Диссертация (Контрастные структуры для обобщённого уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова), страница 3

Обоснование существования обобщенного решения для псевдопараболиче­ского квазилинейного уравнения ОКПП для класса Липшиц-непрерывнойфункции плотности источников. Разработка алгоритма построения фор­мальной асимптотики и ее обоснования для указанной задачи.1.1.7. ПубликацииСтатьи в рецензируемых изданиях:1. Быков, А. А. Динамика внутренних переходных слоев в начально-краевойзадаче для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова15/ А. А.

Быков, Н. Н. Нефедов, А. С. Шарло // Ученые записки физиче­ского факультета МГУ. – 2012. – Т. 1. – № 2. – C. 1-9.2. Быков, А. А. Нестационарные контрастные структуры для обобщен­ного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова / А. А. Быков,А. С. Шарло // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика,астрономия.

– 2012. – № 2. – С. 3-8.3. Быков, А. А. Нестационарные контрастные структуры в окрестности осо­бой точки / А. А. Быков, А. С. Шарло // Математическое моделирование.– 2014. – Т. 26. – № 8. – C. 107-125.4. Быков, А. А. Контрастные структуры для квазилинейного уравнения Со­болевского типа с несбалансированной нелинейностью / А.

А. Быков,Н. Н. Нефедов, А. С. Шарло // Журнал вычислительной математикии математической физики. – 2014. – Т. 54. – № 8. – С. 1270-1280.5. Bykov, A. A. Contrast structures for a quasilinear Sobolev-type equationwith unbalanced nonlinearity / A. A. Bykov, N.

N. Nefedov, A. S. Sharlo// Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 2014. – Vol. 54.– No. 8. – P. 1234-1243.Публикации в сборниках тезисов:1. Шарло А. С. О скорости дрейфа внутренних переходных слоев в некото­рых задачах теории полупроводников / А. С. Шарло // Международнаяконференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаменталь­ным наукам "Ломоносов-2010".

Секция "Физика": cборник тезисов. – М.:Физич. ф-т МГУ. – 2010. – Т. 1. – С. 163-164.2. Быков, А. А. Нестационарные контрастные структуры для обобщен­ного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова / А. А. Быков,А. С. Шарло // Научная конференция "Тихоновские чтения 2011": те­зисы докладов. – С.18-19.163. Bykov, A. A.Inverse problem for the generalized Kolmogorov PetrovskiiPiskunov equation / A. A. Bykov, A.

S. Sharlo // 8-th Congress of theInternational Society for Analysis, its Applications and Computation, 22-27August 2011 : сборник тезисов. – М.:РУДН. – 2011. – C. 283.4. Быков, А. А. Движущиеся внутренние слои в начально-краевой зада­че для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова /А. А. Быков, Н. Н. Нефедов, А. С. Шарло // Научная конференция "Ло­моносовские чтения". Секция теоретической и математической физики:сборник тезисов докладов. – М.: Физич.-ф-т. МГУ. – 2012. – С.

168-170.5. Bykov, A. A. Generalized Maximum Principle for Kolmogorov PetrovskiiPiskunov equation / A. A. Bykov, A. S. Sharlo // Функциональные про­странства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемыматематического образования : тезисы докладов Четвертой Международ­ной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения РАН, академи­ка Европейской академии члена-корреспондента наук Л.Д. Кудрявцева.–М.: РУДН. – 2013. – С. 288-289.6. Быков, А. А. Существование и асимптотика фронтов в задачах реакция­диффузия в случае баланса реакции / А. А. Быков, Н. Н. Нефедов,Т.

А. Саранцева, А. С. Шарло // Научная конференция "Тихоновскиечтения 2013": тезисы докладов. – С.60-61.1.1.8. Апробация результатовОсновные результаты, излагаемые в данной работе, были представлены на8-th International Society for Analysis, its Applications and Computation (ISAAC)Congress, 2011 г., 4-й Международной конференции "Функциональные про­странства. Дифференциальные операторы.

Общая топология. Проблемы мате­матического образования" , посвящённой 90-летию со дня рождения Л.Д. Куд­17рявцева, 2013 г., на научных конференциях "Тихоновские чтения 2011" , "Ло­моносовские чтения 2012".1.1.9. Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из 6 глав, заключения и библиографии.

Общий объемдиссертации 174 страницы, включая 35 рисунков, без таблиц и приложений.Библиография включает 86 наименований на 10 страницах.В главе 1 рассматривается актуальность работы и научная новизна, воз­можность практического применения методов и результатов диссертации, при­веден обзор литературы по рассматриваемой тематике.В главе 2 рассмотрено несбалансированное уравнение ОКПП, построенаформальная асимптотика и проведено ее обоснование.В главе 3 построена и обоснована формальная асимптотика для сбалан­сированного уравнения ОКПП. Для обоснования использован метод нижних иверхних решений.В главе 4 исследуется поведение решений вида КС вблизи особой точкидля уравнений РД и ОКПП. Сформулированы условия прохождения и остановарешения в окрестности особой точки.В главе 5 проведено доказательство глобальной разрешимости уравненияОКПП для рассматриваемой постановки, построена формальная асимптотикав случае разрывной функции плотности источников.В главе 6 приведены результаты численного эксперимента для уравненийРД и ОКПП.

Показано соответствие аналитических результатов и результатовчисленного моделирования.181.2. Асимптотические методы для уравненияреакции–диффузии1.2.1. Постановка задачи для уравнения реакции–диффузииУравнение ОКПП можно рассматривать как обобщение уравнения реак­ции–диффузии, отличающееся тем, что в нем добавлен член Δ . Сначала опи­шем результаты, полученные для уравнения РД, а затем перейдем к ОКПП.В одномерном случае уравнение реакции–адвекции–диффузии при наличииисточников имеет вид22 +=+ (, ),20 < < , > 0,где (, ) – плотность источников.Уравнение реакции–адвекции–диффузии описывает эволюцию концентра­ции вещества или температуры (, ) при наличии диффузии, адвекции, ис­точников.В [2] приведены примеры задач, порождающих уравнения, имеющие реше­ния вида бегущей волны (равномерного распространения).

Это, например, рас­пространение пламени при процессах горения, тепла на начальной стадии ядер­ного взрыва. Автомодельные решения, отвечающие выходу на стационарныйрежим, возникают также в ударных волнах, которые характеризуются различ­ными показателями адиабаты за ударной волной и на ней [53].В [84] исследуется вопрос асимптотической устойчивости решений системуравнений типа реакция–диффузия, имеющих вид бегущих волн.В случае нелинейных задач одним из решений при определенных условияхможет являться КС с ВПС. В [65] рассмотрены условия образования волн тем­пературы при процессах горения для начально–краевой задачи для уравнения19реакции–диффузии⎧⎪⎪⎨2= 2 + −1/ − ( − ), 0 < < 1, > 0, (0, ) = 0, (1, ) = 0, > 0,⎪⎪⎩ (, 0) = (), 0 ≤ ≤ 1.(1.4)Процесс распространения импульсов по нервным волокнам описываетсяуравнением Ходжкина-Хаксли = − (), где – потенциал, –удельное сопротивление электролита, () – плотность электрического тока,протекающего через мембрану [26].

В [69] построено решение вида бегущей вол­ны для системы уравнений Ходжкина–Хаксли.Примерами биологических и физических процессов, описываемых уравнени­ем реакция–диффузия и имеющих решение вида бегущей волны, также являют­ся задачи динамики популяций (например, модель хищник–жертва), динамикираспространения числа пораженных клеток в живом организме, в том числемутировавших клеток при лейкемии, цитокининов при атеросклерозе [61], [86].Система уравнений вида реакция–диффузия позволяет описать окрашива­ние шкур пятнистых животных [73], формирование узоров на змеиной коже[74].В работе [72] приведен пример использования системы уравнений реак­ция–диффузия для моделирования процесса распространения в воздухе частицзагрязняющих веществ.Нелинейные системы уравнений вида реакция–диффузия позволяют опи­сать процессы инфицирования особей при эпидемиях, распределения темпера­туры внутри ядерных реакторов [79].Довольно часто на практике толщина ВПС мала, поэтому уравнение можнорассматривать как сингулярно возмущенное [78].Сингулярно возмущенное уравнение реакции–диффузии с малым парамет­ром встречается также в астрофизике [29], при описании процессов горения вхимии [2], позволяет описать фазовые переходы и системы с процессами, быстропротекающими во времени, выступающими в роли своеобразных катализаторов.20Одной из сфер применения уравнения реакция–диффузия является социология,в частности, данное уравнение описывает базовую модель правовой системы[44].

В работе [28] рассмотрено применение уравнения реакция–диффузия длямодели "власть–общество" в случае двух устойчивых состояний вырожденно­го уравнения, соответствующих большому и малому количеству полномочий,найдены условия, при которых распределение власти имеет вид контрастнойструктуры.1.2.2. Понятие контрастной структурыПриведем пример контрастной структуры с тремя ВПС. На Рис.1.1 изобра­жен мгновенный снимок КС. По горизонтальной оси отложена координата , повертикальной оси - значения (, ⋆ ), где ⋆ - фиксированный момент времени.Верхняя и нижняя кривые - устойчивые положения равновесия для уравнения (, ) = 0. Области КС, в которых ВПС примыкает к данным уровням, на­зываются пятнами. На рисунке изображены два пограничных слоя - две узкиепереходные области между уровнями насыщения и граничными условиями, че­тыре пятна и три разделяющих их ВПС.

Уравнение реакции–диффузии приопределенных начальных и граничных условиях может иметь решение видаКС. Эволюцию КС можно разделить на три этапа:1. Быстрое формирование КС из заданных начальных условий.2. Медленная эволюция КС, которую в интересующих нас задачах можноописать как дрейф ВПС.3.