Диссертация (Квантовые поправки в суперсимметричных теориях при использовании различных регуляризаций), страница 7

В главном порядке по r рассматриваемая частьэффективного действия пропорциональна:∫V4 ≡ d4 x I 2 ∼ r4 → ∞.(2.56)Члены, содержащие производные регуляризующей функции I(x), подавлены как 1/rΛ → 0. Таким образом, далее мы не будем явно писать I, нобудем предполагать, что V4 конечна и стремится к бесконечности. Связаноэто с тем, что мы будем рассматривать предел нулевого внешнего импульса:p ∼ r−1 ∼ (V4 )−1/4 → 0.62(2.57)Воспользуемся вышеописанной регуляризацией для корректного перехода к пределу p → 0 в следующем выражении:∫(2)d(∆ΓV )e20 V4=−d4 θV a ∂Π1/2 V a ×d ln Λ16π)d (Momentum integral .p=0d ln Λ(2.58)Теперь произведем подстановку (2.52) в (2.58) и, учитывая, что при этом∫d4 θV a ∂Π1/2 V a → −8,(2.59)получаем, что)e20d ( −1β(α0 ) e20−1 V4 ·V4 ·d (α0 , Λ) − α0 =p=02πd ln Λ2πα02 p=0(2)d(∆ΓV ) =,d ln Λ V (x,θ)=θ4(2.60)где(2)(2)∆ΓV ≡ ΓV − Sgf − S.(2.61)Важной особенностью найденных петлевых интегралов является возможность представления суммы (2.49) в виде интеграла от двойных полных производных:dlimp→0 d ln Λ[]+invariante20 C2=−16∫d4 θ d 4 q(2π)4( q 2n ))2 )]∂ ∂d [ 1 ( 2(×V (0)∂ Π1/2 V (0) µln q 1 +.

(2.62)∂q ∂qµ d ln Λ q 2Λ2na2a632.6Вклад полей Паули–Вилларса духов Нильсена–Каллош в β-функциюИзвестно, что регуляризация высшими ковариантными производнымиоставляет однопетлевые расходимости. Для устранения оставшихся расходимостей произведем регуляризацию Паули–Вилларса. Для этого введемполя Паули–Вилларса, обладающие противоположной статистикой по отношению к духам Нильсена–Каллош:[cb+aP V , bP V]= 0,[]a cη̄ , η = 0,][ δc, η = 0,δ η̄ a(2.63)Перейдем к вычислению вклада полей Паули–Вилларса духовНильсена–Каллош в β-функцию.

Заметим, что Фейнмановские правиладля вершин Рис. 2.2 полей Паули–Вилларса духов Нильсена–Каллош с точностью до замены духовых полей на поля Паули–Вилларса совпадают с соответствующими вершинами, построенными для духов Нильсена–КаллошРис. 2.1.Рис. 2.2: Вершины, необходимые для вычисления вкладов полей Паули–Вилларса духовНильсена–Каллош в β-функцию.64Принцип вычисления двухточечных функций Грина калибровочного суперполя, где в качестве внутренних линий соответствующих диаграмм берутся поля Паули–Вилларса, аналогичен рассматриваемому в Параграфа 2.5. Суперграфы, определяющие вклад полей Паули–Вилларса в βфункцию, имеют следующий вид:i[=−2( ∫× exp i{]2(2.64)d4 x d 4 θ)}mD̄ /8mD /8ss[ (] ηs − η̄[ (] η̄s −η))222n2n∂2 ∂2 1 + ∂+ m2∂2 ∂2 1 + ∂+ m222Λ2nΛ2n]2i[=−2()( ∫)∂ 2n1 + Λ2n44s× exp i d x d θ ηη̄,s()∂ 2n 222∂ 1 + Λ2n + mη̄,η=0]i[=−2)()( ∫∂ 2n1 + Λ2n44s.η̄s × exp i d x d θ η)(22n∂22∂ 1 + Λ2n + mη̄,η=065,η̄,η=0(2.65)(2.66)Перейдем к вычислению суперграфа (2.64).

Подействовав вариационным вершинным оператором на Z0N K , этот суперграф может быть преобразован к виду:(C2 e20 m2=i2 · 163 Λ4n∫d8 z1 z4(2.67)1 2 88 18D̄4 δ24 · D̄12 D42 δ14D22 D̄32 δ32M1M288 188 1∂42n D̄42 δ24D22 D̄32 δ32· D̄12 D42 δ14+4Λ2n V3a V4a · D32 δ13M1M2→8 ←88 18 1D̄42 δ24D22 D̄32 δ32+4Λ2n V3a V4a · D32 δ13P0 (4) ∂42 D̄12 D42 δ14M1M22n→Λ8 ←8 188 1+D42 D̄42 δ24D22 D̄32 δ32V3a V4a · D32 δ13P0 (4) D̄42 D̄12 D42 δ144M1M28 188 18+4Λ2n V3a V4a · D32 δ13D̄42 δ24· D̄12 D42 δ14∂32n D22 D̄32 δ32M1M288 188 1∂42n D̄42 δ24· D̄12 D42 δ14∂32n D22 D̄32 δ32+4V3a V4a · D32 δ13M1M2→8 18 ←8 18+4V3a V4a · D32 δ13D̄42 δ24P0 (4) ∂42 D̄12 D42 δ14∂32n D22 D̄32 δ32M1M2←→1 a a18 1888+ V3 V4 · D32 δ13D42 D̄42 δ24P0 (4) D̄42 D̄12 D42 δ14∂32n D22 D̄32 δ324M1M2→8 188 1 ←8+4Λ2n V3a V4a · ∂32 D32 δ13D̄42 δ24· D̄12 D42 δ14P0 (3) D22 D̄32 δ32M1M2→888 18 1 ←∂42n D̄42 δ24P0 (3) D22 D̄32 δ32+4V3a V4a · ∂32 D32 δ13· D̄12 D42 δ14M1M2→→8 ←88 1 ←8 1D̄42 δ24P0 (3) D22 D̄32 δ32P0 (4) ∂42 D̄12 D42 δ14+4V3a V4a · ∂32 D32 δ13M1M2→→1 a a 2 2 8 1 2 2 8←88 1 ←D4 D̄4 δ24 P0 (4) D̄42 D̄12 D42 δ14P0 (3) D22 D̄32 δ32+ V3 V4 · ∂3 D3 δ134M1M22n→Λ888 18 1 ←V3a V4a · D̄32 D32 δ13D̄42 δ24P0 (3) D32 D22 D̄32 δ32+· D̄12 D42 δ144M1M28× 4Λ4n V3a V4a · D32 δ1366→18 188 1 ←8+ V3a V4a · D̄32 D32 δ13∂42n D̄42 δ24· D̄12 D42 δ14P0 (3) D32 D22 D̄32 δ324M1M2→→18 1 ←8 18 ←8P0 (4) ∂42 D̄12 D42 δ14D̄42 δ24P0 (3) D32 D22 D̄32 δ32+ V3a V4a · D̄32 D32 δ134M1M2)→→18 18 ←8 1 ←8+ V3a V4a · D̄32 D32 δ13P0 (4) D̄42 D̄12 D42 δ14,D42 D̄42 δ24P0 (3) D32 D22 D̄32 δ3264M1M2гдеdefMi =∂i2[ (]∂i2n )222∂i 1 + 2n + m ,Λi = 1, 2(2.68)Воспользовавшись (2) и (2.31) – (2.33), вклад (2.67) может быть представлен в виде:C2 e20 m2=i2×∫d4 θ d 4 p d 4 q(2π)8(2.69)(q + p)22n 22(−(q + p)2 )[(−(q + p)2 )(1 + (− (q+p)Λ2 ) ) + m ]q2×2(−q 2 )[(−q 2 )(1 + (− Λq 2 )n )2 + m2 ]{[1a×V (−p) − ∂ 2 Π1/2 + (q 2 + (q + p)2 )4n2Λ]iµ22+ (p + 2q) [D̄ , D ]µ V a (p)162 n2 n((−q ) − (−(q + p) )×2Λ2n + 2(−q 2 )n22(−q ) − (−(q + p) )(−q 2 )n − (−(q + p)2 )n )2+2(−(q + p) ) ·(−q 2 ) − (−(q + p)2 )(( q 2 )n ( q 2 )2naa+V (−p)V (p) × 1 + 2 − 2 + − 2ΛΛ( (q + p)2 ) (−q 2 )n − (−(q + p)2 )n·+ −Λ2n(−q 2 ) − (−(q + p)2 )67(−q 2 )(−(q + p)2 )n (−q 2 )n − (−(q + p)2 )n+·Λ4n(−q 2 ) − (−(q + p)2 )( (q + p)2 ) (−q 2 )n − (−(q + p)2 )n+ −·Λ2n(−q 2 ) − (−(q + p)2 )(−q 2 )n (−(q + p)2 ) (−q 2 )n − (−(q + p)2 )n+·Λ4n(−q 2 ) − (−(q + p)2 )( (q + p)2 )2 ( (−q 2 )n − (−(q + p)2 )n )2+ −·Λ2n(−q 2 ) − (−(q + p)2 )(q 2 )2 ( (−q 2 )n − (−(q + p)2 )n )2 )+ − 2n ·Λ(−q 2 ) − (−(q + p)2 )Вычисление диаграмм (2.65) и (2.66) аналогично вычислению соответствующих суперграфов духов Нильсена–Каллош и отличается лишь видомпропагаторов и статистикой полей.Проверим, что калибровочно неинвариантные части диаграмм (2.50) сокращаются.

Неинвариантная часть диаграммы (2.64) имеет вид:dlimp→0 dΛ×[][V a (0)]22[(−q 2 )(1 + (− Λq 2 )n )2 + m2 ]2{non invariantiC2 e20 m2=2∫d4 θ d 4 q d(2π)4 dΛ(q 2 )n ( q 2 )2n }1+2 − 2 + − 2,ΛΛ(2.70)Неинвариантная часть диаграммы (2.65) имеет вид:dlimp→0 dΛ[]non invariantie20 C2=−16Λ2n∫d4 θ d 4 q d(2π)4 dΛ{}82n 22 n+12 2n+18Λ q − 16(−q )− 2n (−q ), (2.71)×2Λ[(−q 2 )(1 + (− q 2 )n )2 + m2 ]22[V a (0)]2 (1 + (− Λq 2 )n )2ΛНеинвариантная часть диаграммы (2.66) имеет вид:68dlimp→0 dΛ][non invariantie20 C2=−16Λ2n∫2×[V a (0)]2 (1 + (− Λq 2 )n )2[(−q 2 )(1 + (− Λq 2 )n )2 + m2 ]d4 θ d 4 q d(2π)4 dΛ(2.72){}2n2 n8Λ + 8(−q ) .Cуммируя вклады (2.70) – (2.72) приходим к требуемому условию:[]+= 0,+non invкоторое можно рассматривать как проверку правильности выполняемыхвычислений.Калибровочно инвариантные части суперграфов (2.64) – (2.66) имеютвид:dlimp→0 dΛ[]invariantC2 e20 m2=2∫d4 θd4 q d(2π)4 dΛ( 1nqq 2nnq 2n )a2a×V (0)∂ Π1/2 V (0) 2 2++ 4n ,[q K + m2 ]2 Λ2n Λ4nΛ(2.73)2(n−1)dlimp→0 dΛ[]invariantC2 e20=−8∫d4 θd4 q d(2π)4 dΛ(( q )2n( )4n )K222 q×V (0)∂ Π1/2 V (0) 2 22K + 4nK+ 4n[q K + m2 ]2ΛΛa2a69(2.74)иdlimp→0 dΛ[]invariantC2 e20=2Λ2n∫d4 θd4 q d(2π)4 dΛ×V a (0)∂ 2 Π1/2 V a (0)(2.75)Kn2 q 2(n−1)222q K +mОказывается, что сумма инвариантных вкладов (2.73) – (2.75), такжекак и в случае духов Нильсена–Каллош, может быть представлена в видеимпульсного интеграла от двойной полной производной:dlimp→0 dΛ[]+e20 C2=16∫+invariantd4 θ d 4 q aV (0)∂ 2 Π1/2 V a (0)(2.76)4(2π))]( q 2n ))2∂ ∂ d [ 1 ( 2(2+m .× µln q 1 +∂q ∂qµ dΛ q 2Λ2nИзвестно, что факторизация петлевых интегралов (в пределе нулевоговнешнего импульса) в интегралы от полных производных в теориях, регуляризованных с помощью высших производных, является важной составляющей частью механизма образования NSVZ соотношения на пертурбативном языке [54, 55].702.7Вклад в β-функцию от духов Нильсена–КаллошПроизводя вычисления, аналогичные вычислениям, произведенным вГлавах 2.5 - 2.6, для случая регуляризации с произвольной функцией K(1.26), с помощью разложения:K(x) =∞∑fn xn ,(2.77)n=0находим вклад духов Нильсена–Каллош в эффективное действие отвечающее двухточечной функции Грина калибровочного суперполя.

Подставляявычисленный вклад в (2.60), получаем выражение для β-функции:{∫ 4 4Cd θd q a2β(α0 ) = 2πα02 −V (0)∂ 2 Π1/2 V a (0)416(2π)d [ 1 ( 2 ( q 2 )2 )∂ ∂× µln q K 2(2.78)∂q ∂qµ d ln Λ q 2Λ})]1 ( 2 ( q 2 )2− 2 ln q K 2 + m2 V (x,θ)=θ4qΛИнтеграл по импульсу может быть легко вычислен благодаря наличиюдвойной полной производной. А именно, введем для упрощения вычислений следующее обозначение:d [ 1 ( 2 ( q 2 )2 )f (q /Λ ) =ln q K 2d ln Λ q 2Λ(( q 2 )2)]122− 2 ln q K 2 + m .qΛ22 defПерейдем к вычислению интеграла:∫d4 q ∂ ∂ ( f (q 2 /Λ2 ) )I=.(2π)4 ∂q µ ∂qµq271(2.79)(2.80)После взятия одной частной производной интеграл может быть вычислен:∫d4 q ∂ ( 2q µ2q µ ′ 2 2 )22− 4 f (q /Λ ) + 2 2 f (q /Λ )I =(2π)4 ∂q µqq Λ∫(4q 2 ′ 2 2 )d4 q 1 d22=− 4f (q /Λ ) + 2 f (q /Λ )(2.81)(2π)4 q 2 dq 2Λ1 (q 2 ′ 2 2 )q=∞22= 2 − f (q /Λ ) + 2 f (q /Λ ) .q=04πΛБлагодаря вкладу полей Паули–Вилларса в (2.79), вычисленный интегралможет быть преобразован к виду:1 ( 2 2q 2 ′ 2 2 )1I = 2 f (q /Λ ) − 2 f (q /Λ ) = 2 f (0)q=04πΛ4π∫4dq 4= 4π 2δ (q)f (q 2 ).4(2π)(2.82)Выберем массу m для полей Паули–Вилларса пропорциональной параметру регуляризации:m = aΛ.(2.83)После подстановки (2.79) в (2.82) получаем, чтоI=−1.2π 2(2.84)Теперь, воспользуемся методом подстановки, учитывая вычисленныйинтеграл (2.80) и подстановку (2.59), получаем, чтоα02 C2∆β(α0 ) = −.2π(2.85)Таким образом, благодаря факторизации петлевых интегралов в интеграл от двойной полной производной, нам удалось преобразовать петлевойинтеграл к интегралу от дельта функции и получить аналитическое выражение для вклада в β-функцию от полей духов Нильсена–Каллош.72Глава 3Структура трехпетлевых вкладов вβ-функцию N = 1 СКЭД с Nfароматами, регуляризованной спомощью размерной редукции3.1N = 1 СКЭД c Nf ароматами и ее регуляризацияс помощью размерной редукцииРассмотрим безмассовую N = 1 СКЭД с Nf ароматами.