Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли, страница 11

векторы v1 , . . . , vk — линейно независимы.Пользуясь формулой (2.2), мы можем также посчитать, что необходимое количество полиномов равно1(dim su(n − k) + ind su(n − k)) =2¢1¡= 2nk +(n − k)2 − 1 + (n − k − 1) .2m = 2nk +Обозначим через wT — ковектор, двойственный w, а I операторумножения на мнимую единицу. Чтобы не загромождать выкладки,условимся под записью IwT понимать образ вектора Iw после отождествления (2.5): IwT := (Iw)T .Пусть w1 , .

. . , wk0 — ортонормированный базис в подпространстве,натянутом на векторы v1 , . . . , vk (k 0 6 k):w1 = v1 , . . . , wm = vm −m−1Xi=1(vm , wi )wi|wi |2Тогда условие (2.19) эквивалентно системеm = 2, . . . , k 0(2.21)Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.74N w1 = N w2 = · · · = N wk = 0(2.22)Лемма 2.7. Ортогональная в смысле формы Киллинга проекция произвольной матрицы M на стационарную подалгебру вектора v имеетвидN = prSt v M = N1 + N2 + N3 + N4 ,(2.23)где0kX1 ¡N1 =M −M wi × wiT + M Iwi × IwiT −2|wi |i=1¢−Iwi × (M Iwi )T − wi × (M wi )T ;k0k0k0k01 X X hM wi , wj i ¡N2 =wj × wiT − wi × wjT + Iwj × IwiT −222 i=1 j=1 |wi | |wj |¢(2.24)− Iwi × IwjT ;1 X X hM Iwi , wj i ¡N3 =wj × IwiT + wi × IwjT −222 i=1 j=1 |wi | |wj |¢− Iwj × wiT − Iwi × wjT ;Ã!k0k0XX(wi , M wi )wi × wiTN4 = −E−,2 (n − k 0 )2|w||w|iii=1i=1а векторы w1 , .

. . , wk0 заданы формулой (2.21).Доказательство. Дополним набор w1 , . . . , wk0 0 до ортогонального базиса: w1 , . . . , wn в Cn (т.е. (wi , wj ) 6= 0 ⇔ i = j).Для доказательства леммы нам необходимо проверить выполнениеследующих условий:1. Матрица N удовлетворяет системе (2.22).Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.752. Матрица N косоэрмитова. Это условие эквивалентно следующему:(N v, u) + (v, N u) = 0 ∀ v, u ∈ Cn .(2.25)3.

Tr N = 0.4. Ортогональность проекции в смысле формы Киллинга.При проверке этих свойств будем пользоваться соотношениями:(w, w) = |w|2 ,при i 6= jhw, Iwi = 0(2.26)hwi , wj i = hIwi , wj i = 0(M wj , wl ) + (wj , M wl ) = 0 ⇒ hM wj , wl i + hwj , M wl i = 0(M w, w)∈ R ⇒ hM w, wi = 0i(2.27)(2.28)(2.29)hM Iw, wi i i + hM w, wi i == −iIm(M w, wi ) + Re(M w, wi ) = (M w, wi )(2.30)hM Iwm , wj i = Re(i(M wm , wj )) == −Re(i(wm , M wj )) = Re(wm , M Iwj ) = hwm , M Iwj i(2.31)1).

Для проверки условия 1 выпишем Ni wm = 0 при m 6 k 0 длявсех матриц Ni из (2.24).N1 wm = M wm −k0Xi=11 , w i +M Iwi hIwi , wm i −M wi hw| i{z m}| {z }|wi |20δim |wm |2!−Iwi hM Iwi , wm i − wi hM wi , wm i=k´X1 ³=Iwi hM Iwi , wm i + wi hM wi , wm i2|w|ii=10Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.76k0k01 X X hM wi , wj i(wj hwi , wm i − wi hwj , wm i+N 2 wm =2 i=1 j=1 |wi |2 |wj |2k0³X1hM wm , wj i+Iwj hIwi , wm i − Iwi hIwj , wm i =wj −| {z }| {z }2 j=1|wj |20−0k0Xi=1hM wi , wm i ´ X hM wm , wi iwi =wi ;2|wi |2|w|ii=1k01 X X hM Iwi , wj i ³N 3 wm =wj hIwi , wm i +| {z }2 i=1 j=1 |wi |2 |wj |20´+wi hIwj , wm i −Iwj hwi , wm i − Iwi hwj , wm i =| {z }k0k00k0k01 X hM Iwm , wj i1 X hM Iwi , wm i=−Iw−wi =j2 j=1|wj |22 i=1|wi |20kX¡¢hM Iwj , wm i= из соотношения (2.31) = −Iwj ;2|w|jj=10kX(wi , M wi )N 4 wm = −(wm − wm ) = 0;2 (n − k 0 )|w|ii=1Поэтомуk0´X1 ³N wm =Iwi hM Iwi , wm i + wi hM wi , wm i +2|w|ii=100kkXXhM wm , wi ihM Iwj , wm i+wi −Iwj = 0.22|w||w|iji=1j=1Условие 1 проверено.Перед тем, как перейти к проверке условий 2 и 3, выпишем N wmдля m > k 0 :Глава 2.

Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.77N1 wm = M wm −k0Xi=11 M wi hwi , wm i +M Iwi hIwi , wm i −| {z }| {z }|wi |200!−Iwi hM Iwi , wm i − wi hM wi , wm i=k´X1 ³= M wm +Iwi hM Iwi , wm i + wi hM wi , wm i2|w|ii=10Далее, поскольку 0 6 i 6 k 0 , а m > k 0 , из (2.27) следует0kX(wi , M wi )N2 wm = N3 wm = 0 N4 wm = −w .2 (n − k 0 ) m|w|ii=1В итоге получаемk´X1 ³N wm = M w m +Iwi hM Iwi , wm i + wi hM wi , wm i −2|w|ii=100kX(wi , M wi )−w .2 (n − k 0 ) m|w|ii=1(2.32)2). Пользуясь формулой (2.32), докажем выполнение условия 3.nP(N wi , wi )След матрицы N может быть вычислен по формулеПри|wi |2i=1m 6 k 0 произведение (N wm , wm ) обращается в ноль.

Вычислим этопроизведение при m > k 0 .kX¢1 ³¡Iw,w(N wm , wm ) = (M wm , wm ) +im hM Iwi , wm i+2 |{z}|w|ii=100k´ X¡¢¢(wi , M wi ) ¡+ wi , wm hM wi , wm i −w,w= (M wm , wm )−mm2 (n − k 0 )| {z }|w|ii=100¢k0 ¡Xw,Mw(wm , wm )ii−.02(n − k ) i=1|wi |Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.78ПоэтомуnnnXXX(N wm , wm )(N wm , wm )(M wm , wm )==−222|w||w||w|mmmm=1m=k 0 +1m=k 0 +1¡¡¢¢¢nk0nk0 ¡XXXXw,MwMw,ww,Mw1iimmii−=−=0222(n−k)|w||w||w|imi0i=1i=1m=k 0 +1|m=k +1 {z}1¢n ¡XM wm , w m== 0.2|w|mm=1Условие 3 проверено.3).

Перейдем к условию 2. Очевидно, что это условие достаточнопроверить для базисных векторов: v = wm , u = wl . Заметим, вопервых, что если m, l 6 k 0 , то обе скобки равны нулю. Во-вторых,если l 6 k 0 , а m > k 0 , то второе произведение все также равно нулю, апервое имеет следующий вид:kX1 ³(N wm , wl ) = (M wm , wl ) +(Iwi , wl )hM Iwi , wm i+2|w|ii=10´0kX(wi , M wi )(wi , wl )hM wi , wm i −(w , wl ) = (M wm , wl )+2 (n − k 0 ) | m{z }|w|ii=10¡¢+ihM Iwl , wm i + hM wl , wm i = из (2.30) == (M wm , wl ) + (M wl , wm ) = (M wm , wl ) + (wm , M wl ) = 0.Наконец, при l, m > k 0 с учетом антилинейности эрмитова произведения левая часть условия (2.25) принимает вид:kX1 ³(Iwi , wl )hM Iwi , wm i+(N wm , wl ) + (wm , N wl ) = (M wm , wl ) +2 | {z| {z }}|w|ii=10I0Глава 2.

Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.79´0kX(wi , M wi )(wm , wl ) + (wm , M wl ) ++ (wi , wl )hM wi , wm i −2 (n − k 0 )| {z }| {z }|w|ii=10I|{z}IIk´X1 ³(w , Iw )hM Iwi , wl i + (wm , wi )hM wi , wl i ++2 | m{z i}| {z }|w|ii=10000kX(wi , M wi )+(wm , wl ) .2 (n − k 0 )|w|i|i=1{z}IIСравнивая слагаемые, помеченные символом I, получаем, что их совместный вклад в сумму равен нулю.

Аналогично со слагаемыми, помеченными символом II. Поэтому (N wm , wl ) + (wm , N wl ) = 0. Условие2) проверено.4). В заключение, докажем ортогональность проекции в смыслеформы Киллинга. Имеет место следующее соотношение¢¢n ¡n ¡XXN (M − N )wm , wm(N − M )wm , N wmTr N (M − N ) ===22|w||w|mmm=1m=1¡¢nX (N − M )wm , N wm=,(2.33)|wm |20m=k +100kkXX(M wi , wm )(wi , M wi )N wm = |из (2.30)| = M wm +w−w ,i22 (n − k 0 ) m|w||w|iii=1i=100kkXX(M wi , wm )(wi , M wi )(N − M )wm =w−w .i22 (n − k 0 ) m|w||w|iii=1i=1Преобразуем одно слагаемое суммы (2.33):¡¢(N − M )wm , N wm =Ã k0!k0X (M wi , wm )X(wi , M wi )=wi −w , M wm +22 (n − k 0 ) m|||w|wiii=1i=1Глава 2.

Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.80Ã00kkXX(wi , M wi )(M wi , wm )w−w ,+i22 (n − k 0 ) m|w||w|iii=1i=1!00kkXX(M wi , wm )(wi , M wi )w−w=i22 (n − k 0 ) m|w||w|iii=1i=1= (с учетом ортогональности векторов wi и wm ) =00kkX¢ X¢(wi , M wi ) ¡(M wi , wm ) ¡=w,Mw−w,Mwimmm +22 (n − k 0 )|w||w|iii=1i=1¯ k0¯2¯ k0¯¯X (M w , w ) ¯ ¡¯X (w , M w ) ¯2 ¡¢¢¯¯im ¯ii ¯+¯+w,ww,w¯¯¯mm =ii22 (n − k 0 ) ¯¯¯¯|w||w|iii=1i=1¡¢0kk0XX(M wi , wm ) wi , M wm(M wi , wm )(M wi , wm )=++22|w||w|ii|i=1{z i=1}0Ã!k0k02XX¡¢(wi , M wi )(M wi , wi ) |wm |+Mw,w+.mm2 (n − k 0 )20)|w||w|(n−kiii=1i=1Отсюда вся сумма (2.33) оказывается равнойà n ¡¡¢¢nk0XXX M wm , wm(N − M )wm , N wm(wi , M wi )=+22 (n − k 0 )2|w||w||w|mimi=1m=k 0 +1m=k 0 +1!nk02XX(M wi , wi )|wm |+=22 (n − k 0 )|w||w|im0i=1|m=k +1 {z}¡1¢knXXMw,w(wi , M wi )mm== 0.202|w|(n−k)|w|imm=1i=10Таким образом, лемма доказана, а проекция оказалась рациональной.Теорема E.

Рассмотрим набор полиномиальных функций на h∗nk : ба-Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.81зис u1 , . . . , u2nk пространства V = (Cn )k , рассматриваемый как линейные функции на V ∗ , и функцииfl,B,λ (M, v) = Γ2l (v1 , . . . , vk ) · Tr(prSt(v1 ,...,vk ) (M + λB))l ,(2.34)l = 2, 3 . . . n − k − 1, где проекция prSt v M задана формулой (2.23),Γ(v1 , .

. . , vk ) — определитель матрицы Грама системы векторов v1 , . . . , vk ,а B — регулярный элемент su(n), выступающий в качестве параметра.Эти функции находятся в инволюции и образуют полный наборна двойственном пространстве к алгебре hnk = su(n) +ζk (Cn )k приk < n − 1. При k > n − 1 полный коммутативный набор образуютфункции u1 , . . . , u2nk .Доказательство. Ввиду рациональности проекции (2.23) доказательство теоремы E аналогично доказательству теоремы D.2.6Алгебры семейства hn1В этом параграфе будут рассмотрены алгебры hn1 для малых n. Будетпоказано, как в этом случае можно упростить формулу (2.34). Длярассматриваемых алгебр необходимо m =(n2 +2n−1+n−1)2=(n2 +3n−2)2полиномов.

Откуда сразу получаем следующие результаты.2.6.1Алгебра h21 .Для алгебры h21 = su(2) + C2 ∼= so(3) + R4 , оказывается, что необходимо 4 полинома. Поскольку размерность коммутативного идеала какраз и равна четырем, линейных полиномов хватает.Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.822.6.2Алгебра h31 .При n > 3 линейных полиномов не хватает, поэтому исследуем, какойвид принимает формула (2.23) в этом случае. Во-первых, видим сразу,чтоN = N1 + N2 + N3 + N4 ,¢1 ¡TTTTN1 = M −Mw×w+MIw×Iw−Iw×(MIw)−w×(Mw);|w|2¢1 hM w, wi ¡TTTTN2 =w×w−w×w+Iw×Iw−Iw×Iw= 0;2 |w|2 |w|2¢1 hM Iw, wi ¡TTTTN3 =w×Iw+w×Iw−Iw×w−Iw×w=2|w|4¢hM Iw, wi ¡TT=w×Iw−Iw×w;|w|4µ¶(w, M w)w × wTN4 = − 2E−;|w| (n − 1)|w|2Фиксируем теперь тот ортонормированный «канонический» базис,в котором оператор I — это оператор умножения вектора w ∈ Cn (рассматриваемого как вектор с n комплексными координатами) на мнимую единицу.

Посмотрим, какой вид примет формула для проекции вэтом базисе. Для этого сначала приведем ряд очевидных соотношений,которыми будем пользоваться.M Iw = i · M w;u × v + Iu × Iv T = uh· ; vi + iuh· ; ivi = uRe(· ; v) + iuRe(· ; iv) == uRe(· ; v) + iuRe {−i(· ; v)} = uRe(· ; v) + iuIm(· ; v) == u {Re(· ; v) + iIm(· ; v)} = u(· ; v);−ihM Iw; wi = −iRe(iM w; w) = iIm(M w; w) == |в силу (2.29)| = (M w; w);Глава 2.

Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.83w × IwT − Iw × wT = w × IwT + Iw × IIwT == w × IwT + Iw × I(Iw)T = −iw(· ; w) ⇒¶µ1N1 = M −M w(· ; w) − w(· ; M w) ;|w|2(M w, w)w(· ; w)N3 =|w|4Пояснение: в приведенных выше соотношениях вначале записановыражение в инвариантных терминах, а в конце — его вид в фиксированном базисе. Так первая формула означает, что результат композиции действий операторов M и I на вектор w есть ни что иное, каквектор M w ∈ Cn , умноженный на мнимую единицу.Заметим, однако, что в выбранном базисе произведение (u; v) можно переписать как результат умножения вектора-столбца u на векторстроку v̄ T (Здесь и далее T будет означать транспонирование комплексных вектора или матрицы):(u; v) = uv̄ T .Следовательно, в матричном виде (2.23) переписываются следующимобразом:1prSt w M = M −|w|2µ¶TTM ww̄ − w(M w) +µ¶(w, M w)ww̄T− 2E−.|w| (n − 1)|w|2(M w, w)ww̄T −4|w|Значит, формулы для нелинейных полиномов получаются из функций³´l4fl,B,λ (M, w) = |w| Tr |w| prSt w (M + λB) , l = 1, 2 .