Диссертация (Квантовые поправки в суперсимметричных теориях при использовании различных регуляризаций), страница 6

Если оператор входит в слагаемое, не содержащее скобок, то производные, образующие оператор, действуют на соседние с оператором поляпо направлению стрелок.←→ ←→2. Если дифференциальные операторы Pi и Q принадлежат слагаемым, в которых есть скобки, и находятся вне их, то правые производные,входящие в их состав, действуют на эту скобку целиком, а левые производные действуют на соседнее с оператором поля слева.←→ ←→3.

Если дифференциальные операторы Pi и Q принадлежат слагаемым, в которых есть скобки, и находятся внутри их, то производные, входящие в их состав, действуют на соседние с оператором поля по направлениюстрелок.←→←→ ←→4. Операторы ∂ 2 , принадлежащие G и Bi , действуют как ∂ 2 на всю←→←→внутреннюю скобку слагаемого, в котором находятся G или Bi . Остальные производные этих операторов действуют на соседнее с оператором полепо направлению стрелки.532.5Диаграммы с петлями духов Нильсена–КаллошДля выделения из функционального интеграла двухточечных функцийГрина духов Нильсена–Каллош воспользуемся следующим приемом:]2i[=−2×Z0N K ,µ̄,µ=0(2.28)здесь под вершиной понимается вариационный оператор, который получается из (2.21) заменой духовых полей на вариационные операторы соответствующих источников:b+a −→1 δi δ µ̄aи ba −→1 δ.i δµa(2.29)Подставляя в (2.28) вершину (2.21) с учетом подстановок (2.29) получаем, что соответствующая этой вершине часть двухточечной функции Гринадля духов Нильсена–Каллош, может быть вычислена с помощью следующего выражения:i e0 fabc=− ·2 4Λ2n∫d4 x3 d4 θ3(2.30){1 δ1 δ1 δ1 δ2Λ2nV3a+2V3a ∂32nccbi δ µ̄3i δµ3i δ µ̄3i δµb3}→1 δ→ 21 δ1 21 δ ←21 δ ←aa+2∂3P0· V3 + D̄3P0 D3· V3i δ µ̄c3i δµb38 i δ µ̄c3i δµb3∫{′′e0 fa′ b′ c′1 δ2n 1 δ44a 1 δa 2n 1 δ2Λdxdθ×V+2V∂44′′′′4Λ2ni δ µ̄c4 4 i δµb4i δ µ̄c4 4 4 i δµb4′′}→1 δ→ 21 δ1 21 δ ←21 δ ←aa+2∂4+ D̄4′ P0′ · V4′ P0 D4′ · V4i δ µ̄c4i δµb48 i δ µ̄c4i δµb4)(∫}{144s()µ,× exp − itr d x d θ µ̄s2n∂ 2 1 + Λ∂ 2nµ̄,µ=054где нижний индекс у суперполя определяет суперкоординаты, с которыми данное поле ассоциировано.

Далее, учитывая (2) и правило вариациикиральных суперполей:δ bD̄i2 8 bµ = − δij δ a ;δµai j2δ bDi2 8 bµ̄ = − δij δ a ,δ µ̄ai j2(2.31)(2.32)а так же грассманову нечетность духов Нильсена–Каллош и их источников:{+ab ,bc}{= 0,aµ̄ , µc}= 0,{ δ}c, µ = 0,δ µ̄a(2.33)получаем, чтоC2 e20= i 5 4n4Λ∫d8 z1 z4([4n a a8 188 18× 4Λ V3 V4 D32 δ13D̄42 δ14· D42 δ42D̄32 δ32E1E2]2 8 12 82 8 12 8+D4 δ41 D̄3 δ31 · D3 δ23 D̄4 δ42E1E2[88 188 1D̄42 δ14· ∂42n D42 δ42D̄32 δ32+4Λ2n V3a V4a D32 δ13E1E2]2 8 12 82 8 1 2n 2 8+D4 δ41 D̄3 δ31 · D3 δ23 ∂4 D̄4 δ42E1E2[←→118888∂42 D̄42 δ14D̄32 δ32+4Λ2n V3a V4a D32 δ13P0 (4) D42 δ42E1E2]→2 82 82 2 8 12 8 1 ←+∂4 D4 δ41 D̄3 δ31 · D3 δ23 P0 (4) D̄4 δ42E1E2[←→188 188 1D42 D̄42 δ14D̄32 δ32+ Λ2n V3a V4a D32 δ13· P0 (4) D̄42 D42 δ424E1E2]→2 82 2 82 2 8 12 8 1 ←+D̄4 D4 δ41 D̄3 δ31 · D3 δ23 P0 (4) D4 D̄4 δ42E1E255(2.34)[1 2 88 1 2n 2 8D̄4 δ14 · D42 δ42∂ D̄ δE1E2 3 3 32]2 8 12 8 1 2n 2 82 8+D4 δ41 ∂3 D̄3 δ31 · D3 δ23 D̄4 δ42E1E2[8 1 2n 2 88 1 2n 2 8+4V3a V4a D32 δ13∂4 D̄4 δ14 · D42 δ42∂ D̄ δE1E2 3 3 32]2 8 1 2n 2 82 8 1 2n 2 8+D4 δ41 ∂3 D̄3 δ31 · D3 δ23 ∂4 D̄4 δ42E1E2[→8 ←8 1 2n 2 88 1+4V3a V4a D32 δ13D̄42 δ14P0 (4) ∂42 D42 δ42∂ D̄ δE1E2 3 3 32]→2 2 8 1 2n 2 82 8 1 ←2 8+∂4 D4 δ41 ∂3 D̄3 δ31 · D3 δ23 P0 (4) D̄4 δ42E1E2[→18 1 2n 2 88 ←8 1+ V3a V4a D32 δ13D42 D̄42 δ14P0 (4) D̄42 D42 δ42∂ D̄ δ4E1E2 4 3 32]→2 8 12 2 82 2 8 1 2n 2 8 ←+D̄4 D4 δ41 ∂3 D̄3 δ31 P0 (4) D3 δ23 D4 D̄4 δ42E1E2[→ 188 188 ←+4Λ2n V3a V4a ∂32 D32 δ13· D42 δ42D̄32 δ32P0 (3) D̄42 δ14E1E2]←→12 82 82 82 2 8 1+D4 δ41 D̄3 δ31 P0 (3) ∂3 D3 δ23 D̄4 δ42E1E2[→ 18 ←88 18+4V3a V4a ∂32 D32 δ13P0 (3) ∂42n D̄42 δ14· D42 δ42D̄32 δ32E1E2→ 2 2 8 1 2n 2 8 ]2 8 12 8 ←+D4 δ41 D̄3 δ31 P0 (3) ∂3 D3 δ23 ∂4 D̄4 δ42E1E2[→→ 18 ←8 188 ←P0 (4) ∂42 D42 δ42D̄32 δ32+4V3a V4a ∂32 D32 δ13P0 (3) D̄42 δ14E1E2→ 2 2 8 1 2 8]→ 1 2 8←2 2 8 ←+∂4 D4 δ41 P0 (4) D̄3 δ31 P0 (3) ∂3 D3 δ23 D̄4 δ42E1E2[→→ 1188 ←8 ←8 1D̄32 δ32+ V3a V4a ∂32 D32 δ13P0 (4) D̄42 D42 δ42P0 (3) D42 D̄42 δ144E1E2→ 2 2 8 1 2 2 8]→ 1 2 8←2 2 8 ←+D̄4 D4 δ41 P0 (4) D̄3 δ31 P0 (3) ∂3 D3 δ23 D4 D̄4 δ42E1E2→ 1 2 81 2n a a [ 2 2 8 ←188D32 D̄32 δ32+ Λ V3 V4 D̄3 D3 δ13 P0 (3) D̄4 δ14 · D42 δ424E1E2]→2 2 8 ←2 82 8 12 2 8 1+D4 δ41 D3 D̄3 δ31 P0 (3) D̄3 D3 δ23 D̄4 δ42E1E2+4Λ2nV3a V4a8D32 δ1356→ 11 a a[ 2 2 8 ←88 18+ V3 V4 D̄3 D3 δ13 P0 (3) ∂42n D̄42 δ14· D42 δ42D32 D̄32 δ324E1E2]→2 2 8 1 2n 2 82 8 12 2 8 ←+D4 δ41 D3 D̄3 δ31 P0 (3) D̄3 D3 δ23 ∂4 D̄4 δ42E1E2[←→←→11888 18+ V3a V4a D̄32 D32 δ13P0 (3) D̄42 δ14P0 (4) ∂42 D42 δ42D32 D̄32 δ324E1E2]→ 1 2 2 8←→2 2 8 ←2 82 2 8 1+∂4 D4 δ41 P0 (4) D3 D̄3 δ31 P0 (3) D̄3 D3 δ23 D̄4 δ42E1E2[→ 1→18 ←8 ←88 1D32 D̄32 δ32+ V3a V4a D̄32 D32 δ13P0 (3) D42 D̄42 δ14P0 (4) D̄42 D42 δ4264E1E2])→ 1 2 2 8←→2 2 8 ←2 2 8 12 2 8+D̄4 D4 δ41 P0 (4) D3 D̄3 δ31 P0 (3) D̄3 D3 δ23 D4 D̄4 δ42 .E1E2При этом были использованы следующие обозначение:∫∫def8d4 x1 d4 θ1 d4 x2 d4 θ2 d4 x3 d4 θ3 d4 x4 d4 θ4 ;d z1 z4 =defEi =∂i2(∂i2n )1 + 2n ,Λ(2.35)(2.36)где дифференциальный оператор Ei действует на первую функцию справа,←→←→8а Pi (j) действует как оператор Pi на δjk-функции (k = 1, 4).Далее, выделим из (2.34) инвариантные и не инвариантные части относительно фоновых калибровочных преобразований (1.11), для этого воспользуемся правилом интегрирования по частям:∫∫8Ad z XA D ψ = d8 z (−DA (XA ψ) + DA XA ψ),(2.37)где XA — нечетное грассманово поле и соотношениями:888δ12D̄2 D2 (V · D̄2 D2 δ12) = 32 δ12δ 4 (x1 − x2 )−(q+p)p22−(q+p)q]iµ22× − ∂ Π1/2 V + (q + (q + p) )V + (p + 2q) [D̄ , D ]µ V ;ppp168888D12 δ12= D22 δ12,D̄22 D22 δ12= D12 D̄12 δ12;[(2.38)q2D2 D̄2 D2 = −16D2 ∂ 2 ,D̄2 D2 D̄2 = −16D̄2 ∂ 2 ,57(2.39)(2.40)где[D̄2 , D2 ] = −16 · ∂ 2 − 4i[(1 − γ5 )γ µ ]ȧ b ∂µ Db D̄ȧ ≡ [D̄2 , D2 ]µ ∂ µ(2.41)и учтем, что инвариантные части двухточечной функции Грина калибровочных суперполей должны содержать суперсимметричный поперечныйпроектор (1.45).

Тогда однопетлевая двухточечная функция Грина, соответствующая рассматриваемой вершине, может быть представлена в виде:∫= ie20 C2d4 θ d 4 p d 4 q(2π)8(2.42)1×22(q + p)2 (1 + (− (q+p))n )q 2 (1 + (− Λq 2 )n )2Λ{[1× 2 4n V a (−p) − ∂ 2 Π1/2 + (q 2 + (q + p)2 )4Λ]iµ22+ (p + 2q) [D̄ , D ]µ V a (p)16(× 4Λ4n + 2Λ2n (−(q + p)2 )n + 6Λ2n (−q 2 )n( (−q 2 )n − (−(q + p)2 )n )+6Λ (−(q + p) )(−q 2 ) − (−(q + p)2 )( (−q 2 )n − (−(q + p)2 )n )2n2+2Λ (−q )(−q 2 ) − (−(q + p)2 )(2 n2 n)2 n2 n2 n+1 (−q ) − (−(q + p) )+4(−q ) (−(q + p) ) + 4(−q )(−q 2 ) − (−(q + p)2 )(2 n2 n )222 (−q ) − (−(q + p) )+8q (q + p)(−q 2 ) − (−(q + p)2 ))( (−q 2 )n − (−(q + p)2 )n )+4(−(q + p)2 )n+1(−q 2 ) − (−(q + p)2 )((2 n2 n)1aa2n 22 (−q ) − (−(q + p) )+ 4n V (−p)V (p) 4Λ q (q + p)4Λ(−q 2 ) − (−(q + p)2 )2n258−2(−q )2 n+12(q + p)( (−q 2 )n − (−(q + p)2 )n )(−q 2 ) − (−(q + p)2 )(2 n2 n )22 22 (−q ) − (−(q + p) )−2(−q ) (q + p)(−q 2 ) − (−(q + p)2 )(2 n2 n )222 2 (−q ) − (−(q + p) )−2q (−(q + p) )(−q 2 ) − (−(q + p)2 ))}( (−q 2 )n − (−(q + p)2 )n )−2(−(q + p)2 )n+1 q 2(−q 2 ) − (−(q + p)2 )Так как слагаемые, пропорциональные внешнему импульсу фоновых калибровочных суперполей, конечны и на расходимость не влияют, то имиможно пренебречь.

Поэтому, будем далее производить все вычисления впределе нулевого внешнего импульса p → 0. Тогда неинвариантную частьдиаграммы (2.42) можно представить в виде:dlimp→0 d ln Λ[]non invariante20 C2=16Λ2n∫d4 θ d 4 q d(2π)4 d ln Λ}{82 2n+12n 22 n+1×, (2.43)8Λ q − 16(−q )− 2n (−q )2Λ[q 2 (1 + (− q 2 )n )]2i[V a (0)]2ΛИнвариантная часть рассматриваемой диаграммы после поворота Вика,в Евклидовом пространстве примет вид:dlimp→0 d ln Λ[]invariant(e2 C2= 082 ( 1 )n 4nq 2(n−2)×V (0)∂ Π1/2 V (0) 4 +qΛ2Ka2a∫d4 θ d 4 q d(2π)4 d ln Λ)4n2 q 4(n−1)+, (2.44)Λ4n K 2гдеdefK = 1+59( q 2 )nΛ2.(2.45)Для вычисления вклада в двухточечную функцию Грина калибровочного суперполя от диаграммы с двумя внешними фоновыми полями в вершине воспользуемся тем же методом, что был использован при вычислениипредыдущего вклада:[= −i]×Z0N K ,µ̄,µ=0(2.46)Производя вычисления, аналогичные (2.30) — (2.44), находим, что неинвариантная часть диаграммы с двумя внешними фоновыми полями в вершине может быть представлена в виде:dlimp→0 d ln Λ[]non invariant×e20 C2=−16Λ2n∫i[V a (0)]22q 2 (1 + (− Λq 2 )n )d4 θ d4 q d(2π)4 d ln Λ{2n8Λ}+ 8(−q ) ,(2.47)2 nа инвариантная часть, после поворота Вика, в Евклидовом пространствепримет вид:dlimp→0 d ln Λ[]invariante20 C2=−2∫d4 θ d 4 q d(2π)4 d ln Λ( 1 )n q 2(n−2) n2a2a×V (0)∂ Π1/2 V (0) 2.ΛK60(2.48)Таким образом, инвариантный вклад в двухточечную функцию Гринаможно представить следующим образом:dp→0 d ln Λ[]lim+invariant∫e20 C2d4 θ d 4 q d(2.49)8(2π)4 d ln Λ()()2 4(n−1)2 2(n−2)n21(4n − 4n )q4n q×V a (0)∂ 2 Π1/2 V a (0) 4 ++.qΛ2KΛ4n K 2=Заметим, что благодаря суперсимметричным тождествам Уорда, неинвариантные части:∫∼d4 θ V (0, θ)V (0, θ),(2.50)вычисленных диаграмм, должны взаимно сокращать друг друга.

Действительно, суммируя (2.43) и (2.47) получаем, что фоново калибровочно неинвариантные части взаимно сокращают друг друга:[]+=0non invariant(2.51)Для вычисления β-функции, заменим фоновое калибровочное суперполеследующим образом [55]:V (x, θ) → θ̄ȧ θ̄ȧ θb θb ≡ θ461(2.52)в двухточечную функцию Грина фонового калибровочного суперполя. Такая подстановка позволит нам получить левую часть равенства:)d ( −1dα0−1β(α0 )−1 d (α0 , Λ) − α0 =−=.p=0d ln Λd ln Λα02(2.53)Заметим, что часть эффективного действия, связанного с двухточечнойфункцией Грина калибровочных суперполей, становится бесконечной послеподстановки (2.52), так как∫d4 x → ∞.(2.54)Для строгого формулирования этого метода производят регуляризациюс помощью функции I(x):V (x, θ) → θ̄ȧ θ̄ȧ θb θb · I(x) ≡ θ4 · I(x).(2.55)Данная функция стремится к 1 для конечных xµ и обращается в 0 на больших масштабах r → ∞.