Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли, страница 12

. . n − 24как коэффициенты разложения функций fl,B,λ по степеням переменной λ.Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.842.7Полный инволютивный набор полиномов дляалгебр fnk = u(n) +ζk0 (Cn)k .В заключение рассмотрим полупрямую сумму алгебры u(n) и пространства Cnk по представлению ζk0 = ζ 0 × ζ 0 · · · × ζ 0 , где ζ 0 : u(n) →|{z}k разngl(C ) – представление минимальной размерности, т.е. u(n) действуетнезависимо на каждой компоненте Cn .fnk = u(n) +ζk0 (Cn )k ,(2.35)Замечание 3.

Алгебра u(n) не является компактной в смысле определения 7, а в теореме Тена, котором мы пользовались при построении полного инволютивного набора полиномов для алгебр gnk и fnk ,компактность требовалась. Однако, если проследить за доказательством теоремы Тена, то это условие было необходимо лишь для того, чтобы сказать, что стационарная подалгебра редуктивна, а внашем случае это так (мы докажем это ниже). Поэтому полныйинволютивный набор будем строить методом Тена.В этом параграфе все замечания, сделанные для алгебр (2.17), также, как и введенное обозначение оператора I, остаются в силе.

Вдополнительной оговорке нуждается лишь невырожденность формы(2.18). Покажем, что форма (2.18) также невырождена для алгебр(2.35), то есть что из условияh(M1 , v1 , . . . , vk ); (M2 , u1 , . . . , uk )i = 0 ∀(M2 , u1 , . . . , uk ) ∈ fnk(2.36)следует, что M1 = 0 и v1 = vk = 0. Действительно, второе условие получается если подставлять в (2.36) (M2 ; u1 , . .

. , uk ) = (0; 0, . . . , ui , . . . , 0),Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.85где ui = 1, i. Подставим теперь u1 = 0, . . . , uk = 0, M = iE ∈ u(n).Тогда получим Tr M1 = 0, откуда следует, что M1 ∈ su(n). После чегоусловие Tr M1 M2 = 0 для любой матрицы M2 ∈ su(n) сразу влечет засобой M1 = 0.Лемма 2.8. а) При k > n стационарная подалгебра регулярного элемента в смысле представления ζ 0 ∗k тривиальна; б) при k < n этаподалгебра изоморфна u(n − k).Доказательство.

Используя k 2 инвариантов, указанных при доказательстве леммы 2.6, и проводя аналогичные рассуждения, получимтребуемое.Поскольку fnk = hnk ⊕ R (сумма прямая), необходимое количествополиномов для исследуемых алгебр равно¢1¡(n − k)2 + (n − k) .2При k > n линейных полиномов хватает для образования полноm = 2nk +го коммутативного набора.

В случае k < n стационарная подалгебрарегулярного элемента является редуктивной алгеброй. В обозначениях (2.24) получаем, что искомая проекция на стационарную алгебрувектора v = (v1 , . . . , vk ) может быть записана в форме:K = N1 + N2 + N3 .(2.37)(Слагаемое N4 , корректировавшее след матрицы, в этом случае намне понадобится).Лемма 2.9. Формула (2.37) удовлетворяет всем свойствам ортогональной в смысле формы Киллинга проекции на подалгебру St v.Глава 2.

Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.86Доказательство. Дополним набор w1 , . . . , wk0 до ортогонального базиса: w1 , . . . , wn в Cn . Нам необходимо проверить выполнение следующих свойств:1. Kwm = 0 ∀m = 1, . . . , k 02. K ∈ u(n) ⇔ K = −K̄ T ⇔ (Kv, u) + (v, Ku) = 0.3. K – ортогональная проекция: Tr K(M − K) = 0, что равносильноnP1равенству|wi |2 (K(M − K)wi , wi ) = 0.i=1При проверке этих свойств будем пользоваться соотношениями (2.26– 2.31).1. N wm = 0 при m 6 k 0kX1 ³N 1 wm = M w m −M wi hwi , wm i +M Iwi hIwi , wm i −2| {z }| {z }|w|ii=10δim |wm |2!0−Iwi hM Iwi , wm i − wi hM wi , wm i=k´X1 ³=Iwi hM Iwi , wm i + wi hM wi , wm i ;2|w|ii=10k0k01 X X hM wi , wj iN 2 wm =(wj hwi , wm i − wi hwj , wm i+2 i=1 j=1 |wi |2 |wj |2+ Iwj hIwi , wm i −Iwi hIwj , wm i =| {z }| {z }00X hM wi , wm i ´ X hM wm , wi i1 ³X hM wm , wj iwj −wi =wi ;=222 j=1|wj |2|w||w|iii=1i=1k0k0k0Глава 2.

Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.87Поэтому1 X X hM Iwi , wj i ³N3 wm =wj hIwi , wm i +wi hIwj , wm i −| {z }| {z }2 i=1 j=1 |wi |2 |wj |200´−Iwj hwi , wm i − Iwi hwj , wm i =k0k0k0k01 X hM Iwm , wj i1 X hM Iwi , wm i=−Iw−wi =j2 j=1|wj |22 i=1|wi |20kX¡¢hM Iwj , wm i= из соотношения (2.31) = −Iwj ;2|w|jj=1k0´X1 ³N wm =Iwi hM Iwi , wm i + wi hM wi , wm i +2|w|ii=100kkXXhM wm , wi ihM Iwj , wm iw−Iwj = 0.+i22|w||w|iji=1j=12.

Выпишем теперь N wm для m > k 0 :0kX 1M wi hwi , wm i +N 1 wm = M w m −2| {z }|wi |i=10!+M Iwi hIwi , wm i −Iwi hM Iwi , wm i − wi hM wi , wm i| {z }= M wm +0k0Xi=1=´1 ³Iwi hM Iwi , wm i + wi hM wi , wm i .|wi |2Далее, поскольку 0 6 i 6 k 0 , а m > k 0 , из (2.27) следуетN2 wm = N3 wm = 0В итоге получаемk´X1 ³IwhMIw,wi+whMw,wiN w m = M wm +iimiim .2|w|ii=10(2.38)Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.883. Перейдем к условию 2.

Очевидно, что это условие достаточно проверить для базисных векторов: v = wm , u = wl . Заметим, во-первых,что если m, l 6 k 0 , то обе скобки равны нулю. Во-вторых, если l 6 k 0 , аm > k 0 , то первое произведение все также равно нулю, а первое имеетследующий вид:kX1 ³(Iwi , wl )hM Iwi , wm i+(N wm , wl ) = (M wm , wl ) +2|w|ii=1´+(wi , wl )hM wi , wm i = (M wm , wl )+¡¢+ihM Iwl , wm i + hM wl , wm i = из (2.30) =0= (M wm , wl ) + (M wl , wm ) = (M wm , wl ) + (wm , M wl ) = 0.Наконец, при l, m > k 0 с учетом антилинейности эрмитова произведения левая часть соотношения (2) преобразуется к форме:(N wm , wl ) + (wm , N wl ) = (M wm , wl ) +| {z }Ik´X1 ³+(Iwi , wl )hM Iwi , wm i + (wi , wl )hM wi , wm i + (wm , M wl ) +2 | {z}| {z }| {z }|w|ii=1000Ik´X1 ³+(w , Iw )hM Iwi , wl i + (wm , wi )hM wi , wl i = 0.2 | m{z i}| {z }|w|ii=1000Соотношение 2 доказано.4.

В заключение, докажем ортогональность проекции в смысле формы Киллинга. Имеет место следующее соотношение¢n ¡XN (M − N )wm , wmTr N (M − N ) ==2|w|m¡¢m=1 n ¡¢nX (N − M )wm , N wmX (N − M )wm , N wm==,22|w||w|mm0m=1m=k +1(2.39)Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.890kX(M wi , wm )wi ,N wm = из (2.30) = M wm +2|w|ii=10kX(M wi , wm )(N − M )wm =wi .2|w|ii=1Используя эти равенства, преобразуем одно слагаемое суммы (2.39):à k0!X (M wi , wm )¢¡(N − M )wm , N wm ) =wi , M wm +2|w|ii=1!à k0k0XX (M wi , wm )(M wi , wm )w,wi =+i22|w||w|iii=1i=1¯ 0¯2k0k¯XX¡¢¢(M wi , wm )(M wi , wm ) ¯¯ ¡¯=w,Mw+w,w¯¯imii =22¯¯|w||w|iii=1i=1¡¢00kkXX(M wi , wm ) wi , M wm(M wi , wm )(M wi , wm )+= 0.=22|w||w|iii=1i=1Откуда получаем, что каждое слагаемое суммы (2.39) равно нулю, азначит и вся сумма тоже.Теорема F. Рассмотрим набор полиномиальных функций на f∗nk : базис u1 , .

. . , u2nk пространства V = (Cn )k , рассматриваемый как линейные функции на V ∗ , и функцииfl,B,λ (M, v) = Γ2l (v1 , . . . , vk ) · Tr(prSt(v1 ,...,vk ) (M + λB))l ,(2.40)l = 1, 2 . . . n − k − 1, где проекция prSt v M задана явной формулой,Γ(v1 , . . . , vk ) – определитель матрицы Грама системы векторов v1 , . .

. , vk ,а B – регулярный элемент u(n), выступающий в качестве параметра.Эти функции находятся в инволюции и образуют полный наборна двойственном пространстве к алгебре fnk = u(n) +ζk0 (Cn )k приГлава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.90k < n − 1.

При k > n − 1 полный коммутативный набор образуютфункции u1 , . . . , u2nk .Доказательство. Ввиду рациональности проекции (2.23) доказательство теоремы F аналогично доказательству теоремы D.2.8Операторный вид проекций (2.23) и (2.37).В заключение отметим, что формулы (2.23) и (2.37) допускают операторный вид, подобный описанному в параграфе 2.2 для алгебрыso(n) +ρk Rnk .Лемма 2.10. Пусть P — оператор проектирования вдоль подпространства hv1 , . . . , vk i, т.е.P u = 0 ∀u ∈ hv1 , .

. . , vk i;P w = w ∀w ∈ hv1 , . . . , vk i⊥(ортогональное дополнение к подпространству берется в смысле эрмитова произведения). Тогда• Проекция prSt v : su(n) → St v ⊂ su(n) имеет видprSt v M = P M P −Tr P M PP,Tr P• Проекция prSt v : u(n) → St v ⊂ u(n) имеет видprSt v M = P M P.Доказательство. Для доказательства леммы нам необходимо проверить косоэрмитовость матриц M1 = P M P и M2 = P M P −Tr P M PTr P P ,выполнение системы Mi v1 = .

. . Mi vk = 0 i = 1, 2 и справедливостьГлава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.91соотношений Tr Mi (M − Mi ) = 0 (ортогональность проекций в смыслеформы Киллинга). А также равенство нулю следа матрицы M2 .Для начала покажем, что обе матрицы косоэрмитовы. Действительно, из равенства (P u, w) = (u, P w), верного в силу определения оператора P , следует, что P — эрмитов оператор, т.е.

в любом ортонорTмированном базисе его матрица удовлетворяет соотношению P = P .Поэтому матрица P M P будет в любом ортонормированном базисе косоэрмитовой, поскольку P M PT= −P M P . Следовательно, Tr P M P— чисто мнимое число, а Tr P — вещественное. Откуда и следует косоэрмитовость матрицы P M P −Tr P M PTr P P .Условие M1 v = M2 v = 0 ∀v ∈ hv1 , . .

. , vk i следует из того, что длявсех таких векторов P v = 0.Перейдем к проверке ортогональности проекции. Во-первых, из свойствоператора проектирования и операции след следует, что Tr P M P (M −P M P ) = 0 (доказательство повторяет доказательство для алгебр gnk ).Теперь рассмотрим матрицу M2 :·µ¶µ¶¸¡¢ Tr P M PTr P M PTrPMP −PM − P MP +P=Tr PTr P£¡¢¤ Tr P M PTr P (M − P M P ) += Tr P M P M − P M P −|{z}{z}|Tr P00µ¶2Tr P M PTrPMP+Tr P M P 2 −Tr P 2 =Tr PTr Pµ¶2Tr P M PTr P M PTr P M P −=Tr P = 0Tr PTr PНаконец, след матрицы M2 равен нулю, что следует из прямой выкладки: Tr M2 = Tr P M P −Tr P M PTr P Tr P= 0.Глава 2. Свойства инволютивных семейств полиномов на некоторых алгебрах Ли.92Как и в параграфе 2.2 здесь можно написать явную формулу дляоператора проектирования P . Пространство Cn , рассматриваемое какn-мерное комплексное пространство, отождествляется с (Cn )∗ при помощи эрмитова произведения (·, ·).

Элемент двойственный векторуw ∈ Cn будем обозначать через w> . Тогда формула для оператораk0Pwi ⊗wi>проектирования примет вид: P = E −|wi |2 .i=1Поскольку векторы w1 , . . . , w зависят от vi рационально, то и самаk0формула проекции будет рационально зависеть от vi .БлагодарностиЯ благодарю своих научных руководителей, академика РАН Анатолия Тимофеевича Фоменко и доктора физико-математических наук,профессора Алексея Викторовича Болсинова, за постановку задачи,плодотворные обсуждения и постоянное внимание.Литература[1] Болсинов А. В., Фоменко А.