2.1. Действительно, пусть ũi ∈(Cn )∗ — ковектор, двойственный вектору ui ∈ Cn , а матрица N ∈ su(n)и вектор vi ∈ Cn — произвольные.

Тогдаhζ ∗ (N )ũi , vi i = −hũi , ζ(N )vi i = −hũi , N vi i = −Re(ui , N vi ) == Re(N ui , vi ) = hN ũi , vi i.Это значит, что оператор ζ ∗ (N ) на Cn ∗ ∼= Cn представляется матрицей N .Лемма 2.6. а) При k > n стационарная подалгебра регулярного элемента в смысле представления ζk∗ тривиальна; б) при k < n этаподалгебра изоморфна su(n − k).Доказательство. Пусть ṽ = (ṽ1 , . . . , ṽn ) ∈ V ∗ — произвольный ковектор. Условие ζk∗ (N )ṽ = 0 эквивалентно системе уравненийζ ∗ (N )ṽ1 = ζ ∗ (N )ṽ2 = · · · = ζ ∗ (N )ṽk = 0,Глава 2.

Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.72а с учетом отождествления (2.5) получаем, что стационарная подалгебра задается системойN v1 = N v2 = · · · = N vk = 0.(2.19)Найдем стационарную подалгебру элемента произвольного v. Проводя рассуждения, аналогичные приведенным при доказательстве леммы 2.1, можно считать, без ограничения общности, что элемент v имеетвид v = (e1 , . . . , ek0 , 0, . . .

, 0). В силу первого уравнения системы (2.19)оказывается нулевым первый столбец матрицы N , но поскольку элементы, симметричные относительно главной диагонали косоэрмитовойматрицы получаются друг из друга путем комплексного сопряжения идомножения на (−1), то первая строка матрицы N также оказываетсянулевой.

Аналогично рассуждая, получим, что в силу второго уравнения оказываются нулевыми вторые строка и столбец. И так далее. Врезультате, любая матрица N , удовлетворяющая системе (2.19), дляописанного вектора v имеет вид0 . . .0 . . .0 . . .0 ...0 0 . . . 00 0 .

. . 00A 0(2.20)здесь первые k 0 строк и столбцов — нулевые, а A — произвольнаякосоэрмитова матрица со следом нуль. Множество матриц вида (2.20)образует подалгебру изоморфную su(n − k 0 ).Посмотрим теперь, сколько вещественных инвариантов орбиты мыможем указать. Рассмотрим произвольный вектор v ∈ Cnk . Матрицыиз SU(n) сохраняют эрмитово произведение, поэтому сохраняются иГлава 2.

Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.73вещественная, и мнимая части чисел (vi , vj ) i < j, что дает 2 ·k(k−1)2инвариантов. Если к этому числу прибавить еще k квадратов длинвекторов |vi |2 = (vi , vi ), являющихся по определению эрмитова произведения вещественными числами, то получим, что для каждой орбитыможно указать не менее k 2 инвариантов. Потому орбита регулярногоэлемента имеет размерность не более 2nk − k 2 , а значит размерностьстационарной подалгебры не менееdim su(n) − 2nk + k 2 = n2 − 1 − 2nk + k 2 = (n − k)2 − 1 = dim su(n − k)Откуда следует, что элемент v регулярный тогда и только тогда,когда k 0 = k, т.е.