Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости, страница 7

ðèñ. 2.9).Ìîæíî ïðÿìûìè âû÷èñëåíèÿìè ïîêàçàòü, ÷òî ãðàèê óíêöèè ω−(x) ïðè√0 < k < −c èìååò âèä:Zxx0-11èñ. 2.10.ãðàèê óíêöèè ω− (x)Èç (3.1) ñëåäóåò, ÷òî λ3 (x) åñòü òàíãåíñ óãëà íàêëîíà ê Σh,ω è èìååòâèä λ3 (x) = ω −k−Iωx1−x2−k1+x .Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè òåõ x > 0, ãäåω−(x) > 0, ñëåäóåò, ÷òî λ(x) < 0. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ïðè x0 < x < 1 (x0-âíóòðåííèé ýêñòðåìóì ω− ) h = h(ω) ÿâëÿåòñÿ ãðàèêîì, èìåþùèì íå áîëååäâóõ âíóòðåííèõ ýêñòðåìóìîâ (ñì. ï.

4)▽.48Òåîðåìà 4. Åñëè öåíòð ìàññ íå ñìåùåí (s=0), òî òî÷êè (γ3 = ±1)èìåþò òèï îñîáåííîñòè îêóñ-îêóñ ïðè c > 0, k 2 <√4cc+1√4c ;c+1ïðè c > 0, k 2 >èëè −1 < c < 0, ýòè òî÷êè ïðèíàäëåæàò ñâÿçíîé êîìïîíåíòå Σh,ω èèìåþò îñîáåííîñòü òèïà öåíòðöåíòð.▽Âûáåðåì ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû â îêðåñòíîñòè òî÷êè (0, 0, ±Jω, 0, 0, 1)è ëèíåàðèçóåì óðàâíåíèÿ (2.3) â îêðåñòíîñòè ýòèõ òî÷åê. Ïîëó÷èì:Ṁ1 + (J − 1)ωM2 −Ṁ2 − (J − 1)ωM1 +√ c γ2c+1√ c γ1c+1= 0, γ̇1 − ωγ2 + M2 = 0,= 0, γ̇2 + ωγ1 − M1 = 0,Ïîëàãàÿ u = M1 + iM2 , v = γ1 + iγ2 ; ïîëó÷èì:civ = 0, v̇ + ωiv − iu = 0u̇ − (J − 1)iωu + √c+1Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä:cλ2 − (J − 2)ωiλ + (J − 1)ω 2 − √= 0,c+1êîòîðîå, êàê è äëÿ ëþáîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäûcèìååò êîðíè âèäà α+iβ, α−iβ, −α+iβ, −α−iβ .  íàøåì ñëó÷àå α = ( √c+1−−k 2 1/2) ,4β = k( 12 − J1 ).ck2Òàêèì îáðàçîì, òèï îñîáåííîñòè îêóñîêóñ, åñëè √−> 0, è4c+1öåíòðöåíòð â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.

Ïåðåõîä îò îäíîãî òèïà ê äðóãîìó íàçûâàåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé áèóðêàöèåé Õîïà (ðèñ. 2.11). Íàïîìíèì, ÷òî äëÿâîë÷êà Ëàãðàíæà òî÷êà γ3 = −1 öåíòð ìàññ çàíèìàåò íèæíåå ïîëîæåíèå èâñåãäà èìååò òèï öåíòð-öåíòð.▽èñ. 2.11.Áèóðêàöèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé492.4. Èññëåäîâàíèå èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèéàññìîòðèì îòîáðàæåíèå:K × H : S 2 × R3 → R2 (k, h)(4.1)Îáðàç ìíîæåñòâà êðèòè÷åñêèõ òî÷åê åñòü áèóðêàöèîííàÿ äèàãðàììàΣk,h, à ïîëíûé ïðîîáðàç òî÷êè, íå ëåæàùåé íà Σk,h, ÿâëÿåòñÿ èçîýíåðãåòè÷åñêèì ìíîãîîáðàçèåì Q3h,k . Îòîáðàæåíèå (4.1) ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì, ò.å.ïðîîáðàç êîìïàêòà êîìïàêò. Òîãäà äëÿ êàæäîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòû ìíîæåñòâà R2 \ Σk,h òèï ìíîãîîáðàçèÿ îäèíàêîâ.Óñëîâèå óíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè: dH = λdK + µdΓ.

ÏåðåìåííûåM, γ ðàçäåëèëèñü â ñèëó ëèíåéíîñòè ïî γ èíòåãðàëà ïðîåêöèè ìîìåíòà èêâàäðàòè÷íîñòè ïî M èíòåãðàëà H .  òàêîì ñëó÷àå M = λA−1γ , ïîäñòàâëÿÿýòî â âûðàæåíèå äëÿ H , ïîëó÷àåì ïåðâûé ïðèâåäåííûé ïîòåíöèàë:k2Vk (γ3) =+ (cγ32 + 1)1/2 + sγ3 .22(1 + (J − 1)γ3 )(4.2)Îáëàñòü âîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ íà ñåðå Ïóàññîíà:Uk,h (γ3) = {γ3 ∈ [−1; 1] : Vk (γ3) ≤ h} ⊂ S 2.(4.3)Äëÿ êàæäîé êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè R2 (k, h) \ Σk,h òèï ìíîãîîáðàçèÿ Q3h,kóñòàíàâëèâàåòñÿ íà îñíîâàíèè ìåòîäà, ïðåäëîæåííîãî Ñìåéëîì, ñâÿçàííîãîñî ñòàíäàðòíûì íàäñòðàèâàíèåì Q3h,k íàä îáëàñòÿìè âîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ.Ïðè èêñèðîâàííîì γ ∈ S 2 â ïðîñòðàíñòâå R3 (M1 , M2 , M3 ) ìíîæåñòâî {H == h} ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýëëèïñîèä, à {K = k} çàäàåò ïëîñêîñòü, ïðè÷åì âêà÷åñòâå ìåðû èõ ïåðåñåêàåìîñòè âûñòóïàåò ïðè èêñèðîâàííûõ ïàðàìåòðàõïðèâåäåííûé ïîòåíöèàë (4.2).

Ñëîé íàä êàæäîé òî÷êîé γ ∈ S 2 ãîìåîìîðåíëèáî îêðóæíîñòè (åñëè γ ∈ Uk,h \ ∂Uk,h), ëèáî òî÷êå (åñëè γ ∈ ∂Uk,h), ëèáîïóñò (åñëè γ ∈/ Uk,h ).50Òåîðåìà 5. Ñâÿçíûå êîìïîíåíòû èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé ìîãóò áûòü òîëüêî ñëåäóþùåãî âèäà: S 3 , RP 3 , S 1 × S 2 .Äëÿ ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì (2.3) ïðè s = 0 ðàçäåëÿþùèå êðèâûåíà ïëîñêîñòè R2 (k, h) èìåþò ñëåäóþùèé âèä:k2+1h=2(4.4)(â ïðîîáðàçå êàæäîé òî÷êè, ãäå ëåæèò îäíà êðèòè÷åñêàÿ îêðóæíîñòüγ3 = 0),k2 √+ c+1h=(4.5)2J(â ïðîîáðàçå êàæäîé òî÷êè, ãäå ëåæàò äâå êðèòè÷åñêèå òî÷êè γ3 = ±1),2J −c−1 J −13x1/2c+1−J2k = x−,h=, x ∈ [1; c + 1] (4.6)+J −12cx1/22(J − 1)x1/2(â ïðîîáðàçå êàæäîé òî÷êè, ãäå ëåæàò äâå êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòèγ3 = ±const 6= 0, ±1).Áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû âèäà (4.6) ñóùåñòâóþò ëèøü ïðèc >0, J > 1 è c < 0, J < 1.Äëÿ −1 < c < 0, 1 < J è c > 0, 0 < J < 1 áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû, òèï èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé è ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàû èáàïðèâåäåíû íà ðèñóíêå 2.12 (a-b).Äëÿ c > 0, J > 1 áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû, òèï èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé è ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàû èáà ïðèâåäåíû íà ðèñóíêàõ 2.13-2.18.Áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû äëÿ ñëó÷àÿ 0 < J < 1, c < 0 ïîëó÷àþòñÿèç ïðèâåäåííûõ íà ðèñóíêàõ 2.13-2.18, åñëè ðàññìàòðèâàòü èõ â îáðàòíîìïîðÿäêå, à ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàû ïåðåâîðà÷èâàòü.▽Äîêàçàòåëüñòâî áóäåò ïðîâåäåíî â ÷àñòíîì ñëó÷àå (s=0).

Áîëåå òîãî, âýòîì ÷àñòíîì ñëó÷àå áóäóò îïèñàíû êðèâûå íà ïëîñêîñòè k, h.51Êðèòè÷åñêèå ìíîæåñòâà çàäàþòñÿ óñëîâèåì êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ïðèâåäåííîãî ïîòåíöèàëà; îòñþäà ñëåäóåò âèä áèóðêàöèîííûõ äèàãðàìì (4.4)(4.6).hhRP 3S1SRP 322S 3kèñ. 2.12.ka)0 < c, 0 < J < 1 è b)−1 < c < 0, 1 < Jàññìîòðèì ïðîèçâîäíûå óíêöèé, çàäàþùèå êðèâóþ (4.6):q1/4′′k (x) = h (x) J−1c xc+1−J′h (x) = 0.75 x − 3(J−1) x−3/2(4.7)Îðèåíòèðîâàííàÿ êðèâèçíà ðàâíà:|3(J − 1)||x − c − 1 + J|< 0.κ=− p4 (J − 1)(x1/2(J − 1)(c + 1) − 1)x9/4Âèä êðèâîé (4.6) ïðè −1 < c < 0, 0 < J < 1 è 0 < c, 1 < J îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ïàðàìåòðàìè: ïðè 4(c + 1)(3c + 4)−1 < J < 0.25(c + 4) ýòîêëþâ (òî÷êà âîçâðàòà ñòåïåíè 3/2) , â îñòàëüíûõ æå ñëó÷àÿõ âîçðàñòàþùàÿäóãà, ïðè÷åì êîíöû êðèâîé îáÿçàòåëüíî ëåæàò íà êàæäîé êðèâîé (4.4), (4.5). ñëó÷àå òî÷êè âîçâðàòà Vk èìååò äâà ýêñòðåìóìà â ïðîìåæóòêå (0;1). Êîîðqqc+1−J 3/44J−1c+1−J1/2äèíàòû òî÷êè âîçâðàòà èìåþò âèä: k = 271/4 ( J−1 )c ,h = 3J−1 .Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî òî÷êà âîçâðàòà âñåãäà ëåæèò âíóòðè îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ìåæäó ïàðàáîëàìè.▽h2S3RP3S1 u S 2(S1 uS2) ‰2S3kèñ.

2.13.Áèóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñëó÷àÿ 1 < J < 4(c + 1)/(3c + 4)52hRP 32S3(S1 uS2) ‰2S3S1 u S 23(S1 u S 2 )kèñ. 2.14.√√Áèóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñëó÷àÿ 4(c+1)/(3c+4) < J < 2 c + 1/( c + 1+1)hRP 3S uS12S32( S1 u S 2 )2(S uS2) ‰2S313(S u S )12kèñ. 2.15.√√Áèóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñëó÷àÿ 2 c + 1/( c + 1 + 1) < J < (c + 1)1/4hRP 3S uS12S32( S1 u S 2 )2(S1 uS2) ‰2S33(S u S 2 )1kèñ. 2.16.√Áèóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñëó÷àÿ (c + 1)1/4 < J < ( c + 1 + 1)/253hRP 3S1 u S 22S32( S1 u S 2 )3(S u S 2 )1kèñ.

2.17.√Áèóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñëó÷àÿ ( c + 1 + 1)/2 < J < (c + 4)/4hRP 3S1 u S 22S32( S1 u S 2 )kèñ. 2.18.Áèóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñëó÷àÿ (c + 4)/4 < JÂâèäó ÷åòíîñòè ïðèâåäåííîãî ïîòåíöèàëà γ3 = 0 âñåãäà êðèòè÷åñêîåçíà÷åíèå, ìåõàíè÷åñêè ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñèòóàöèè, êîãäà îñü ñèììåòðèèýëëèïñîèäà ëåæèò â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, à ñàì îí ïåðìàíåíòíîâðàùàåòñÿ âîêðóã âåðòèêàëè, ÷åãî íå ìîæåò áûòü äëÿ âîë÷êà Ëàãðàíæà.Êðîìå òîãî, äëÿ âîë÷êà Ëàãðàíæà êðèòè÷åñêèå òî÷êè γ3 = ±1 ëåæàò íàðàçíûõ âåòâÿõ áèóðêàöèîííûõ äèàãðàìì, à íà íåïàðàáîëè÷åñêèõ âåòâÿõëåæèò ïî îäíîé êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè.Ìîëåêóëû äëÿ ñëó÷àÿ −1 < c < 0, J > 1, s = 0 (òîãäà íåò èçãèáîâ ó Σh,ω )èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå 2.19. Äàííîìó óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿåò, íàïðèìåð,îäíîðîäíûé ýëëèïñîèä.54AAAAAABAABAAAAAA2S3RP 3èñ.

2.19.Ìîëåêóëû äëÿ áèóðêàöèîííîé äèàãðàììû ðèñ. 2.7Äëÿ äðóãèõ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé ìîëåêóëû ñòðîÿòñÿ àíàëîãè÷íî.55ëàâà 3Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿäîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà â çàäà÷å îäâèæåíèè òÿæåëîãî òðåõîñíîãî ýëëèïñîèäà íàãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè3.1. Ââåäåíèå ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ ýëëèïñîèä, äâèæóùèéñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè.

Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñõîäíû ñ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé.  îáùåì ñëó÷àå äëÿ èõèíòåãðèðóåìîñòè òàêæå íåäîñòàåò îäíîãî èíòåãðàëà. Äëÿ òðåõîñíîãî ýëëèïñîèäà, öåíòð ìàññ êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ ãåîìåòðè÷åñêèì öåíòðîì, äîêàçûâàåòñÿîòñóòñòâèå äîïîëíèòåëüíîãî ìåðîìîðíîãî èíòåãðàëà, çà èñêëþ÷åíèåì òðèâèàëüíîãî ñëó÷àÿ.3.2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è èõïåðâûå èíòåãðàëû.àññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà, èìåþùåãî îðìóòðåõîñíîãî ýëëèïñîèäà, íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Íà ñèñòåìóíàëîæåíà îäíà ãîëîíîìíàÿ ñâÿçü âûñîòà öåíòðà ìàññ íàä ïëîñêîñòüþ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ îðèåíòàöèåé òåëà, ò.å.

ñèñòåìà èìååò ïÿòü ñòåïåíåéñâîáîäû. Ïóñòü OXYZ íåïîäâèæíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, S öåíòð ìàññòåëà, Se1 , Se2 , Se3 ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè èíåðöèè òåëà, v = (vx , vy , vz ) âåêòîð ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ òåëà, ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) âåêòîð óãëîâîé ñêîðî56ñòè òåëà, γ = (γ1 , γ2 , γ3 ) åäèíè÷íûé âåêòîð âîñõîäÿùåé âåðòèêàëè, íàïðàâëåííûé ïî OZ, m ìàññà òåëà, (b1 , b2 , b3 ) ãëàâíûå ïîëóîñè ýëëèïñîèäà,J = diag(J1, J2, J3) ãëàâíûé öåíòðàëüíûé òåíçîð èíåðöèè òåëà, r(γ) ðàäèóñ-âåêòîð èç öåíòðà ìàññ òåëà â òî÷êó åãî êàñàíèÿ ïëîñêîñòüþ, N íîðìàëüíàÿ ðåàêöèÿ ïëîñêîñòè, z = − < r(γ), γ > âîçâûøåíèå öåíòðà ìàññòåëà íàä ïëîñêîñòüþ.Çàêîí äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ èìååò âèämv̇ = N − mgγ. ïðîåêöèè íà îñè OX, OY ïîëó÷àåì v̇x = v̇y = 0, ò.å.

âñåãäà ìîæíî âûáðàòü èíåðöèàëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ öåíòðîì â öåíòðå ìàññ òåëà, êîòîðàÿ äâèæåñòÿ ðàâíîìåðíî âäîëü ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè è â êîòîðîévx = vy = 0.  ïðîåêöèè íà îñü OZ èìååì:vz = ż,mz̈ = N − mg.Âûðàæàÿ îòñþäà çíà÷åíèå N è ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàò â çàêîí èçìåíåíèÿãëàâíîãî êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà îòíîñèòåëüíî S è ó÷èòûâàÿ óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà âåðòèêàëüíîãî åäèíè÷íîãî îðòà, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ ÝéëåðàÏóàññîíàJω̇ + ω × Jω = r × (mz̈ + mg)γ,γ̇ + ω × γ = 0(2.1)(çäåñü è äàëåå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî z = z(γ))Óðàâíåíèÿ (2.1) ïðè ëþáûõ ïàðàìåòðàõ èìåþò òðè ïåðâûõ èíòåãðàëà(ýíåðãèè, ïëîùàäåé è ãåîìåòðè÷åñêèé èíòåãðàë):< Jω, ω > mż 2H=++ mgz, K =< Jω, γ >, Γ =< γ, γ > .22Îãðàíè÷åíèå ñèñòåìû (2.1) íà ñîâìåñòíûé óðîâåíü èíòåãðàëîâ Mk,c == {(M, γ)|K = k, Γ = c} ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëàãðàíæåâó ñèñòåìó ñ äâóìÿñòåïåíÿìè ñâîáîäû.

Äëÿ åå èíòåãðèðóåìîñòè, ñîãëàñíî òåîðåìå Ëèóâèëëÿ,íåäîñòàåò îäíîãî äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà.Öåëü ãëàâû îïðåäåëåíèå íåîáõîäèìûõ óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà.57Ïóñòü ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè èíåðöèè ñîíàïðàâëåíû ñ ãëàâíûìè îñÿìèïîâåðõíîñòè òåëà, à öåíòð ìàññ ñîâìåùåí ñ ãåîìåòðè÷åñêèì öåíòðîì. Òîãäàr(γ) = −< Bγ, γ >−1/2Bγ, B = diag(b21, b22, b23),qz = b21γ12 + b22 γ22 + b23γ32.Ïóñòü M = (M1 , M2 , M3 ) ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (2.1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìûṀ = M ×ãäå∂H∂H+γ×,∂M∂γγ̇ = γ ×(2.2)12< AM, M > +mgz , ξ23 η123 η132−1 A(γ) = D η123 ξ31 η231η132 η231 ξ12 H=∂H∂Mξij = Ji Jj + m(Jia2j + Jj a2i ),ηijk = −mai aj Jk ;i, j, k = 1, 2, 3D = J1 J2J3 + m(J1 J2a23 + J1 J3a22 + J2 J3a21 )a1 = (b23 − b22 )γ2γ3z −1 (123)3.3. Äîêàçàòåëüñòâî íåèíòåãðèðóåìîñòèÒåîðåìà Ïóñòü âñå J1 , J2, J3 ðàçëè÷íû è ýëëèïñîèä áëèçîê ê øàðó: bi == R + ǫBi , (i = 1, 2, 3).

Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (2.2) äîïóñêàþò ÷àñòíîåðåøåíèå âèäà (3.4), è íå èìåþò äîïîëíèòåëüíîãî ìåðîìîðíîãî àíàëèòè÷åñêîãî ïî ǫ èíòåãðàëà, åñëè íå âûïîëíåíî óñëîâèåB1 = B2 = B3 .▽ Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ñõîäíî ñ ðàññìîòðåííûì ðàíåå ([15], [41], [73]).58 ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïî ǫ ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿṁ1 = (A3 − A2)m2 m3 + ǫ(B3 − B2 )γ2γ3,γ˙1 = A3m3 γ2 − A2m2 γ3 (123) (3.1)Ai = Ji−1 (i = 1, 2, 3)Ýòè óðàâíåíèÿ ñîâïàäàþò ñ óðàâíåíèÿìè ÊèðõãîàÊëåáøà äëÿ äâèæåíèÿ òåëà â èäåàëüíîé æèäêîñòè, äëÿ íèõ èíòåãðàëû èìåþò âèäH=11A1m21 + A2m22 + A3 m23 + ǫ B1 γ12 + B2γ22 + B3 γ32 ,22K = m1 γ1 + m2 γ2 + m3 γ3,Γ = γ12 + γ22 + γ32.Ñäåëàåì çàìåíóm1 = m1 π1 ;π1 =p(A1 − A3)(A2 − A1) (123)Çàìåòèì, ÷òî â òàêîì ñëó÷àå âåðíû ðàâåíñòâàA21 A22 A23+ 2 + 2 = −1,π12π2π3A1 A2 A3+ 2 + 2 =0π12π2π3 íîâûõ ïåðåìåííûõ (÷åðòó íàä mi äàëåå îïóñêàåì) óðàâíåíèÿ (3.1) çàïèøóòñÿ â âèäåṁ1 = m2 m3 + ǫπ1 (B3 − B2)γ2γ3 ,γ˙1 = A3m3 π3−1 γ2 − A2m2 π2−1 γ3 (123) (3.2)Óðàâíåíèÿ (3.2) ïðè ǫ = 0 èìåþò ÷åòûðå èíòåãðàëà:I1 = m1 2 − m2 2 ,I2 = m3 2 − m2 2 ,I3 = m1 π1−1 γ1 + m2 π2−1 γ2 + m3 π3−1γ3 ,I4 = γ12 + γ22 + γ32,(3.3)ïðè÷åì 2H0 = A1 m1 2 π1−2 + A2 m2 2 π2−2 + A3 m3 2 π3−2 ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿèíòåãðàëîâ I1 è I2 .ßñíî, ÷òî âñå ÷åòûðå èíòåãðàëà íåçàâèñèìû.59Ïðè ǫ = 0 ñèñòåìà (3.2) èìååò âèä:ṁ1 = m2 m3 ,γ˙1 = A3 m3 π3−1 γ2 − A2 m2 π2−1 γ3 (123)(3.4)Äëÿ ýëëèïòè÷åñêîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (3.4) ïðèìåíèì ìåòîä Ìîðàëèñà-óèçààìèñà [72].