Диссертация (Квантовые поправки в суперсимметричных теориях при использовании различных регуляризаций), страница 5

Тождества Славнова–Тейлора обеспечивают поперечность всех квантовых поправок для функции Грина квантового37калибровочного суперполя, поэтому соответствующая часть эффективногодействия может быть записана в виде:(2)(2)ΓV,c − Sgf =∫1d4 p 4− 2 trd θ V (θ, −p) ∂ 2 Π1/2 V (θ, p) GV (α0 , λ0 , Λ/p)(1.48)2e0(2π)4∫)d4 p 4 (1+++ 2 trd θ − c̄(θ, −p)c (θ, p) + c̄ (θ, −p)c(θ, p) Gc (α0 , λ0 , Λ/p).2e0(2π)4Затем, константы перенормировки ZV и Zc могут быть получены из требования конечности выражений:ZV2 GV()α0 (α, λ, Λ/µ), λ0 (α, λ, Λ/µ), Λ/p)Zc Gc α0 (α, λ, Λ/µ), λ0 (α, λ, Λ/µ), Λ/p(и(1.49)в пределе Λ → ∞, соответственно.1.5Ренормгрупповые функцииОбычно ренормгрупповые функции определяются в терминах перенормированной константы связи следующим образом [96]:() dα(α , λ , Λ/µ) 00eβ α(α0 , λ0 , Λ/µ) ≡;(1.50)α0 ,λ0 =constd ln µ()j() d ln(Zϕ )i α(α0 , λ0 , Λ/µ), Λ/µ j, (1.51)(eγϕ )i α(α0 , λ0 , Λ/µ) ≡α0 ,λ0 =constd ln µгде µ—масштаб перенормировки.

Хорошо известно, что эти функции схемно зависимы.38Как было отмечено ранее, в большинстве работ, посвященных NSVZсоотношению, используют ренормгрупповые функции, выраженные в терминах голой константы связи. Приведем определения этих функций и ихсвойства. β-функция, определенная через голую константу связи, имеетвид:dα0 (α, λ, Λ/µ) β(α0 , λ0 ) =.α,λ=constd ln Λ(1.52)Дифференцируя первое соотношение в (1.41) по ln Λ, мы можем связатьβ-функцию с Zα :d ln Zα β(α0 , λ0 ) = −α0.d ln Λ α,λ=const(1.53)Для вычисления β-функции удобно использовать выражение)d ( −1dα0−1 (α, λ, Λ/µ) β(α0 )−1 ,d (α0 , λ0 , Λ/p) − α0 ==−p=0d ln Λd ln Λα02(1.54)в котором производная по ln Λ берется при фиксированных значениях перенормированной константы связи α и констант Юкавы λijk в пределе нулевого внешнего импульса p.Аномальная размерность суперполей материи, выраженнная в терминахголой константы связи, определяется как:d ln(Zϕ )i j (α, λ, Λ/µ) (γϕ )i (α0 , λ0 ) ≡ −α,λ=constd ln Λd ln(Gϕ )i j (α0 , λ0 , Λ/p) =α,λ=const;d ln Λj(1.55).p=0Так как дифференцирование производится при фиксированных значенияхα и λ, то прежде чем производить его, необходимо выразить α0 через α,39λ и Λ/µ.

Из этого следует, что на промежуточном шаге вычисления ренормгрупповых функций возникает зависимость от схемы перенормировки. Однако, как показано в работе [56], окончательные выражения для ренормгрупповых функций, определенных в терминах голой константы связи, зависят от регуляризации, но не зависят от схемы перенормировки прификсированной регуляризации.40Глава 2Вклад духов Нильсена–Каллош вβ-функцию N = 1 суперсимметричнойтеории Янга–Миллса,регуляризованной высшимиковариантными производными ссохранением БРСТ инвариантности2.1Духи Нильсена–КаллошКак известно [82], для выделения из функционального интеграла структуры, которая бы однократно учитывала каждую физическую конфигурацию, применяют метод Фаддеева–Попова. В суперсимметричном случае41данный метод заключается в добавлении единицы, представленной в виде∫¯ 2 V A − f ),1 = ∆ФП dA δ(∇2 V A − f¯)δ(∇(2.1)в функциональный интеграл, гдеVA—суперполе, преобразованное с помощьюквантовых калибровочных преобразований(1.12) с параметром A;∆ФП—детерминант Фаддеева–Попова.Таким образом, выделяемое физическое подпространство ограниченокалибровочными орбитами, определяемыми условиями фиксации калибровки:¯ 2 V A = f,∇2 V A = f¯ и ∇(2.2)здесь f¯ и f — фоново ковариантные, киральные, четные функции.

Так какисходный функциональный интеграл не зависит от f и f¯, то он может бытьусреднен по всем возможным калибровкам с помощью гауссовой функции∫( [ + ( ∇)¯ 2 ∇2 ) ]ΩΩDf Df¯ exp f¯ e K −ef ,(2.3)Adj16Λ2где граничные условия на регулятор K определены в Параграфе 1.3. Длянормирования выражения (2.3) на единицу, необходимо умножить его насоответствующий определитель.

Так как этот определитель зависит от фонового поля Ω, то он не может быть включен в нормировочную константуфункционального интеграла, а должен быть устранен с помощью дополнительного усреднения функционального интеграла с гауссовой весовой42функцией от духовых полей с противоположной по отношению к f статистикой. Такие поля называются духами Нильсена–Каллош [75, 76]. Таккак духи Нильсена–Каллош входят в действие теории только квадратичным образом и не взаимодействуют с квантовыми полями, то их пертурбативный вклад исчерпывается одной петлей.2.2Регуляризация однопетлевых расходимостей длядухов Нильсена–КаллошВычислим вклад духов Нильсена–Каллош в двухточечную функциюГрина фонового суперполя. Возьмем для определенности регулятор K ввиде:(K =1+¯ 2 ∇2 )n∇−.16Λ2(2.4)Известно, что такая регуляризация приводит к появлению высших производных в пропагаторах теории и, как следствие, конечности всех диаграмм выше однопетлевого приближения.

Однако, в одной петле появляются дополнительные вершины, приводящие к расходящимся диаграммам.Для устранения таких расходимостей обычно используют регуляризациюПаули–Вилларса [26, 88]. Воспользуемся данной процедурой для устранения однопетлевых расходимостей, ассоциированных с духами Нильсена–Каллош.

В отличии от введенной ранее регуляризации (1.35), при вычислении вклада духов Нильсена–Каллош в β-функцию нам будет удобнеепроизвести регуляризацию Паули–Вилларса только для духов Нильсена–Каллош. Для этого введем в производящий функционал детерминант43Паули–Вилларса:( i ∫Det(PV, m) = DbP V exptr d4 x d4 θ22e0[(()¯ 2 ∇2 n ) ]∇+Ω×b+1+ −eΩbP VPV e216ΛAdj∫∫ii2+ 2 tr d4 x d2 θ b2P V m + 2 tr d4 x d2 θ̄ (b+PV ) m2e02e0∫∫)ii42+42+2 2 tr d x d θ̄ bP V η̄ + 2 2 tr d x d θ ηbP V ,e0e0−1∫где b̄P V и bP V — киральные, коммутирующие суперполя.

Таким образом,вклад в функциональный интеграл духов Нильсена–Каллош имеет вид∫NKZ [µ, η] = N Db Det(PV, m)−1 ×[(( i ∫( ∇¯ 2 ∇2 )n ) ]+exptr d4 x d4 θ b+ eΩ 1 + −eΩb (2.5)222e016ΛAdj∫∫)ii+4242+2 2 tr d x d θ̄ b µ̄ + 2 2 tr d x d θ µb ,e0e0где b̄ и b — киральные, антикоммутирующие суперполя.2.3Cвободные двухточечные связные функции Гринадля духов Нильсена–КаллошДля вычисления квантовых поправок связанных с духами Нильсена–Каллош необходимо найти свободные двухточечные связные функции Грина (пропагаторы) для духов Нильсена–Каллош и соответствующих полейПаули–Вилларса:δ 2 W0N K [µ, η] −i ,δj(1)δj(2) j=044(2.6)гдеj— источники, которые могут принимать значенияµ, µ̄, η, η̄;W0N K— производящий функционал связных функцийГрина для свободной теории, которыйопределяется в (1.40) с помощью амплитуды переходавакуум—вакуум для свободной теории Z0N K :{( 1 δ 1 δ )}Z N K [µ, η] = exp i S int,Z0N K [µ, η].i δµ i δη(2.7)Функционал Z0N K может быть получен из (2.5) с помощью перехода ксвободной части действия.

Такой переход осуществляется с помощью следующих замен в (2.5):¯ 2 ∇2∇16+Ωи Ω−→∂ 2;→0.(2.8)Далее необходимо вычислить функциональный интеграл Z0N K по полямb и bP V . Так как он является гауссовым, результат вычисления имеет вид∫( ∫iZ0N K [µ, η] = N0 exp 2 tr d4 x d2 θ̄ b+d4 x d2 θ ηbP VP V η̄ + tre0∫∫)42+42+tr d x d θ̄ b µ̄ + tr d x d θ µb ,(2.9)здесь b+ , b+P V , b, bP V — функции источников, получающиеся при решенииклассических уравнений движения. После подстановки решений в (2.9),45амплитуда перехода вакуум—вакуум для свободной теории примет вид( ∫{44NKZ0 [µ, η] = N0 exp i d x d θµs−η s[1(∂2 1 +∂ 2nΛ2n) µ̄s + η s(1+(∂2 1 +2∂2 ∂2(∂ 2nΛ2n)∂ 2n 22nΛ2)+ m2η̄smD /8mD̄ /8] ηs − η̄ s [ (] η̄s))2∂ 2n∂ 2n 222221 + Λ2n + m∂ ∂ 1 + Λ2n + m(2.10))}Далее с помощью (2.6) находим двухточечные связные функции Грина длясвободной теории:⟨8⟨⟩i D̄12 D12 δ12+(),b(1)b (2) ≡ 0|T b(1)b (2)|0 = −4 ∂ 2 1 + Λ∂ 2n2n()∂ 2n2 2 8⟨⟩i 1 + Λ2n D̄1 D1 δ12+bP V (1)bP V (2) = −,()24 ∂ 2 1 + ∂ 2n2+m2n+⟩(2.11)(2.12)Λ8⟨ +⟩D12 δ12im+bP V (1)bP V (2) = −,()22 ∂ 2 1 + ∂ 2n2+mΛ2n8D̄12 δ12im⟨bP V (1)bP V (2)⟩ = −.()22 ∂ 2 1 + ∂ 2n2+m2n(2.13)(2.14)Λ2.4Фейнмановские правила для духовых вершинНильсена–Каллош, дающих вклад в β-функциюПерейдем с помощью фоновых калибровочных преобразований кΩ = Ω+ = V калибровке.

Часть действия, отвечающего за взаимодействие,в такой калибровке запишется в виде:46Sint1= 2 tr2e0∫+b+PV[ (( ∇¯ 2 ∇2 )n ) ]Vd xd θ b e1+ −eVb216ΛAdj[ ()( ∇¯ 2 ∇2 )n ) ]VVe1+ −ebP V .(2.15)16Λ2Adj44(+Так как, с точностью до переобозначения полей, вершины для духовНильсена–Каллош и соответствующих полей Паули–Вилларса имеют одинаковою структуру, то будем, для определенности, строить правила Фейнмана для вершин с духами Нильсена–Каллош.Для вычисления двухточечных функций Грина фоновых калибровочных суперполей нам потребуются вершины, изображенные на Рис. 2.1.Рис.

2.1: Вершины, необходимые для вычисления вкладов духов Нильсена–Каллош вβ-функцию.Построим первую вершину. Выделим из (2.15) часть взаимодействия, отвечающего первой вершине с одним фоновым калибровочным суперполеми двумя духами Нильсена–Каллош:i= 2 tr2e0∫{( D̄2 D2 )n++d x d θ 2[b , V ]b − [V , b ] −b16Λ244(2.16)∑(1 )n + (2 2 n(D̄2 D2 )n−i [2V , (D̄2 D2 )i b]+ −b [V , (D̄ D ) b] +216Λi=0))}2 2 n−i−1 222 2 i+(D̄ D )D̄ [−2V , D (D̄ D ) b].(n−147Далее будем полагать, что генераторы фундаментального представления калибровочной группы нормированы следующим образом:1T (фунд.) ≡ .2(2.17)Переходя в импульсное представление, раскладывая поля по генераторам калибровочной группы:ϕ = e0 ϕs (Ts )a b ;[Ts , Tt ]a b = ifst p (Tp )a b ;(2.18)(Ts )a b (Tt )b a = δst T (R)и учитывая тождество (1.20), мы можем вычислить суммы образовавшихсягеометрических прогрессий.

Далее представим результат суммирования вкоординатном представленииe0 fabc= − 2n4Λ∫{d x d θ 2Λ2n b+c V a bb + 2b+c V a ∂ 2n bb44←−→−←−−→}∂ 2n − ∂ 2n b1 2 +c ∂ 2n − ∂ 2n 2 baa+2∂ b ←−→− b · V + 8 D̄ b ←−−→ D b ·V∂2− ∂2∂2− ∂2(2.19)2 +cДля удобства дальнейших вычислений, введем дифференциальный оператор←−−→←→ def ∂ 2(n−i) − ∂ 2(n−i)Pi =,←−−→∂2− ∂2(2.20)здесь стрелка указывает на соседнее с оператором поле на которое действует оператор. Первая вершина в таких обозначениях примет вид:48e0 fabc= − 2n4Λ∫{d x d θ 2Λ2n b+c V a bb + 2b+c V a ∂ 2n bb4←→+2∂ 2 b+c P0 bb4}→ 2 b1 2 +c ←a· V + D̄ b P0 D b · V .8a(2.21)Перейдем к построению второй вершины. Выделим из (2.15) часть взаимодействия отвечающего второй вершине∫i= 2 tr2e044{d xd θ( D̄2 D2 )n1+2[V , [V , b ]]b + [V , [V , b ]] −b216Λ2n−1(1 )n + [ ∑+ −b2(D̄2 D2 )i [V , [V , (D̄2 D2 )n−i b]]216Λi=1+1+ [V , [V , (D̄2 D2 )n b]] + 2(D̄2 D2 )n [V , [V , b]]2n−1∑+4(D̄2 D2 )i [V , (D̄2 D2 )n−i [V , b]] + 2[V , (D̄2 D2 )n [V , b]]+2i=1n−2∑ n−i−2∑(D̄2 D2 )n−i−j−2 [V , (D̄2 D2 )j+1 [V , (D̄2 D2 )i+1 b]]i=0j=0n−3 n−i−3∑∑+2(D̄2 D2 )i+1 [V , (D̄2 D2 )j+1 [V , (D̄2 D2 )n−i−j−2 b]]i=0j=0n−2 n−j−2∑∑−4(D̄2 D2 )i+1 [V , (D̄2 D2 )j D̄2 [V , (D2 D̄2 )n−i−j−2 D2 b]]j=0i=0n−1∑−2[V , (D̄2 D2 )j D̄2 [V , (D2 D̄2 )n−j−1 D2 b]]j=049(2.22)n−1∑+2(D̄2 D2 )i D̄2 [V , [V , D2 (D̄2 D2 )n−i−1 b]]i=0n−2 n−2−i∑∑(D̄2 D2 )j D̄2 [V , (D2 D̄2 )i+1 [V , D2 (D̄2 D2 )n−i−j−2 b]]+4i=0j=0n−2 n−i−2∑∑−4(D̄2 D2 )i D̄2 [V , (D2 D̄2 )n−i−j−2 D2 [V , (D̄2 D2 )j+1 b]]i=0j=0n−1]∑2 2 j 22 2 n−j−1 2−4(D̄ D ) D̄ [V , (D D̄ )D [V , b]](j=0(1 )n+− −[V , b ] [V , (D̄2 D2 )n b]216Λn−1(∑+(D̄2 D2 )n−i [2V , (D̄2 D2 )i b]i=022 n−i−1+(D̄ D )))}D̄ [−2V , D (D̄ D ) b]2222 iДля вычисления сумм в (2.22) произведем аналогичные действия, которые были произведены для получения (2.21), в результате получаем, чтовторая вершина в координатном представлении может быть представленав видеie2= 0 fca ξ fξts4∫{1 +c a t 2n sb V V ∂ b2Λ2n←−2(n−1) −→(1 )n [− ∂ 2(n−1) 2 c a tn 2 +s ∂− 2(−16) ∂ b+ −∂ bV V←−−→16Λ2∂2− ∂21(2.23)− (−16)n b+s ∂ 2n bc V a V t − 2(−16)n ∂ 2n b+s bc V a V t2←−2(n−1) −→− ∂ 2(n−1) 2 2 c a tn−1 2 +s ∂−4(−16) ∂ bD̄ D (b V )V←−−→∂2− ∂2−2(−16)n−1 b+s ∂ 2(n−1) D̄2 D2 (bc V a )V t44d xd θ− 2b+c V a V t bs −50−2(n−1) −→2(n−1)([←]1∂−∂n−12 +s2 22 c a−2(−16)∂ b ←∂ b V Vt−2 −→2 D̄ D←−2 −→2∂ − ∂∂ − ∂←−2(n−1) −→2(n−1) ] )[1∂−∂2 2 22 c−b+s ←Va Vt−2 −→2 ∂ D̄ D ∂ b←−2 −→2∂ − ∂∂ − ∂−2(n−2) −→2(n−2)([←]− ∂1n−12 +s 2 2 ∂4 cat+2(−16)∂ b D̄ D∂ b ←←−2 −→2−2 ←→2 V V∂ − ∂∂ − ∂←−2(n−2) −→2(n−2)[] )1− ∂2 2 22 cat2 +s ∂∂ D̄ D ∂ b ←−∂ b←−2 −→2−2 ←→2 V V∂ − ∂∂ − ∂←−−→(]2(n−1)− ∂ 2(n−1) 2 [1n−14 +s ∂2 c at+4(−16)∂ bD̄ ←←−2 −→2−2 −→2 D b V V∂ − ∂∂ − ∂←−←→[2(n−1)− ∂ 2(n−1) a ] t )12 2 c ∂2 +s 2V V−∂ b D̄ ←−−→ ∂ D b←−←→∂2− ∂2∂2− ∂ 2←−2n ←→[− ∂ 2n a ] tn−1 +s 22 c ∂+2(−16) b D̄ D b ←−←→ V V∂2− ∂ 2←−2n −→− ∂ 2n 2 c a tn−1 2 +s ∂−2(−16) D̄ b ←−−→ D bV V∂2− ∂2←−2(n−1) →−(]− ∂ 2(n−1) 2 2 [1n−22 2 +s ∂2 c at−4(−16)∂ D̄ bD D̄ ←←−2 →−2−2 −→2 D b V V∂ − ∂∂ − ∂←−←→[2(n−1)− ∂ 2(n−1) a ] t )12 +s 2 22 2 c ∂−D̄ b D D̄ ←V V−−→ ∂ D b←−←→∂2− ∂2∂2− ∂ 2−2(n−1) →−([←]− ∂ 2(n−1) 4 c1n−12 +s 2 ∂at+4(−16)D̄ b D∂ b ←←−2 →−2−2 ←→2 V V∂ − ∂∂ − ∂←−2(n−1) −→2(n−1)[] )− ∂12 +s ∂2 22 cat−D̄ b∂ D ∂ b ←←−2 −→2−2 ←→2 V V∂ − ∂∂ − ∂←−2n →− 2n]− ∂2 c atn−1 2 s ∂+4(−16) D̄ b ←−2 →− 2 D [b V ]V∂ − ∂(1 )n (− (−16)n V a b+c V t ∂ 2n bs+ −216Λ−2n ←→[ ←− ∂ 2n t ]n−1 a +c 2 2 s ∂−2(−16) V b D̄ D b ←−←→ V∂2− ∂ 251→←−2n ←[− ∂ 2n t ])}2 s ∂+2(−16) V b D̄ D b ←−←→ V∂2− ∂ 2Для удобства дальнейших вычислений введем следующие дифференциальn−1a +c2ные операторы:←−←→←→ def ∂ 2(n−i) − ∂ 2(n−i)Bi =;←−2 ←→2∂ − ∂←→ def1Q = ←−2 −→ ;∂ − ∂2←→ def1G = ←−2 ←→2 .∂ − ∂Тогда вторая вершина примет вид:ie20=−64∫44(2.24)(2.25)(2.26){d xd θ(1 +a b c 2n d )8fab fecd 4b V V b + 2n b V V ∂ bΛ←→fdb e feca [+32∂ 2 b+a · P1 · ∂ 2 bd · V b V c + 8b+a ∂ 2n bd V b V c(2.27)2nΛ←→+32∂ 2n b+a bd V b V c − 4∂ 2 b+a · P1 · D̄2 D2 (bd V b ) · V c←→←→+2b+a D̄2 (V b · B0 · D2 bd ) · V c − 2D̄2 b+a · P0 · D2 bd · V b V c←→−2b+a (D̄2 D2 )∂ 2(n−1) (bd V b )V c + 4D̄2 b+a · P0 · D2 (bd V b )V c(←→←→−2 ∂ 2 b+a Q D̄2 D2 ( P1 ∂ 2 bd · V b ) · V c)→ 2 2 2 2 d ←→+a ←bc−b Q ∂ D̄ D (∂ b · B1 · V ) · V(←→←→+2 ∂ 2 b+a D̄2 D2 ( P2 ∂ 4 bd · G · V b ) · V c)→ 2 2 2 2 d ←→2 +a ←bc−∂ b P2 ∂ D̄ D (∂ b · G · V ) · V(←→←→+4 ∂ 4 b+a · P1 · D̄2 ( Q D2 bd · V b ) · V c)→ 2 2 d ←→2 +a 2 ←bc−∂ b D̄ ( Q ∂ D b · B1 · V ) · Ve+abc d52→←→1 ( 2 2 +a ←+ ∂ D̄ b · P1 · D2 D̄2 ( Q D2 bd · V b ) · V c4)→ 2 2 d ←→2 +a 2 2 ←bc−D̄ b D D̄ ( Q ∂ D b · B1 · V ) · V(←→←→+4 D̄2 b+a · D2 ( P1 · ∂ 4 bd · G · V b ) · V c)→ 2 2 2 d ←→2 +a ←bc−D̄ b · P1 · ∂ D (∂ b · G · V ) · V←→+16V b b+d V c ∂ 2n ba − 2V b b+d D̄2 D2 (V c B0 ba )→ 2 a ]}b +d 2c←+2V b D̄ (V B0 D b ) .←→←→←→←→Дифференциальные операторы Pi , Q , Bi , G в (2.27) действуют по следующим правилам:1.