Диссертация (Квантовые поправки в суперсимметричных теориях при использовании различных регуляризаций), страница 8

В терминах N = 1суперполей действие этой теории имеет вид1S = 2 Re4e0∫42ad x d θ W Wa +∫Nf∑1i=1444d xd θ(ϕ∗i e2V ϕi+ϕe∗i e−2V ϕei), (3.1)где через e0 обозначена голая константа связи.Вычисление квантовых поправок в этой теории будет проводиться с помощью регуляризации посредством размерной редукции [64]. Это означает, что алгебра суперсимметричных ковариантных производных остается73такой же, как и в четырех измерениях, а интегралы по петлевым импульсам, которые остаются после вычисления грассмановых интегралов по всемθ-координатам, кроме одной, вычисляются в размерности d. Важно заметить, что константа связи в d ̸= 4 измерениях приобретает размерность,так что удобно в регуляризованной теории сделать замену:e20 → e20 Λε ,где ε ≡ 4 − d;(3.2)— некоторая постоянная, имеющая размерность массы,Λвведенная с целью обезразмеривания константы связиe0 в d измерениях. Здесь e0 безразмерная величина.При использовании такой регуляризации часть эффективного действия,соответствующая двухточечным функциям Грина, может быть записана ввиде:∫1d4 p 4Γ − Sgf = −d θ V (−p, θ)∂ 2 Π1/2 V (p, θ) d−1 (α, µ/p)416π(2π)Nf ∫)d4 p 4 ( ∗1∑∗ee+d θ ϕi (−p, θ)ϕi (p, θ) + ϕi (−p, θ)ϕi (p, θ) G(α, µ/p),4 i=1(2π)4(2)гдеα = α(µ)µ— перенормированная константа связи;— масштаб перенормировки,Заметим, что обычно при использовании размерной техники полагаетсяΛ = µ, но в дальнейшем мы не будем пользоваться данным условием длятого, что бы явно показать, что все получаемые соотношения имеют аналоги в теории регуляризованной высшими производными.

Поперечность74поправок к двухточечной функции Грина калибровочного поля следует изтождества Уорда.3.2Структура трехпетлевых вкладов в β-функцию,пропорциональных (Nf )2Прежде, чем мы перейдем к рассмотрению теории, регуляризованной размерной редукцией, рассмотрим структуры, возникающие в петлевых интегралах теории, регуляризованной высшими ковариантными производными.А именно, оказывается, что трехпетлевая β-функция N = 1 СКЭД с Nfароматами, регуляризованная с помощью высших производных, в пределенулевого внешнего импульса, может быть представлена в виде [50]:∫d {∑d4 q ∂ ∂ ln(q 2 + M 2 )β(α0 )= 2πNfcIα02d ln Λ(2π)4 ∂q µ ∂qµq2I∫d4 q d4 k e2 ∂ ∂ (1+4π(3.3)(2π)4 (2π)4 k 2 Rk2 ∂q µ ∂qµ q 2 (k + q)2)[ (∑1e2 Nf Λ )−Rk 1 +lncI 2(q + MI2 )((k + q)2 + MI2 )4π 2µI( ∫ d4 t)]∑ ∫ d4 t112−2e Nf−cJ(2π)4 t2 (k + t)2(2π)4 (t2 + MJ2 )((k + t)2 + MJ2 )J∫∂ ∂ {(2k 2d4 q d4 k d4 le4+4π− 2(2π)4 (2π)4 (2π)4 k 2 Rk l2 Rl ∂q µ ∂qµq (q + k)2 (q + l)2 (q + k + l)2) ∑ (2(k 2 + MI2 )2−+ 2−cIq (q + k)2 (q + l)2(q 2 + MI2 )((q + k)2 + MI2 )((q + l)2 + MI2 )I12×+((q + k + l)2 + MI2 ) (q 2 + MI2 )((q + k)2 + MI2 )((q + l)2 + MI2 ))}}4MI2,− 2(q + MI2 )2 ((q + k)2 + MI2 )((q + l)2 + MI2 )75где( k )2nRk = 1 +.ΛHD(3.4)Заметим, что это соотношение содержит интегралы от полных производных.

Появление такой характерной структуры вызвано выбором регуляризации нашей теории с помощью высших производных. Благодаря обнаруженной факторизации петлевых интегралов в интегралы от полныхпроизводных (в пределе нулевого внешнего импульса) удается представитьодин из петлевых интегралов в виде интеграла от δ-функции. Оказывается,что оставшиеся двухпетлевые интегралы образуют логарифм двухточечнойфункции Грина суперполей материи:β(α0 )d ( Nf ∑=cI ln MI(3.5)α02d ln Λ πI∫∫{4d4 kdq 42e203δ(q)×−−16π Nf(2π)4(2π)4 k 2 Rk (k + q)2∫1d4 k d4 t4e40 (1++(2π)4 (2π)4 k 2 Rk t2 Rt (k + q)2 (t + q)2 (t + q)2 (k + t + q)2∫)(k + t + 2q)2d4 k d4 t4e40−+ Nf(k + q)2 (t + q)2 (k + t + q)2(2π)4 (2π)4 k 2 Rk2 (k + q)2N()})∑11× 2−cI 2,t (k + t)2(t + MI2 )((k + t)2 + MI2 )I=1где выражение, стоящее в фигурных скобках, есть логарифм двухточечной функции Грина суперполей материи — ln G(α0 , Λ/q), вычисленный вдвухпетлевом приближении. Вычислив интеграл от δ-функции и продифференцировав по ln Λ, при фиксированной константе связи, мы получимNSVZ β-функцию.

Далее будет показано, что факторизация петлевых ин76тегралов в интегралы от полных производных не реализуется в теории,регуляризованной с помощью размерной редукции.Перейдем к рассмотрению петлевых интегралов теории, регуляризованной размерной редукцией. Трехпетлевой вклад в d−1 (α0 , Λ/p) функциюN = 1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованной с помощью размернойредукции, может быть найден исходя из результатов работы [50]. В этойработе была использована регуляризация высшими производными. Однако, интегралы, регуляризованные размерной редукцией, могут быть легкополучены из соответствующих петлевых интегралов теории, регуляризованной высшими ковариантными производными. Для того, чтобы получитьсхемно зависимый трехпетлевой вклад в двухточечную функцию Грина калибровочного суперполя теории, регуляризованной размерной редукцией,необходимо в выражении для двухточечной функции Грина калибровочного суперполя [50], при не нулевом внешнем импульсе, перейти к пределамΛHD → ∞, MJ → ∞ и положить размерность пространства-времени равной d.

Учитывая, что схемно зависимые члены для данного порядка теориивозмущений должны быть пропорциональны только Nf2 , слагаемые, зависящие от первой степени Nf в трехпетлевой части d−1 -функции мы не будемрассматривать. Выражение для двухточечной функции Грина калибровочного суперполя в трехпетлевом приближении для рассматриваемой теорииможет быть представлено в видеd−1 (α0 , Λ/p) =1+ I1 + I2 + I3 + O(α02 Nf ) + O(α03 ),α0где α0 = e20 /4π, а77(3.6)I1 и I2— интегралы, представляющие собой однои двухпетлевые вклады в d−1 -функцию;I3— схемно зависимая часть трехпетлевого вклада,которая пропорциональна (Nf )2 .Интегралы Ii имеют следующий вид:∫1dd kI1 = 8πNf Λε;(2π)d k 2 (k + p)2∫dd k dd qI2 = 16πe20 Nf Λ2ε×(2π)d (2π)d(21−k 2 (k + q)2 q 2 (q + p)2 (k + q)2 (k + q + p)2 q 2 (q + p)2)p2− 2;k (k + q)2 (k + p + q)2 q 2 (q + p)2∫dd k dd q dd t142 3εI3 = −32πe0 (Nf ) Λ×(2π)d (2π)d (2π)d t2 (t + k)2(21−22222k (k + q) q (q + p)(k + q) (k + q + p)2 q 2 (q + p)2)p2− 2.k (k + q)2 (k + p + q)2 q 2 (q + p)2(3.7)(3.8)(3.9)Аналоги I2 и I3 интегралов, возникающие при регуляризации высшими производными, могут быть связаны с однопетлевыми и двухпетлевыми вкладами в ln G-функцию соответственно.

Такая связь обеспечиваетсяфакторизацией соответствующих интегралов в двойные полные производные в пределе p → 0. Важно заметить, что при использовании регуляризации размерной редукцией, предельный переход p → 0 выполнен быть неможет, так как петлевые интегралы, определяющие β-функцию, пропорциональны (Λ/p)nε , где n — целое число. Таким образом, для размерной78редукции факторизация в двойные полные производные, как при использовании регуляризации высшими производными, не происходит. Несмотряна это, можно найти аналог такого механизма. Для этого рассмотрим двухпетлевой вклад I2 и добавим к нему∫0=16πe20 Nf Λ2εdd k dd q ∂×(2π)d (2π)d ∂q µ{[]}qµp2.

(3.10)1−q 2 (q + p)2 k 2 (q + k)22(q + k + p)2Тогда после некоторых преобразований результат может быть приведенк виду:(dd k dd q1 2 µ ∂1I2 =pp(2π)d (2π)d 2∂pµ k 2 q 2 (q + p)2 (q + k)2 (q + k + p)2∂∂111−2pµ µ 2+ pµ µ2222∂p k (k + q) q (q + p)2 ∂p (k + q) (k + q + p)2 q 2 (q + p)2)εp2ε+. (3.11)− 2k (k + q)2 q 2 (q + p)2 2k 2 q 2 (q + p)2 (q + k)2 (q + k + p)2∫16πe20 Nf Λ2εИсходя из размерных соображений можно заметить, что все двухпетлевыеинтегралы в выражении (3.11) пропорциональны (Λ/p)2ε . Такое свойствоинтегралов позволяет упростить дифференцирование по импульсу pµ , после которого двухпетлевой вклад в d−1 может быть представлен в виде:∫dd k dd qI2 = εI2 +×(2π)d (2π)d()εp2 (−2 + ε)+. (3.12)k 2 (k + q)2 q 2 (q + p)2 2k 2 q 2 (q + p)2 (q + k)2 (q + k + p)216πe20 Nf Λ2ε79Откуда следует, что рассматриваемый двухпетлевой вклад может бытьприведен к следующей форме:(∫εdd k dd q1I2 =1−ε(2π)d (2π)d k 2 (k + q)2 q 2 (q + p)2)∫dd k dd qp2ε−2.

(3.13)+2(1 − ε) (2π)d (2π)d k 2 q 2 (q + p)2 (q + k)2 (q + k + p)216πe20 Nf Λ2εВторое слагаемое в выражении (3.13) конечно и пропорционально ζ(3)[97], поэтому вклада в β-функцию в DR-схеме не дает. Далее будет показано, что первое слагаемое представляет собой расходящийся интеграл,который может быть связан с однопетлевым вкладом в ln G. Прежде чемпереходить к данному вопросу, представим в аналогичной форме трехпетлевой вклад I3 , который пропорционален (Nf )2 . Для этого прибавим к нему∫dd k dd q dd t1∂0 = −32πe40 (Nf )2 Λ3ε×(2π)d (2π)d (2π)d t2 (t + k)2 ∂q µ()qµp2 q µ−(3.14)q 2 (q + p)2 k 2 (q + k)2 2k 2 q 2 (q + p)2 (q + k)2 (q + k + p)2и, преобразуя полученный результат аналогичным способом как это делалось для двухпетлевого вклада, мы получаем, чтоI3 = −32πe40 (Nf )2 Λ3ε ×(∫2εdd k dd q dd t11 − 3ε/2 (2π)d (2π)d (2π)d t2 (t + k)2 k 2 (k + q)2 q 2 (q + p)2∫ε−2dd k dd q dd t×+2(1 − 3ε/2) (2π)d (2π)d (2π)d)p2.

(3.15)t2 (t + k)2 k 2 q 2 (q + p)2 (q + k)2 (q + k + p)280Заметим, что при выводе (3.15), было использовано, что трехпетлевыеинтегралы, содержащиеся в рассматриваемом выражении, пропорциональны (Λ/p)3ε . Также отметим, что в отличии от рассмотренного ранее двухпетлевого случая, последнее слагаемое в I3 расходится. Однако, даннаярасходимость устраняется при замене голой константы связи на перенормированную в выражении d−1 − α0−1 .Воспользовавшись формулами (3.15) и (3.13), функция d−1 может бытьпредставлена в форме∫dd k1d (α0 , Λ/p) =+ 8πNf Λ(3.16)(2π)d k 2 (k + p)2∫∫ddqdd k11ε22ε+64π α0 Nf Λd22d21 − ε (2π) q (q + p)(2π) k (k + q)2∫∫dd q2ε1dd k13 22 3ε−512π α0 (Nf ) Λ×1 − 3ε/2 (2π)d q 2 (q + p)2(2π)d k 2 (q + k)2∫dd t1+ конечные члены + O(α02 Nf ) + O(α03 ).d22(2π) t (t + k)−1α0−1εПри этом явно не выписаны слагаемые, которые являются конечнымипри условии конечности перенормированной константы связи α = α(µ),связанной с голой константой связи равенством)11 Nf ( 1Λ= −+ ln + b1 + O(α2 ),α0απ εµгде b1 – зависящая от схемы перенормировки конечная постоянная.Сравнивая слагаемые выражения (3.16) c аналогичными слагаемыми,содержащимися в логарифме двухточечной функции Грина суперполей материи81∫dd k1(2π)d k 2 (q + k)2∫dd k dd t1+64π 2 α02 Nf Λ2ε(2π)d (2π)d k 2 (q + k)2 t2 (t + k)2()+O (Nf )0 α02 + O(α03 ),ln G = −8πα0 Λε(3.17)получаем, что часть функции d−1 , содержащая двухпетлевой результат итрехпетлевой вклад, пропорциональный (Nf )2 , в двухточечную функциюГрина калибровочного суперполя, может быть преобразована к виду:∫dd q1d −= 8πNf Λd2(2π) q (q + p)2∫dd q1ε ε−8πNf Λ(ln G)1−петля1−ε(2π)d q 2 (q + p)2∫dd q2ε1ε−8πNf Λ(ln G)2−петли,Nf1 − 3ε/2 (2π)d q 2 (q + p)2−1α0−1ε(3.18)+конечные члены + O(Nf α02 ) + O(α03 ),гдеln G1−петляln G2−петли,Nf— часть ln G-функции, пропорциональная α0 ;— часть ln G-функции, пропорциональная α02 Nf .Найденное выражение обеспечивает явную связь двухточечных функций Грина калибровочных полей и суперполей материи.