Диссертация (Контрастные структуры для обобщённого уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова)

Московский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваФизический факультетКафедра математикиНа правах рукописиШарло Алена СтаниславовнаКонтрастные структуры для обобщенногоуравнения Колмогорова–Петровского–Пискунова01.01.03 – Математическая физикаДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительдоктор ф.–м. наук, профессорБыков Алексей АлександровичМосква – 20152ОглавлениеГлава 1.1.1.1.2.Введение . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Общая характеристика работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.1.1.Актуальность темы диссертации . . . . . . . . . . . . . .71.1.2.Цели и задачи диссертационной работы . . . . . . . . . .91.1.3.Научная новизна работы . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .101.1.4.Теоретическая и практическая значимость работы . . . .111.1.5.Методология и методы исследования . . . . . . . . . . . .131.1.6.Положения, выносимые на защиту . . . . . . . . . . . . .141.1.7.Публикации . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .141.1.8.Апробация результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.1.9.Структура и объем диссертации . . . . . . . . . . . . . . .17Асимптотические методы для уравнения реакции–диффузии . .181.2.1.Постановка задачи для уравнения реакции–диффузии . .181.2.2.Понятие контрастной структуры . . . . . . . . . .

. . . .201.2.3.Асимптотические методы. . . . . . . . . . . . . . . . . .221.2.4.Метод дифференциальных неравенств . . . . . . . . . . .271.2.5.Периодические по времени решения уравнения реак­ции–диффузии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.6.30Решения уравнения реакции–диффузии типа движущего­ся фронта . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311.2.7.Устойчивость решений для уравнения реакции–диффузии 321.2.8.Формальная асимптотика для неоднородности с кратны­ми корнями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33Контрастные структуры типа всплеска . . . .

. . . . . . .341.2.10. Интегродифференциальные уравнения . . . . . . . . . . .351.2.11. Многомерные контрастные структуры . . . . . . . . . . .361.2.12. Системы уравнений с малым параметром . . . . . . . . .371.2.9.31.3.Обобщенное уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова .

.381.3.1.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .381.3.2.Обобщенные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401.3.3.Физические модели для ОКПП члена . . . . . . . . .411.3.4.Принцип сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44Глава 2.Асимптотический метод исследования несбалансирован­ного уравнения ОКПП . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.1.2.2.2.3.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .472.1.1.Условия формирования ВПС . . . . . . . . . . . . . . . .47Формальная асимптотика . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .482.2.1.Алгоритм построения асимптотического разложения . . .502.2.2.Нулевой порядок асимптотики. . . . . . . . . . . . . . .512.2.3.Первый порядок асимптотики . . . . . . . . . . . . . . . .522.2.4.Последующие порядки асимптотики . . . . . . . . . . . .55Обоснование метода . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .552.3.1.Принцип сравнения для ОКПП . . . . . . . . . . . . . . .552.3.2.Построение верхнего и нижнего решений. . . . . . . . .582.3.3.Обоснование верхнего и нижнего решений . . . . . . . . .60Глава 3. Асимптотические методы исследования сбалансирован­ного уравнения ОКПП . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.3.2.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .653.1.1.Условия для формирования ВПС . . . . . . . . . . . . . .65Формальная асимптотика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .663.2.1.Алгоритм построения асимптотического разложения . . .663.2.2.Нулевой порядок асимптотики. . . . . . . . . . . . . . .693.2.3.Первый порядок асимптотики .

. . . . . . . . . . . . . . .713.2.4.Второй порядок асимптотики . . . . . . . . . . . . . . . .743.2.5.Последующие порядки асимптотики . . . . . . . . . . . .7643.3.Обобщенный принцип максимума . . . . . . . . . . . . . . . . . .773.4.Применение метода дифференциальных неравенств . . . . . . . .793.4.1.Построение верхнего и нижнего решений. . . . . . . .

.793.4.2.Обоснование верхнего и нижнего решений . . . . . . . . .82Глава 4.Асимптотический анализ уравнения ОКПП в окрестно­сти особой точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.1.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .864.2.Построение формальной асимптотики . . . . . . . . . . . . . . . .894.2.1.Алгоритм построения асимптотического разложения . . .894.2.2.Нулевой порядок асимптотики. . . . . . . . . . . . . . .914.2.3.Первый порядок асимптотики . . . . . . . . . . .

. . . . .924.3.Особые точки контрастной структуры. . . . . . . . . . . . . . .954.3.1.Останавливающая особая точка . . . . . . . . . . . . . . .964.3.2.Проходимая особая точка . . . . . . . . . . . . . . . . . .964.3.3.Особая точка, запертая в нулевом приближении, для ку­бической неоднородности . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.4.3.4.Особая точка, запертая в нулевом приближении, дляквадратичной неоднородности . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.5.9797Степенная особая точка, проходимая в нулевом прибли­жении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .984.4.Второй порядок асимптотики. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .4.5.Третий порядок асимптотики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Глава 5.98Существование обобщенного решения для уравненияОКПП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.1.Постановка задачи обобщенного решения . . . . . . . .

. . . . . . 1045.1.1.Оператор J − 2 Δ и его свойства . . . . . . . . . . . . . . 1095.1.2.Операторная запись уравнения КПП . . . . . . . . . . . . 1115.1.3.Теорема о глобальной разрешимости . . . . . . . . . . . . 11255.2.Теорема сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 1145.3.Разрывная функция плотности источников . . . . . . . . . . . . . 1195.3.1.Основные предположения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.3.2.Асимптотические ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.3.3.Асимптотическое разложение и сшивание . . . . . . . . . 1225.3.4.Нулевой порядок асимптотики5.3.5.Первый порядок асимптотики . . . . . .

. . . . . . . . . . 1245.3.6.Вычисление скорости дрейфа нулевого порядка . . . . . . 1265.3.7.Второй порядок асимптотики . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.3.8.Условие сшивания второго порядка . . . . . . . . . . . . . 1295.3.9.Последующие порядки . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 130. . . . . . . . . . . . . . . 1245.3.10. Построение верхнего и нижнего решений. . . . . . . . . 1305.3.11. Обоснование верхнего и нижнего решений . . . . . . . . . 133Глава 6.Численный эксперимент . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 1366.1.Дискретная аппроксимация уравнения ОКПП . . . . . . . . . . . 1366.2.Результаты численного моделирования для уравнений РД и ОКПП1396.2.1.Дрейф КС для уравнения РД . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.2.2.Дрейф КС для уравнения ОКПП .

. . . . . . . . . . . . . 1406.2.3.Дрейф ВПС для уравнения РД в случае пяти корней вы­рожденного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.2.4.Влияние скоростей различных порядков на движениеВПС для уравнений РД и ОКПП . . . . . . . . . . . . . . 1436.3.Численное моделирование задач с особой точкой . . . . . . .

. . 1456.3.1.Сверхкритический режим остановки ВПС для уравненияРД . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.4.6.3.2.Критический режим остановки ВПС для уравнения РД . 1476.3.3.Докритический режим остановки ВПС для уравнения РД 148Запертые КС для уравнений РД и ОКПП . . . . . . . . . . . . . 14966.4.1.Дрейф для сбалансированного уравнения РД в критиче­ском случае .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.4.2.ГрадиентныйдрейфсбалансированногоуравненияОКПП со средним значением . . . . . . . . . . . . . . . 1516.4.3.ГрадиентныйдрейфсбалансированногоуравненияОКПП с большим значением . . . .

. . . . . . . . . . . 1526.4.4.6.5.Несбалансированная задача с непроходимой особой точкой153Проходимая особая точка для уравнения ОКПП . . . . . . . . . . 1556.5.1.Несбалансированная задача с проходимой особой точкойдля ОКПП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.5.2.Сбалансированная задача с проходимой особой точкойдля ОКПП . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.6.Разрывная функция плотности источников . . . . . . . . . . . . . 1586.6.1.Исследование задач с разрывной функцией плотности ис­точников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.6.2.Величина скачка = 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 1596.6.3.Величина скачка = 0, 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.6.4.Комбинированная разрывная функция плотности источ­ников с гладкой частью и скачком = 0, 01 . . . . . . . 160Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Список литературы . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657Глава 1Введение1.1. Общая характеристика работы1.1.1. Актуальность темы диссертацииВ данной работе изучается обобщенное уравнение Колмогорова–Петров­ского–Пискунова (ОКПП) – псевдопараболическое уравнение в частных про­изводных третьего порядка(Δ − ) + Δ − (, ) = 0.Начально–краевая задача для данного уравнения имеет вид:⎧⎪⎪⎨ (Δ− ) + Δ − (, ) = 0, ∈ , ∈ (0, ),(, ) = 0 (, ), ∈ , ∈ (0, ),⎪⎪⎩ (, 0) = (), ∈ .0(1.1)Математические модели разнообразных физических процессов приводят кдифференциальным уравнениям с малым параметром при старших производ­ных. Известно, что некоторые уравнения с малым параметром при старшихпроизводных имеют решения вида контрастной структуры (КС) [22]. В даннойработе изучаются КС типа ступеньки, для которых характерно наличие протя­женных областей, в которых решение близко к одному из уровней насыщения(такие области называются пятнами) и узких областей, в которых решение изме­няется от одного из уровней насыщения до другого (данные области называютвнутренними переходными слоями (ВПС)).Большой интерес представляют нестационарные КС, в которых фронт пере­мещается под действием процессов переноса и диффузии в неоднородной среде.Одними из основных методов исследования нестационарных КС являются ме­8тод асимптотического разложения в ряд по степеням малого параметра и методдифференциальных неравенств [22].В работе метод асимптотического разложения в ряд по степеням малогопараметра и метод дифференциальных неравенств для параболических уравне­ний обобщаются на класс псевдопраболических уравнений – уравнение ОКПП,имеющее при определенных условиях решение вида контрастной структуры ти­па ступеньки.К настоящему времени детально изучены процессы дрейфа фронтов КС дляуравнения реакции–диффузии при условии, когда скорость дрейфа нулевого по­рядка 0 ̸= 0 и сохраняет свой знак во всей области .

Кроме того, изученызадачи, в которых скорость дрейфа нулевого порядка меняет знак при переходечерез некоторую точку. Актуальным является исследование поведения тонкихпереходных слоев в случае, когда скорость дрейфа нулевого порядка обраща­ется в ноль в некоторой точке, но при этом сохраняет знак в ее окрестности.Такую точку мы будем называть особой.В работе мы рассмотрим задачу с особой точкой и приведем полный ана­лиз прохождения ВПС через особую точку для уравнений реакции–диффузиии ОКПП.