Диссертация (Квантовые поправки в суперсимметричных теориях при использовании различных регуляризаций), страница 3

Затем выбирается фоново калибровочно инвариантный член, фиксирующий калибровку, и выписываются соответствующие ему действия для духовых полей Фаддеева–Попова [82] и Нильсена–Каллош. Далее записываются БРСТ-преобразования и проверяется БРСТинвариантность рассматриваемой теории. Для устранения однопетлевыхрасходимостей вводится дополнительная регуляризация Паули–Вилларса.Затем строится производящий функционал для связных функций Грина.В Параграфе 1.4 приводится общий формализм перенормировки N = 1суперсимметричной теории Янга–Миллса, а также выписываются соотношения, которым удовлетворяют константы перенормировки. Далее описывается метод вычисления констант перенормировок.В Параграфе 1.5 определяются ренормгрупповые функции, выражен-19ные в терминах голой константы связи, а также ренормгрупповые функции, выраженные в терминах перенормированной константы связи.

Приводятся основные их свойства.Глава 2 посвящена вычислению и анализу вклада духов Нильсена–Каллош в β-функцию N = 1 суперсимметричной теории Янга–Миллса,регуляризованной высшими ковариантными производными с сохранениемБРСТ-инвариантности.В Параграфе 2.1 объясняются причины введения духов Нильсена–Каллош.В Параграфе 2.2 строится вклад в функциональный интеграл от духов Нильсена–Каллош. Для его вычисления производится дополнительнаярегуляризация Паули–Вилларса однопетлевых расходимостей.Параграф 2.3 посвящен вычислению двухточечных связных функцийГрина свободной теории.В Параграфе 2.4 формулируются фейнмановские правила для вершиндуховых диаграмм Нильсена–Каллош, дающих вклад в β-функцию.В Параграфе 2.5 для духов Нильсена–Каллош производится вычислениедвухточечной функции Грина фонового калибровочного суперполя, определяющей вклад в β-функцию.

В ходе вычислений проверяется сокращениенеинвариантных вкладов в эту функцию Грина. Затем петлевые интегралы, определяющие β-функцию, представляются в виде интегралов от двойной полной производной, что позволяет редуцировать петлевые интегралык интегралу от δ-функции.В Параграфе 2.6 вычисляется вклад полей Паули–Вилларса для духов20Нильсена–Каллош в β-функцию. В ходе вычислений также проверяетсясокращение неинвариантных вкладов. Затем петлевые интегралы, определяющие β-функцию, представляются в виде интегралов от двойной полнойпроизводной, что позволяет редуцировать петлевые интегралы к интегралуот δ-функции.В Параграфе 2.7 получен вклад в β-функцию, определяемый вкладами духов Нильсена–Каллош и соответствующих им полей Паули–Вилларсадля случая общей формы регуляризации высшими ковариантными производными.Глава 3 посвящена изучению структуры трехпетлевых вкладов вβ-функцию N= 1 суперсимметричной квантовой электродинамики(СКЭД) с Nf ароматами, регуляризованной с помощью размерной редукции.В Параграфе 3.1 описывается N = 1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованная с помощью размерной редукции.В Параграфе 3.2 продемонстрирован механизм генерации NSVZβ-функции в трехпетлевом приближении N = 1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованной высшими ковариантными производными.

Далее строитсятрехпетлевой схемнозависимый вклад в двухточечную функцию Грина калибровочного суперполя N = 1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованнойс помощью размерной редукции. Показано, что факторизация интегралов,определяющих β-функцию N = 1 СКЭД с Nf ароматами, в интегралы отδ-функций имеет свой аналог для трехпетлевых схемнозависимых вкладовв β-функцию в случае, когда теория регуляризована с помощью размерной21редукции.

Для найденного аналога приведено явное выражение до третьего порядка теории возмущений включительно. Показано, что найденнаяструктура связывает двухточечные функции Грина калибровочного и материальных суперполей, как это делают интегралы от δ-функции в теории,регуляризованной с помощью высших ковариантных производных.В Параграфе 3.3 произведена проверка результата для трехпетлевойβ-функции N = 1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованной с помощьюразмерной редукции, в DR-схеме.В Главе 4 на основе найденных аналогов интегралов от δ-функции, длятеории, регуляризованной с помощью размерной редукции, была найденасвязь ренормгрупповых функций, выраженных в терминах голой константы связи.

Показано, что если ренормгрупповые функции выражены в терминах голой константы связи, то для N = 1 СКЭД с Nf ароматами NSVZсоотношение не выполнено, если же ренормгрупповые функции выражены в терминах перенормированной константы связи, то NSVZ-соотношениетакже не выполнено в DR-схеме, однако, были найдены граничные условия, накладываемые на константы перенормировки, с помощью которыхбыла получена NSVZ-схема до третьего порядка теории возмущений включительно.В Параграфе 4.1 вычисляется аномальная размерность суперполей материи, выраженная в терминах голой константы связи.

С помощью найденной связи двухточечных функций Грина калибровочного и материальных суперполей, устанавливающейся благодаря найденному аналогу интеграла от δ-функции, в теории, регуляризованной с помощью размерной22редукции, было получено аналитическое выражение для аддитивной поправки к NSVZ-соотношению рассматриваемой теории. Показано, что дляренормгрупповых функций, выраженных в терминах голой константы связи, NSVZ-соотношение не выполняется, а β-функция явно зависит от ε.В Параграфе 4.2 формулируются граничные условия для констант перенормировки в случае, когда теория регуляризована с помощью высшихковариантных производных, определяющие NSVZ-схему.

Интегрированием ренормгрупповых уравнений получены выражения для констант перенормировки теории, регуляризованной с помощью размерной редукции врассматриваемом порядке теории возмущений. Далее строятся граничныеусловия для констант перенормировки в случае, когда теория регуляризована с помощью размерной редукции в DR-схеме, определяющие условиясовпадения соответствующих ренормгрупповых функций, выраженных втерминах перенормированной и голой констант связи.

Затем данный результат проверяется для трехпетлевой β-функции и двухпетлевой аномальной размерности суперполей материи.В Параграфе 4.3 строится конечная перенормировка констант связи,связывающая DR и NSVZ схемы, которая позволяет получить граничныеусловия, накладываемые на голую константу связи и константу перенормировки суперполей материи. Далее, с помощью найденных граничныхусловий были найдены конечные константы, определяющие NSVZ-схему.23Глава 1N = 1 суперсимметричная теорияЯнга–Миллса, регуляризованнаявысшими ковариантнымипроизводными с сохранениемБРСТ-инвариантности1.1Действие для N = 1 суперсимметричнойкалибровочной теории Янга–МиллсаРассмотрим наиболее общую, перенормируемую N = 1 суперсимметричную теорию Янга–Миллса в безмассовом случае.

Действие такой теории, выраженное в терминах N = 1 суперполей [83, 84], имеет вид:24∫∫1142aS = 2 Re tr d x d θ W Wa +d4 x d4 θ ϕ∗i (e2V )i j ϕj2e04(1 ∫)ijk42+d x d θ λ0 ϕi ϕj ϕk + c.c. ,6(1.1)гдеe0λijk0— голая константа связи;— константы Юкавы.Калибровочное суперполе V может быть разложено по эрмитовым генераторам T A калибровочной группы G:V = e0 V A T A .(1.2)Киральные суперполя материи ϕi ∈ R, где R — представление группы G,которое, вообще говоря, может быть приводимым.

Из эрмитовости калибровочного суперполя следует, что коэффициенты V A —вещественные суперполя. Калибровочно-ковариантная напряженность суперполя имеет вид1Wa ≡ D̄2 (e−2V Da e2V ) = e0 WaA tA .8(1.3)Данное суперполе является киральным. Для того что бы теория (1.1) былакалибровочно-инвариантной, должно быть выполнено следующее условие,накладываемое на юкавские константы:λijm (T A )m k + λimk (T A )m j + λmjk (T A )m i = 0.(1.4)Тогда действие будет инвариантно относительно калибровочных преобразований, которые в матричной форме могут быть представлены какϕ → eA ϕ;e2V → e−A e2V e−A ,+25(1.5)гдеA— произвольное киральное суперполе.Напряженность калибровочного суперполя под действием данных преобразований перейдет вWa → eA Wa e−A .(1.6)Здесь также были использованы матричные обозначения, которые в индексной форме явно представляются какϕi → (eA )i j ϕj ,и т.д.(1.7)Также удобно ввести суперполе Ω с помощью равенства:+e2V ≡ eΩ eΩ .1.2(1.8)Формализм фонового поля в N = 1суперпространствеВ отличии от обычной процедуры квантования, где калибровочная инвариантность нарушается за счет члена, фиксирующего калибровку, методфонового поля [85, 86, 87] позволяет во всей полноте воспользоваться достоинствами ковариантного подхода.

Суть данного метода заключается вразделении калибровочного суперполя на фоновое и квантовое суперполяи подборе фоново инвариантного члена, фиксирующего калибровку. Такаяпроцедура позволяет получить фоново инвариантный функционал, из которого строится явно калибровочно инвариантное, относительно фоновыхпреобразований, эффективное действие. Особенностью метода фонового26поля в суперпространстве является нелинейное разбиение калибровочногосуперполя, в отличии от обычного пространства, вызванное нелинейнымхарактером калибровочного преобразования.Таким образом, благодаря ненарушенной фоновой симметрии, фоновоеполе не перенормируется, что существенно упрощает вычисление ренормгрупповых функций.

А именно, для вычисления β-функции в методе фонового поля нам необходимо вычислять двухточечные диаграммы с внешними линиями фонового поля, тогда как при использовании обычного подхода, потребовались бы ещё и трехточечные диаграммы.Перейдем к формулированию метода фонового поля. Разделение калибровочного суперполя на квантовую и фоновую составляющие в N = 1суперпространстве определяется какeΩ → eΩ eΩ ,+e2V → eΩ e2V eΩ .так что(1.9)Определим фоновое калибровочное суперполе V :+e2V = eΩ eΩ .(1.10)Построенное разбиение позволяет получить теорию, инвариантную относительно двух калибровочных преобразований, а именно, фоновых:eΩ → eiK eΩ e−A ;eΩ → eΩ e−iK ;V → eiK V e−iK ;ϕ → eA ϕ,(1.11)гдеK— произвольное эрмитово суперполе;A— киральное суперполе, принадлежащее алгебре Ли группы G,27и квантовых калибровочных преобразований:e2V → e−A e2V e−A ;++eΩ → eΩ ;+eΩ → eΩ ;ϕ → e−Ω eA eΩ ϕ,(1.12)гдеA— произвольное эрмитово суперполе, удовлетворяющееусловию фоновой киральности,¯ ȧ A = 0.∇(1.13)Здесь были введены калибровочные суперсимметричные фоново ковариантные производные:∇a = e−Ω Da eΩ ;+¯ ȧ = eΩ D̄ȧ e−Ω .∇+(1.14)Из этого определения следует, что суперсимметричная фоново ковариантная производная, действующая на суперполе S, преобразуется под действием фоновой калибровочной симметрии (1.11) так же, как и само суперполе S, при условии что S → eiK S.