Диссертация (Квантовые поправки в суперсимметричных теориях при использовании различных регуляризаций), страница 10

Введем параметр ΛG , который определяется как√ε(ΛG )ε ≡ G(1, 1)( 4πΛ)ε ,2(4.16)вместо Λ. Затем, после некоторых преобразований с использованием хорошо известных соотношений:Γ(1 + x) = xΓ(x);B(x, y) =Γ(x)Γ(y),Γ(x + y)(4.17)выражение для ∆β может быть приведено к виду:∆β(α0 ) =α04 (Nf )2π3(· lim(4.18)ε→0( Λ )ε(B(1 − ε/2, 1 − ε)1 ( ΛG ) ε )2G1−ε(1 − ε2 ) pB(1 + ε/2, 1 + ε/2)B(1 − ε/2, 1 − ε/2)4 p)()ε1B(1 − ε/2, 1 − 3ε/2)ΛG1−.−ε(1 − 9ε2 /4) pB(1 + ε/2, 1 + ε)B(1 − ε/2, 1 − ε/2) εПредел в этом выражении может быть легко взят с помощью соотношения:B(1 + xε, 1 + yε) = 1 − (x + y)ε + O(ε2 ).(4.19)После некоторых простых преобразований получаем, что11)α04 (Nf )2 (−− .∆β(α0 ) =π32ε 4(4.20)Таким образом, для теории, регуляризованной с помощью размернойредукции, β-функция, определенная в терминах голой константы связи,92может быть представлена в виде:)β(α0 ) Nf (=1 − γ(α0 )α02πα04 (Nf )2 (11)+−−+ O(α02 Nf ) + O(α03 ).3π2ε 4(4.21)Из этого соотношения мы можем увидеть, что в отличии от теории, регуляризованной высшими производными, ренормгрупповые функции, определенные в терминах голой константы связи, не удовлетворяют NSVZсоотношению.

Более того, заметим, что β-функция, определенная в терминах голой константы связи с помощью (4.1), явно зависит от ε. Однако,далее будет показано, что β-функция, определенная через перенормированную константу связи, ε-независима. Более того, мы увидим, что −1/4во втором слагаемом определяет конечную перенормировку, связывающуюDR и NSVZ схемы.4.2DR-схемаВ предыдущем параграфе были рассмотрены ренормгрупповые функции, определенные через голую константу связи.

Однако, обычно ренормгрупповые функции определяют через перенормированную константу связи:dα eβ(α) ≡;d ln µ α0 =constd ln Z γe(α) ≡,d ln µ α0 =const(4.22)где µ — масштаб перенормировки. Хорошо известно, что эти функции схемно зависимы. Для теории, регуляризованной высшими производными, обаопределения (4.1) и (4.22) для β-функции и аномальной размерности совпа93eдают (β(α)= β(α); γe(α) = γ(α)), если выполнены следующие граничныеусловия:α0 (α, x0 ) = α;Z(α, x0 ) = 1,(4.23)накладываемые на константы перенормировки [56, 57, 99].Здесьx0ΛHD— фиксированная величина ln ΛHD /µ;— размерный параметр, регуляризованнойвысшими производными, теории, которыйработает по тому же принципу что и УФ обрезание.Граничные условия (4.23) (которые эквивалентно могут быть представлены как (3)) определяют НШВЗ схему рассматриваемой теории, регуляризованной высшими производными.Теперь, найдем аналоги этих условий для теории, регуляризованной размерной редукцией.

Существуют два главных различия:1. Ренормгрупповые функции, определенные в терминах голой константы связи, не удовлетворяют NSVZ соотношению (4.21).2. Константы перенормировки зависят не только от ln Λ/µ, но ещё иот ε.Заметим, что обычно при использовании размерной редукции полагают,что Λ = µ. Однако, мы не будем использовать данное условие, для того,чтобы вычисления в теории регуляризованной размерной редукции былиподобны вычислениям, выполняемым в теории, регуляризованной высшими производными. Поэтому, при конструировании DR-схемы мы включаем94только ε-полюсы и степени ln Λ̄/µ в константы перенормировки.Рассмотрим функции α0 (α, ε, x) и Z(α, ε, x), где x ≡ ln Λ̄/µ. Например,для рассматриваемой N = 1 СКЭД, интегрируя ренормгрупповые уравнения (4.1) и учитывая соотношения (4.8), (4.21), мы получаем:) αN ( 1)1 Nf ( 1Λ̄Λ̄1f= −+ ln + b1 − 2+ ln + b2(4.24)α0 (α, ε, x) απ εµπ2εµ)α2 Nf2 ( 111Λ̄ b1 1 2 Λ̄Λ̄ 3 Λ̄− 3−+ln ++ ln+ b1 ln − ln + b3π6ε2 4ε 2ε µ 2ε 2µµ 4 µ+O(α2 Nf ) + O(α3 );) α2 (α(1Λ̄11 Λ̄g12 )ln Z(α, ε, x) =+ ln + g1 + 2 −− ln + g2 −(4.25)π εµπ4ε 2 µ21 Λ̄ 1 2 Λ̄11 Λ̄ b1Λ̄ )α 2 Nf ( 1+ ln + ln−− ln + + b1 ln+ 2π2ε2 ε µ 2µ 4ε 2 µεµ+O(α3 ).Отметим, что для определения зависимости от ε рассматриваемого выражения, необходимо учесть, что L-петлевые, линейные по 1/ε и ln Λ̄/µ,члены в DR-схеме всегда присутствуют в виде следующей комбинации:1Λ̄+ ln .Lεµ(4.26)Полюсы более высоких порядков по ε могут быть найдены с помощью стандартной ренормгрупповой техники [100, 101].

Однако, выражения(4.24) и (4.25) определены не однозначно, так как зависят от выбора схемыперенормировки. Данная неоднозначность вызвана наличием произвольных, конечных констант bi и gi . Для определения схемы перенормировки95необходимо фиксировать данные константы с помощью специального дополнительного предписания.Рассмотрим с формальной точки зрения предел ε → ∞ в соотношениях(4.24) и (4.25). Как и в случае регуляризации высшими производными,после перехода к этому пределу, константы перенормировки зависят толькоот x = ln Λ̄/µ. По построению, DR-схема определяется какα0 (α, ε → ∞, x = 0) = α;Z(α, ε → ∞, x = 0) = 1.(4.27)(Первое равенство может быть записано, как Z3 (α, ε → ∞, x = 0) = 1.) Этисоотношения являются аналогами (4.23), если после подстановки ΛHD →Λ положить x0 = 0.

Таким образом, повторяя рассуждения работы [56]получаем, чтоeβDR (α) = lim β(α0 , ε)ε→∞;α0 =αγeDR (α) = lim γ(α0 , ε)ε→∞.(4.28)α0 =αСледовательно, ренормгрупповые функции, определенные в терминахголой константы связи, после исключения ε-полюсов, совпадают с соответствующими ренормгрупповыми функциями в DR-схеме.Для проверки этого утверждения рассмотрим указанный выше пример.После некоторых простых преобразований из соотношений (4.24) и (4.25)получаемα 2 Nf (α 3α2 Nf )eβDR (α) =1+ −+ O(α4 Nf ) + O(α5 )2ππ4π= lim β(α0 , ε);ε→∞(4.29)α0 =αα2α3γeDR (α) = − + 2 (1 + Nf ) + O(α ) = lim γ(α0 , ε).

(4.30)ε→∞α0 =απ 2π96Таким образом, мы проверили, что соотношения (4.28) действительновыполнены для рассматриваемого примера. Сравнивая выражения дляβ-функции и аномальной размерности суперполей материи в DR-схеме, мывидим, что аналог NSVZ соотношения может быть представлен в виде:) α2 (N )2βeDR (α) Nf (f(α)−1−γe=+ O(α3 ).DR23απ4π(4.31)Это соотношение согласуется с результатами статьи [39], где β-функцияи аномальная размерность суперполей материи были вычислены по отдельности. Отметим, что при выводе (4.31) было учтено, что в абелевом случае,члены, линейные по Nf , схемно независимы во всех порядках теории возмущения [102] и всегда удовлетворяют NSVZ соотношению [57]. Выражение(4.31) совпадает с (4.21) в пределе ε → ∞ с точностью до замены α ↔ α0 ,что согласуется с аргументами, представленными выше.4.3NSVZ-схема в трехпетлевом приближенииТеперь построим граничные условия, аналогичные условиям (4.23), дляслучая регуляризации размерной редукции в рассматриваемом приближении.

Хорошо известно, что NSVZ и DR схемы могут быть связаны с помощью конечной перенормировки [39, 41, 44]:α′ = α′ (α);ϕ′R = z(α)−1/2 ϕR ,(4.32)где α′ (α) и z(α) конечные функции. Учитывая, чтоZ ′ (α′ , Λ/µ) = z(α)Z(α, Λ/µ),97(4.33)после конечной перенормировки (4.32) ренормгрупповые функции изменятся следующим образом:dα′ (α) dα′ dα dα′ e′′eβ (α ) ===· β(α);d ln µ α0 =constdα d ln µ α0 =constdα(4.34)d ln Z ′ (α′ , Λ/µ) ′′γe (α ) =α0 =constd ln µd ln z dα d ln Z(α, Λ/µ) d ln z e+=· β(α) + γe(α).=α0 =constdα d ln µ α0 =constd ln µdαБудем считать, что α = αDR , α′ = αNSVZ и z(α) = 1.

Из соотношений,представленных выше, получаем, что [57, 103]:)dα α′2 Nf (eβ(α) = ′ ·1−γe(α) ′ ′ ;α =α (α)dαπγe(α) = γe′ (α′ ).(4.35)Используя эти соотношения и (4.31), возможно связать константы связив DR и NSVZ схемах [39]:α 3 Nfα =α++ O(α4 ).24π′(4.36)DR-схема определяется граничными условиями (4.27). Поэтому, NSVZсхема будет определяться какα′3 Nf+ O(α′4 );lim α0 (α , ε, x0 = 0) = α −2ε→∞4π′′lim Z (α , ε, x0 = 0) = 1.′′(4.37)ε→∞Полученные граничные условия являются трехпетлевым DREDаналогом соотношений (4.23).

Они отличаются от условий (4.27), так как98NSVZ схема связанна с DR-схемой с помощью конечной перенормировки.Граничные условия (4.37) определяют значения конечных констант в (4.24)и (4.25):g1 = g2 = 0;b1 = 0;1b2 = − .4(4.38)Легко явно проверить, что в этом случае NSVZ соотношение для ренормгрупповых функций, определенных в терминах перенормированных констант связи, действительно выполняется.99ЗаключениеСформулируем основные результаты, полученные в диссертации.• В трехпетлевых схемно зависимых интегралах, дающих вклад вβ-функцию (определенную в терминах голой константы связи) N = 1СКЭД с Nf ароматами, регуляризованной с помощью размерной редукции,были найдены структуры, которые выполняют ту же роль, что и интегралыот δ-функции, возникающие при использовании регуляризации высшимипроизводными.• С помощью найденных аналогов интегралов от δ-функции для теории, регуляризованной с помощью размерной редукции, была построенасвязь 3-х петлевой β-функции с 2-х петлевой аномальной размерностьюсуперполей материи.• Показано, что в отличие от регуляризации высшими производными,NSVZ-соотношение не справедливо для ренормгрупповых функций, определенных в терминах голой константы связи для теории, регуляризованнойразмерной редукцией.100• Для ренормгрупповых функций, определенных в терминах перенормированной константы связи, были построены граничные условия для констант перенормировки, дающие NSVZ-схему в случае теории, регуляризованной с помощью размерной редукции.• Для неабелевой N = 1 суперсимметричной теории Янга–Миллса,регуляризованной высшими ковариантными производными с сохранением БРСТ-инвариантности, был вычислен вклад в β-функцию от духовНильсена–Каллош.• Было показано, что вклад в β-функцию (определенную в терминах голой константы связи) от духов Нильсена–Каллош может быть представленв виде интеграла от двойной полной производной.101Работа была выполнена на кафедре теоретической физики МосковскогоГосударственного Университета имени М.В.

Ломоносова.В заключение автор хотел бы выразить искреннюю благодарность научному руководителю ведущему научному сотруднику Лобанову А.Е. и доценту Степаньянцу К.В. (кафедра теоретической физики физического факультета МГУ) за постоянное внимание и помощь при выполнении даннойработы.Автор признателен ведущему научному сотруднику Катаеву А.Л. (отделтеоретической физики ИЯИ РАН) за внимание к работе, полезные обсуждения и результативное сотрудничество, а также доценту Пронину П.И.(кафедра теоретической физики физического факультета МГУ) за внимание и поддержку.102Литература[1] Гольфанд Ю. А., Лихтман Е.

П. Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение P-инвариантности. // Письма вЖЭТФ. – 1971. – 13. – с. 452 – 455.[2] Coleman S., Mandula J. All possible symmetries of the S matrix. //Phys.Rev. – 1967. – 159. – p. 1251 – 1256.[3] Акулов В. П., Волков Д. В. О возможном универсальном взаимодействии нейтрино. // Письма в ЖЭТФ. – 1972.