Диссертация (Квантовые поправки в суперсимметричных теориях при использовании различных регуляризаций), страница 9

А именно, из этого соотношения можно установить, что двух и трехпетлевые вклады в βфункцию связаны с одно и двухпетлевыми вкладами в ln G соответственно.823.3Аналог факторизации в двойные полныепроизводные для теории, регуляризованной спомощью размерной редукцииРанее во всех порядках теории возмущений была обнаружена связь[54, 55] функций d−1 − α0−1 и ln G для теории, регуляризованной высшимипроизводными. Найденная связь имеет вид:)d ( −1−1 d − α0 =p=0d ln Λ∫)d (d4 q 43One-loop − 16π Nfδ (q) ln G , (3.19)d ln Λ(2π)4гдеΛ— размерный параметрв слагаемом с высшими производными;One-loop— обозначение для однопетлевого вклада.Здесь производная по ln Λ вычисляется при фиксированном значении перенормированной константы связи. Важно отметить, что δ 4 (q) в рассматриваемом выражении появляется вследствие факторизации петлевых интегралов в интегралы от двойных полных производных, а именно, благодарятождеству:∂ ∂ 1= −4π 2 δ 4 (q).(3.20)µµ2∂q ∂q qЗаметим, что соотношение (3.19) является обобщением на все петли выражения (3.5), полученного ранее для N = 1 СКЭД с Nf ароматами, ре83гуляризованной высшими ковариантными производными, в трехпетлевомприближении.Благодаря явно выделенному логарифму двухточечной функции Гринасуперполей материи, выражение (3.18) является аналогом (3.19) для теории регуляризованной размерной редукцией.

Сравнивая их, удается установить, что для рассматриваемых интегралов выражение:1 ε (L − 1)εΛ ·2π 21 − Lε/2∫dd q1,(2π)d q 2 (q + p)2(3.21)где L — число петель, является аналогом структуры:∫d4 q 4δ (q),(2π)4(3.22)которая может быть получена после вычисления интегралов от двойныхполных производных для теории, регуляризованной с помощью высшихпроизводных, в пределе нулевого внешнего импульса.3.4Проверка аналога факторизации в двойныеполные производные для теории,регуляризованной размерной редукцией, втрехпетлевом приближенииС помощью обнаруженного соотношения (3.18), связывающего двухточечные функции Грина калибровочных и материальных суперполей, вычислим трехпетлевую β-функцию N = 1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованной с помощью размерной редукции, в DR-схеме.

В данной схеме84перенормировки конечные члены не рассматриваются. Будем понимать подDR-схемой следующие соглашения, а именно, вычитание ε-полюсов и степе√ней ln Λ̄/µ, где Λ̄ ≡ Λ exp(−γ/2) 4π. Вычисляя интегралы в полученномвыражении для d−1 − α0−1 (3.18) и проводя перенормировку в DR-схеме,получаем, что соответствующий вклад в β-функцию N = 1 СКЭД с Nfароматами имеет вид:dαDR α 2 Nf (α 3Nf α2 )βDR (α) ==1+ −+O(Nf α4 )+O(α5 ). (3.23)2d ln µ α0 =constππ4πДобавляя схемно независимый результат для трехпетлевых вкладов,пропорциональных Nf [39], находим полный трехпетлевой результат:α 2 Nf (α (2 + 3Nf )α2 )βDR (α) =1+ −+ O(α5 ).2ππ4π(3.24)Полученный результат согласуется с работой [39], в которой структуры,аналогичные интегралам от δ-функций, не исследовались, что подтверждает правильность приведенных ранее вычислений.

Данное выражение дляβ-функций не удовлетворяет NSVZ соотношению. NSVZ β-функция можетбыть получена из (3.24) после конечной перенормировки [39, 41].85Глава 4NSVZ-схема для N = 1 СКЭД c Nfароматами, регуляризованной спомощью размерной редукции, втрехпетлевом приближении4.1Ренормгрупповые функции, определенныев терминах голой константы связиИзвестно, что если Абелева суперсимметричная теория регуляризована высшими производными, то ренормгрупповые функции, выраженные в терминах голых констант связи, удовлетворяют NSVZ-соотношению[54, 55]. Как было показано в Параграфе 3.3, механизм образования связидвухточечных функций Грина калибровочного и материальных суперпо86лей (3.18), для теории, регуляризованной с помощью размерной редукции,аналогичен механизму образования NSVZ β-функции в теории, регуляризованной высшими производными.

В связи с этим в этом параграфе, исходяиз выражения (3.18), будет получено соотношение, связывающее ренормгрупповые функции, выраженные в терминах голых констант связи длятеории, регуляризованной размерной редукцией. Аналогом такого соотношения для теории, регуляризованной высшими производными, будет являться NSVZ β-функция. Ренормгрупповые функции, выраженные в терминах голых констант связи определяются следующим образом:) dα (α, Λ/µ, ε) 0β α0 (α, Λ/µ, ε) ≡;α=constd ln Λ()d ln Z(α, Λ/µ, ε) ,γ α0 (α, Λ/µ, ε) ≡ −α=constd ln Λ((4.1)гдеα = e2 /4π = α(α0 , Λ/µ, ε)µ— перенормированная константа связи,;— масштаб перенормировки.Известно [56], что ренормгрупповые функции (4.1) зависят от регуляризации, но схемно независимы, если регуляризация фиксирована.

Производная в определении (4.1) берется при фиксированном значении перенормированной константы связи. Поэтому необходимо выразить голую константусвязи через перенормированную с помощью соотношения:)α 2 Nf ( 1Λ̄α0 = α ++ ln + b1 + O(α3 ),πεµ87(4.2)√где Λ̄ ≡ Λ exp(−γ/2) 4π. Заметим, что в этом выражении произвольнаяпостоянная b1 определяет схему перенормировки в рассматриваемом приближении.Следуя [97], введем следующее обозначение:G(α, β) ≡Γ(α + β − 2 + ε/2)B(2 − α − ε/2, 2 − β − ε/2).Γ(α)Γ(β)(4.3)Если теория регуляризована размерной редукцией, то функция ln G может быть представлена в виде1 :ln G =∞∑n=1n(α0 )( 4πΛ2 )εn/2q2gn (ε),(4.4)где коэффициенты:1G(1, 1);2π1g2 (ε) = 2 (1 + Nf )G(1, 1)G(1, 1 + ε/2)4π1− 2 G(1, 1)2 + конечные члены8πg1 (ε) = −(4.5)(4.6)существенны для двухпетлевого приближения.Учитывая, что выражение ZG конечно по построению, то удается связать аномальную размерность (4.1) с производной логарифма функцииГрина G по ln Λ()dγ(α0 ) = limln G α0 (α, Λ/µ, ε), Λ/q, ε ε→0 d ln Λα0 =α0 (α,ε,Λ/µ);1(4.7)α=constЗаметим, что размерная редукция противоречива в высших порядках теории возмущения, однаков рассматриваемом нами порядке эти противоречия еще не проявляются.88= lim(( 4πΛ2 )ε/2q2ε→0)()(22 )εα0 Nf2 4πΛg1 (ε) εα0 ++ 2εα0g2 (ε) 2πqα0 =α0 (α,ε,Λ/µ)+O(α03 ).Для вывода аномальной размерности из этого соотношения необходимовначале выразить голую константу связи через перенормированную.

Затемнеобходимо удалить все члены, исчезающие в пределе ε → 0,2 и выразитьконечный результат через голую константу связи. После этих преобразований получаем, что аномальная размерность, определенная в терминахголой константы связи, имеет вид:γ(α0 ) = −α0α2+ 02 (1 + Nf ) + O(α03 ).π2π(4.8)Отметим, что полученная аномальная размерность совпадает с аномальной размерностью, определенной в терминах перенормированной константы связи, для DR-схемы.

Далее будут объяснены причины такого совпадения. Однако, вычислим сначала β-функцию, определенную в терминахголой константы связи (4.1). Это может быть сделано с использованиемсоотношения:)β(α0 )d ( −1−1 = limd (α0 , Λ/p, ε) − α0 ,ε→0 d ln Λα=constα02(4.9)которое следует из конечности функции d−1 как функции перенормированной константы связи α. По-прежнему в этом выражении сначала необходимо выразить α0 через α и, затем удалить члены, исчезающие в пределе2Здесь мы обозначили эту операцию как lim , строго говоря, этот предел не существует из-заε→0ε-полюсов, которые должны быть сохранены.89ε → 0. Результат должен зависеть от α0 и не должен содержать логарифмы.Подставляя соотношение (4.4) в выражение (3.18), вычисляя интегралы и дифференцируя результат по ln Λ (учитывая, что α0 зависит от Λ),получаем:(Nf ε ( 4πΛ2 )ε/2G(1, 1)2πp2(Nf ε ( 4πΛ2 )εα02 Nf )−G(1, 1 + ε/2) g1 (ε) εα0 +π 1 − ε p22π)α02 Nf 3ε2 ( 4πΛ2 )3ε/2G(1,1+ε)g(ε)−2π 1 − 3ε/2 p2β(α0 )= limε→0α02(4.10)α0 =α0 (α,ε,Λ/µ)+O(α02 Nf ) + O(α03 ).Отметим, что только часть функции g2 (ε), пропорциональная Nf , существенна для рассматриваемого нами приближения.

Предел ε → 0 для однопетлевого вклада может быть взят явно. Однако, для вычисления следующих членов необходимо учесть, чтоg1 (ε) = −1+ O(1);πεg2 (ε) =Nf+ O(ε−1 ).222π ε(4.11)Для дальнейших вычислений удобно представить (4.10) в следующемвиде:((Nf ( 4πΛ2 )ε/2α02 Nf )β(α0 ) Nf=+ lim −g1 (ε) εα0 +ε→0α02ππp2π()( 4πΛ2 )ε/2 [ εNf2Nf εα02 ( 4πΛ2 )εg2 (ε) −· lim−πp2π ε→0p21−ε90(4.12)( 4πΛ2 )ε/2](α02 Nf )ε ( 4πΛ2 )εG(1, 1 + ε/2) − 1 g1 (ε) εα0 +−p2π1 − ε p2(2 )ε [3ε/2 ( 4πΛ2 )ε/2α02 Nf2 4πΛ×G(1, 1 + ε/2) g1 (ε)+ 2α0G(1, 1 + ε)2πp21 − 3ε/2 p2)]−1 εg2 (ε) + O(α02 Nf ) + O(α03 ).α0 =α0 (α,ε,Λ/µ)Сравнивая это выражение с (4.7), мы видим, что первое и второе слагаемые определяют NSVZ β-функцию в рассматриваемом порядке теориивозмущений для ренормгрупповых функций, определенных через голуюконстанту связи.

Отметим, что в оставшихся слагаемых, выражения, стоящие в квадратных скобках, пропорциональны ε. Учитывая тождество())α 2 Nf ( 1Λ̄3lim(εα0 ) = lim ε α ++ ln + b1 + O(α )ε→0ε→0πεµ22α Nfα Nf+ O(α3 ) = 0+ O(α03 )=ππ(4.13)и используя (4.5) и (4.11), преобразуем рассматриваемое выражение к виду:) ∆β(α )β(α0 ) Nf (0=1 − γ(α0 ) ++ O(α02 Nf ) + O(α03 ),22α0πα0(4.14)где было введено обозначение∆β(α0 ) =(]2 [ ε ( 4πΛ2 )ε/2· limG(1, 1 + ε/2) − 1ε→0ε 1 − ε p2( 4πΛ2 )εε−G(1, 1)G(1, 1 + ε/2)4(1 − ε) p2α04 (Nf )2π3)]1 [ 3ε/2 ( 4πΛ2 )ε/2−G(1, 1 + ε) − 1 .ε 1 − 3ε/2 p291(4.15)Схемнонезависимое выражение ∆β(α0 ) может быть упрощено в G-схеме[97, 98].