Диссертация (Квантовые поправки в суперсимметричных теориях при использовании различных регуляризаций)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА»Физический факультетКафедра теоретической физикиНа правах рукописиАлешин Сергей СергеевичКвантовые поправки в суперсимметричныхтеориях при использовании различныхрегуляризацийСпециальность01.04.02 – теоретическая физикаДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико–математических наукНаучный руководительдоктор физ.-мат. наукв.н.с. Лобанов А.Е.Москва2017СодержаниеВведение51 N = 1 суперсимметричная теория Янга–Миллса, регуляризованная высшими ковариантными производными с сохранением БРСТ-инвариантности241.1 Действие для N = 1 суперсимметричнойкалибровочной теории Янга–Миллса .

. . . . . . . . . . . . .241.2 Формализм фонового поля в N = 1 суперпространстве . . .261.3 N = 1 суперсимметричная теория Янга-Миллсаи ее регуляризация высшими ковариантными производными291.4 Перенормировка N = 1 суперсимметричнойтеории Янга–Миллса . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .351.5 Ренормгрупповые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382 Вклад духов Нильсена–Каллош в β-функцию N = 1 суперсимметричной теории Янга–Миллса, регуляризованнойвысшими ковариантными производными с сохранениемБРСТ инвариантности412.1 Духи Нильсена–Каллош . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .4122.2 Регуляризация однопетлевых расходимостей для духовНильсена–Каллош . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432.3 Cвободные двухточечные связные функции Грина для духовНильсена–Каллош . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .442.4 Фейнмановские правила для духовых вершин Нильсена–Каллош, дающих вклад в β-функцию . . . . . . . . .

. . . .462.5 Диаграммы с петлями духов Нильсена–Каллош . . . . . . .542.6 Вклад полей Паули–Вилларса духов Нильсена–Каллош вβ-функцию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7 Вклад в β-функцию от духов Нильсена–Каллош. . . . . .64713 Структура трехпетлевых вкладов в β-функцию N = 1СКЭД с Nf ароматами, регуляризованной с помощью размерной редукции733.1 N = 1 СКЭД c Nf ароматами и ее регуляризацияс помощью размерной редукции . . .

. . . . . . . . . . . . .733.2 Структура трехпетлевых вкладов в β-функцию, пропорциональных (Nf )2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .753.3 Аналог факторизации в двойные полныепроизводные для теории, регуляризованной спомощью размерной редукции . .

. . . . . . . . . . . . . . .3833.4 Проверка аналога факторизации в двойныеполные производные для теории,регуляризованной размерной редукцией, втрехпетлевом приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . .844 NSVZ-схема для N = 1 СКЭД c Nf ароматами, регуляризованной с помощью размерной редукции, в трехпетлевомприближении864.1 Ренормгрупповые функции, определенныев терминах голой константы связи . . . .

. . . . . . . . . . .864.2 DR-схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .934.3 NSVZ-схема в трехпетлевом приближении . . . . . . . . . . .97Заключение100Литература1034ВведениеАктуальность темы исследованияМатематические аспекты глобальной суперсимметрии впервые были исследованы Гольфандом и Лихтманом [1].

В их работе было построено обобщение группы Ли, содержащее в себе группу Пуанкаре и группу внутреннейсимметрии, допускающее нетривиальную S-матрицу. Выяснилось, что такая группа может быть связана с группой суперсимметрии с помощью теоремы Коулмена–Мандулы [2]. Дальнейшее развитие суперсимметричныхтеорий связанно с построением лагранжианов, инвариантных относительноглобальной суперсимметрии [3, 4] и локальной фермионной калибровочнойсимметрии — супергравитация [5, 6].Одним из следствий введения группы суперсимметрии, действующейна элементы S-матрицы, является улучшение квантовых свойств теорийв ультрафиолетовой области, а именно: подавление расходимостей в суперсимметричных теориях приводит к отсутствию некоторых контрчленов, необходимых в несуперсимметричных теориях.

Такие свойства суперсимметричных теорий известны не только для теорий, обладающих гло-5бальной суперсимметрией, речь о которых пойдет ниже, но и для теорийс локальной суперсимметрией [7, 8, 9]. Утверждения такого рода известны как теоремы о неперенормировке, позволяющие, в частности, обнаружить взаимозависимость квантовых поправок к массе и взаимодействиюN = 1 суперсимметричных теорий, возникающую из-за неперенормировкисуперпотенциала [4, 10, 11]. Отметим, при этом, что ввиду перенормировкиволновых функций суперполей материи, перенормируются массы и взаимодействия ϕ3 .

Кроме того, теоремы о неперенормировке позволяют установить интересные ренормализационные свойства теорий, регуляризованныхразмерной редукцией и обладающих расширенной глобальной суперсимметрией. В частности, было показано, что N = 2 теория Янга–Миллса сглобальной суперсимметрией конечна во всех порядках выше однопетлевого [12, 13, 14, 15]. А в четырехмерии, на основе трехпетлевого вычисления[16] было установлено, что теория Янга–Миллса с N = 4 суперсимметриейявляется конечной и, следовательно, конформно–инвариантной на квантовом уровне [12, 13, 17, 18].Ещё один, не менее эффективный подход к изучению ультрафиолетовыхрасходимостей суперсимметричных теорий связан с изучением супермультиплета аномалий.

Известно, что киральная аномалия и аномалия следатензора энергии-импульса должны принадлежать одному супермультиплету [19, 20, 21, 22]. Так как в N = 4 теории Янга–Миллса киральная аномалия отсутствует, то оказывается, что и весь супермультиплет долженбыть равен нулю ввиду его неприводимости. Таким образом, из-за пропорциональности следа тензора энергии-импульса бета-функции [23] его6тривиальность обеспечивает конечность теории Янга–Миллса с N = 4 суперсимметрией [24]. Аналогичные рассуждения можно применить к N = 2теории Янга–Миллса, а именно, из-за тривиальности вкладов высших петель в киральную аномалию [25, 26] удается установить, что β-функциявышеуказанной теории полностью определяется однопетлевым приближением [14].Ряд интересных результатов был получен в области динамики N = 1суперсимметричных теорий.

Одним из таких результатов является обнаружение точной β-функции для N = 1 суперсимметричных теорий безполей материи . Если же в N = 1 суперсимметричной теории присутствуют киральные суперполя материи, то точная β-функция такой теорииможет быть выражена через аномальную размерность суперполей материи[27, 28, 29, 30, 31, 32]:β(α, λ) = −(α 3C2 − T (R) + C(R)i γj (α, λ)/r2j2π(1 − C2 α/2π)i),(1)где γj i – аномальная размерность киральных суперполей материи, при этомиспользуются следующие обозначения:tr (T A T B ) ≡ T (R) δ AB ;(T A )i k (T A )k j ≡ C(R)i j ;f ACD f BCD ≡ C2 δ AB ;r ≡ δAA ,(2)генераторы фундаментального представления tA нормированы следующим7образом:tr(tA tB ) = δ AB /2;гдеC2 и C(R)i j2T (R)r— операторы Казимира;— индекс Дынкина представления R;— размерность калибровочной группы.β-функция (1) получила название точной β-функции Новикова,Шифмана, Вайнштейна и Захарова (NSVZ).

Изначально точная NSVZβ-функция была получена для ренормгрупповых функций, определенныхчерез голую константу связи [27, 29, 31, 32].Точная NSVZ β-функция может быть получена различными способами: исследованием инстантонного вклада в эффективное действие [27, 33],аномалий [28, 30, 34] или неперенормировки топологического члена [35].Кроме того, были проведены проверки с помощью теории возмущений, основанные на вычислениях β-функций N = 1 суперсимметричной теорииЯнга–Миллса, регуляризованной с помощью размерной редукции в DRсхеме, в однопетлевом [36], двухпетлевом [37]1 , трехпетлевом [38, 39, 40, 41]и четырехпетлевом [41, 42, 43] приближениях.

Выяснилось, что вычисленные β-функции в однопетлевом и двухпетлевом приближении совпадаютс точной NSVZ β-функцией, так как 2-х петлевая β-функция и однопет1В этих работах однопетлевое и двухпетлевое вычисление были выполнены с использованием раз-мерной регуляризации.8левая аномальная размерность схемно независимы в теориях с одной константой связи, но, начиная уже с трехпетлевого приближения, равенствонарушается. Однако, рассогласованность результатов может быть устранена с помощью конечной перенормировки [40], существование которой самопо себе является весьма нетривиальным фактом [43].

Построение конечнойперенормировки, связывающей DR и NSVZ схемы вплоть до четвёртогопорядка теории возмущений было осуществлено в работах [41, 44].Выяснилось, что вопрос о пертурбативной природе точной NSVZβ-функции существенным образом может быть прояснен с помощью регуляризации высшими ковариантными производными [45, 46] см. также [26].Регуляризация высшими ковариантными производными может быть обобщена на суперсимметричный случай и сформулирована в терминах N = 1суперполей [47, 48], а для N = 2 суперсимметричных калибровочных теорий соответствующая регуляризация может быть построена в N = 2 гармоническом суперпространстве [49].

Такое обобщение регуляризации высшими ковариантными производными, в отличии от размерной редукции,позволяет явно сохранять N = 1 или N = 2 суперсимметрии на всех этапахквантовых вычислений. Вычисление трехпетлевой β-функции N = 1 суперсимметричной квантовой электродинамики (СКЭД) с использованиемсуперсимметричной версии регуляризации высшими ковариантными производными выявило интересную особенность квантовых поправок, а именно, оказалось, что петлевые интегралы, определяющие β-функцию могутбыть представлены в виде интегралов от полных производных [50] в импульсном пространстве.

Дальнейшее исследование структуры интегралов с9использованием ковариантных правил Фейнмана в формализме фоновогополя [51, 52] обнаружило факторизацию в двойные полные производные[53] (в пределе нулевого внешнего импульса).Благодаря такой характерной структуре, один из петлевых интегралов может быть вычислен явно, что позволяет получить NSVZ соотношение. Так, в случае N = 1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованнойс помощью высших производных, интегралы, определяющие β-функциюв k-петлях, преобразуются в интегралы, образующие аномальную размерность в (k-1)-ой петле [31, 32].