Диссертация (Квантовые поправки в суперсимметричных теориях при использовании различных регуляризаций), страница 4

Таким образом, получаем что∇a S → eiK ∇a S.Теперь выясним как будет выглядеть напряженность суперполя Wa втерминах фоновых и квантовых суперполей. Используя определения (1.9)и (1.14), напряженность суперполя может быть представлена в виде:1¯ 2 (e−2V ∇a e2V )eΩ + Wa ,Wa = e−Ω ∇8(1.15)где введено следующее обозначение:1Wa = D̄2 (e−2V Da e2V ).828(1.16)1.3N = 1 суперсимметричная теория Янга-Миллсаи ее регуляризация высшими ковариантнымипроизводнымиМетод регуляризации высшими ковариантными производными заключается в добавлении к действию теории слагаемого SΛ , которое содержит всебе ковариантные производные старших степеней.

Выбор такого члена нефиксирован, но должен подчиняться требованию фоновой калибровочнойинвариантности. Для дальнейших вычислений мы будем выбирать его вследующем виде:1SΛ = 2 Re tr2e0∫42((1.17)d xd θ[ ( ∇])¯ 2 ∇2 )Ω Ω−Ω −Ωe e W e eR −−1e e Wa e eAdj16Λ2∫{ ( ∇}¯ 2 ∇2 )144+ Ω+ Ω+F −d xd θϕ e e+− 1 eΩ eΩ ϕ,2416ΛΩ Ωa −Ω −Ωгде калибровочные суперсимметричные ковариантные производные определяются как:∇a = e−Ω e−Ω Da eΩ eΩ ;++++¯ ȧ = eΩ eΩ D̄ȧ e−Ω e−Ω .∇(1.18)Индекс Adj указывает на то, что структура, заключенная в квадратныхскобках в формуле (1.17), действует на суперполе, лежащее в присоединенном представлении.

В частности,()2f0 + f1 V + f2 V + . . .X ≡ f0 X + f1 [V, X] + f2 [V, [V, X]] + . . . (1.19)AdjФункции R(x) и F (x) в регуляризующем слагаемом SΛ растут полиномиальным образом при x → ∞, а так же удовлетворяют условиям R(0) = 129и F (0) = 1.Заметим, что регуляризующее действие SΛ инвариантно относительнодействия фоновых (1.11) и квантовых (1.12) калибровочных преобразований. Для того, чтобы явно показать наличие старших производных в регуляризующем члене, достаточно рассмотреть низший порядок разложенияSΛ по фоновом и квантовому суперполям, учитывая тождество для ковариантных производных:∂2D̄2 D2ϕ = 2 ϕ,−16Λ2Λ(1.20)гдеϕ— произвольное киральное суперполе.В низшем порядке разложения по фоновым и квантовым калибровочным суперполям регуляторы имеют вид:R(∂ 2 /Λ2 ) − 1 и F (∂ 2 /Λ2 ) − 1.(1.21)Таким образом, учитывая построенное действие SΛ , теория, регуляризованная высшими ковариантными производными, имеет следующий вид:Sreg = S + SΛ ,(1.22)гдеS— классическое действие.Следующим шагом является выбор члена фиксирующего калибровку,выражение для которого должно быть инвариантно относительно действия30фоновых калибровочных преобразований (1.11).

Непосредственной проверкой можно убедиться, что выбор члена:∫( ∇¯ 2 ∇2 )1442¯ 2 V,Sgf = −tr d x d θ ∇ V K −∇2216ξ0 e016Λ Adj(1.23)где ξ0 — константа, удовлетворяет данному условию. Функция K(x) подчиняется следующим граничным условиям: K(0) = 1, K(∞) = ∞. Можнопереписать (1.23) в несколько ином виде, вводя вспомогательное киральноесуперполе f ,1Sgf = 2 tre0∫[ +( ∇¯ 2 ∇2 ) ]Ω−1d x d θ 16ξ0 f e K−eΩf2Adj16Λ)Ω−Ω 2−Ω+ + Ω+ ¯ 2+e f e ∇ V + ef e ∇V .(1.24)44(+После определенной таким образом фиксации калибровки мы получаем, что соответствующие действия Фаддеева–Попова и Нильсена–Каллошимеют вид:∫()144Ω −Ω−Ω+ + Ω+c̄ e(1.25)SFP = 2 tr d x d θ e c̄e + ee0{( V ) () () ()}V−Ω+ + Ω+Ω −Ω×ec e−e ce;1 − e2V Adj1 − e−2V Adj∫[( ∇¯ 2 ∇2 ) ]144+ Ω+SNK = 2 tr d x d θ b e K −eΩb.

(1.26)2Adj2e016ΛДуховые поля Фаддеева–Попова и Нильсена–Каллош могут быть разложены по антикоммутирующим генераторам tA фундаментального представления группы G. Коэффициенты в таком разложении оказываютсякиральными суперполями. Так как духи Нильсена–Каллош не взаимодействуют с квантовым калибровочным суперполем, то их вклад в β-функциюисчерпывается однопетлевым приближением.31После регуляризации теории, учета духовых вкладов и фиксации калибровки оказывается, что сумма построенных действий(1.27)S + SΛ + Sgf + SFP + SNK ,инвариантна относительно фоновых калибровочных преобразований (1.11),действие которых на вспомогательное и духовые суперполя имеет вид:f → eA f e−A = (eA )Adj f ;c → (eA )Adj c;c̄ → (eA )Adj c̄;b → (eA )Adj b,(1.28)но не инвариантна относительно квантовых калибровочных преобразований (1.12).

Однако, сумма действий (1.27) обладает БРСТ-симметрией:{(δV = ε) ()}V ) ( −Ω+ + Ω+ ) (VΩ −Ωec e−e ce;1 − e2V Adj1 − e−2V Adjδϕ = εcϕ;(1.29)δc̄ = εD̄2 (e−2V f + e2V );δc+ = −ε(c+ )2 ;δc̄+ = εD2 (e2V f e−2V );δf = δf + = 0;δb = δb+ = 0;δc = εc2 ;δΩ = δΩ+ = 0,гдеε ̸= ε(x)— антикоммутирующий вещественный скалярный параметр.Заметим, что преобразования калибровочного и материального суперполей в (1.29) эквивалентны квантовым калибровочным преобразованиям(1.12), параметр в которых должен быть выбран следующим образом:A = εeΩ ce−Ω ;A+ = −εe−Ω c+ eΩ .+32+(1.30)После этого не сложно проверить нильпотентность БРСТ- преобразований:δ1 δ2 e2Vδ1 δ2 c̄ = 0;δ1 δ2 c = 0;()−Ω+ + Ω+ 2V2VΩ −Ω= δ1 ε2 ec e e − e ε2 e ce= 0.(1.31)(1.32)Отсюда следует, что δ1 δ2 V = 0, и, стало быть, нильпотентность преобразований (1.29). БРСТ-инвариантность действия (1.27) с духовым членом,выраженным через вспомогательное поле (1.24), может быть легко установлена с помощью полученной выше нильпотентности БРСТ-симметрии.Регуляризация высшими ковариантными производными устраняет расходимости, возникающие выше однопетлевого приближения [26].

Дляустранения однопетлевых расходимостей производят дополнительную регуляризацию Паули–Вилларса [88]:∫Z[V , Sources] = DV Dϕ Db Dc̄ Dc Det(P V, MΦ )Det(P V, Mφ )−1()× exp iS + iSΛ + iSgf + iSFP + iSNK + iSsource , (1.33)где∫Det(P V, MΦ ) =Det(P V, Mφ )−1DΦ exp (iSΦ ) ;∫= Dφ exp (iSφ ) .(1.34)Антикоммутирующее суперполе Φ принадлежит тому же представлению,что и суперполе ϕi , а три коммутирующих суперполя φf находятся в присоединенном представлении группы G. Действие для суперполей Паули–Вилларса имеет вид:33∫] j¯ 2 ∇2 )∇Ω Ωd xd θΦ e e F −e eΦj2i16Λ(1 ∫)42ij+d x d θ (MΦ ) Φi Φj + c.c. ;4∫( [ + + ( ∇]¯ 2 ∇2 )144+ Ω ΩΩ ΩSφ = 2 tr d x d θ φ1 e e R −e eφ1Adj2e016Λ2[][])+ Ω+ 2V Ω+ Ω+ 2V Ω+φ2 e e eφ2 + φ3 e e eφ3AdjAdj∫)( 2)1 (4222+ 2 trd x d θ Mφ φ1 + φ2 + φ3 + c.c.

,(1.35)2e01SΦ =444∗i[Ω+ Ω+(где предполагается, что(MΦ )ji (MΦ∗ )kj = MΦ2 δki .(1.36)Киральные скалярные суперполя φf , введенные выше, позволяет устранить однопетлевые (под)расходимости, образованные петлями духовых икалибровочного суперполей.Так как действия (1.35) для суперполей Паули–Вилларса инвариантныотносительно квантовых калибровочных преобразований (1.12):Φ → e−Ω eA eΩ Φ;()φf → e−Ω eA eΩ φf e−Ω e−A eΩ = e−Ω eA eΩ Adj φf , (1.37)то выбирая параметр A как в (1.30) получаем, что действие (1.35) инвариантно относительно БРСТ-преобразований.Окончательное выражение для производящего функционала имеет вид:∫)((1.38)Z[V , Sources] = Dµ exp iStotal + iSsource ,где∫Dµ— мера интегрирования, включающая в себя34интегрирование по всем суперполям теории.Окончательное действие для рассматриваемой теории имеет вид:Stotal = S + SΛ + Sgf + SFP + SNK + SΦ + Sφ(1.39)Действие Stotal инвариантно относительно БРСТ-преобразований, введенных выше.

Производящий функционал для связных функций Грина имеетвид:W [V , Источники] = −i ln Z[V , Источники].(1.40)Эффективное действие Γ[V , Поля] определяется обычным образом, черезпреобразование Лежандра.1.4Перенормировка N = 1 суперсимметричнойтеории Янга–МиллсаХорошо известно [89, 90, 91, 92], что все ультрафиолетовые расходимости в рассматриваемой нами теории могут быть устранены с помощьюконечного числа суперсимметричных и калибровочно инвариантных контрчленов. Доказательство данного утверждения может быть получено спомощью тождеств Славнова–Тейлора и анализа индекса расходимостипроизвольной примитивно расходящейся диаграммы. Таким образом, издоказанной перенормируемости теории и теоремы о неперенормировке суперпотенциала [93] следует, что могут быть осуществлены следующие перенормировки:1Zα=;α0α1Zξ= ;ξ0ξ35V = VR ;(1.41)ϕi = (√Zϕ )i j (ϕR )j ;V = ZV Zα−1/2 VR ;√√√ijλijk = λmnp(Z)(Z)(Zϕ )p k ;ϕ mϕ n0√−1c̄c = Zc Zα c̄R cR ;b = Zb bR ,гдеλijk— перенормированные константы Юкавы;— перенормированная константа связи;αZc ,ZV ,Zα— константы перенормировки для духовФаддеева–Попова, квантовогокалибровочного суперполя и константы связисоответственно;R— обозначение для перенормированногосуперполя.Поле V не перенормируется так как фоновая калибровочная симметрия(1.11) не нарушена.Так как действие для духов Нильсена–Каллош не перенормируется, товыполняется следующее соотношениеZα Zb = 1.(1.42)Известно, что из тождеств Славнова–Тейлора [94, 95] следует, что квантовые поправки к двухточечной функции Грина квантовых калибровочныхсуперполей не имеет продольной составляющей, следствием этого являетсятождествоZξ ZV2 = 1.36(1.43)Константы перенормировки Zα и Zϕ могут быть получены после вычисления двухточечных функций Грина фонового калибровочного суперполяV и суперполей материи, соответственно.

Благодаря ненарушенной фоновой калибровочной инвариантности (1.11) часть эффективного действия,связанная с данными функциями Грина, может быть представлена в виде:∫1d4 p 4(2)ΓV ,ϕ = − trd θ V (θ, −p) ∂ 2 Π1/2 V (θ, p) d−1 (α0 , λ0 , Λ/p)48π(2π)∫1d4 p 4 ∗i+d θ ϕ (θ, −p)ϕj (θ, p)(Gϕ )i j (α0 , λ0 , Λ/p),(1.44)44 (2π)где ∂ 2 Π1/2 — суперсимметричный поперечный проектор:∂ 2 Π1/2 = −Da D̄2 Da /8.(1.45)Функции d−1 и Gi j расходятся в пределе Λ → ∞. Перенормированнаяконстанта связи α(α0 , λ0 , Λ/µ) и константа перенормировки суперполей материи (Zϕ )i j (α0 , λ0 , Λ/µ), где µ — масштаб перенормировки, определяютсятребованием конечности выражений:()−1dα0 (α, λ, Λ/µ), λ0 (α, λ, Λ/µ), Λ/p ;()jk(Zϕ )i (Gϕ )j α0 (α, λ, Λ/µ), λ0 (α, λ, Λ/µ), Λ/p .(1.46)Данные выражения должны быть рассмотрены как функции от α, λ, µ/pи Λ/p в пределе Λ → ∞. Затем константа перенормировки Zα может бытьполучена из формулыα.(1.47)α0Для того, чтобы найти оставшиеся константы перенормировки ZV и Zc ,Zα =рассмотрим двухточечные функции Грина квантового калибровочного суперполя и духовых суперполей.