Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости, страница 10

X1 = X2 = 0, J1 = J2 (ñëó÷àé Ëàãðàíæà),2. X1 = X2 = X3 = 0 (ñëó÷àé Ýéëåðà),3. J1 = J2 = J3 (òîãäà ëþáàÿ îñü ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé îñüþ èíåðöèè è ïîëó÷àåì ÷àñòíûé âàðèàíò äëÿ ñëó÷àÿ Ëàãðàíæà),4.a. X2 = X3 = 0, J1 = J2 = 9/8J3,4.b. X2 = X3 = 0, J1 = J2 = 5/8J3.Òåîðåìà 1 äîêàçàíà.5.4. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2Ëåììà 3 Ïóñòü J1 = J2 è X3 = X2 = 0, òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû ñèñòåìà (2.1) áûëà àëãåáðàè÷åñêè âïîëíå èíòåãðèðóåìîé, íåîáõîäèìî: J3 /J1 == m/2,m∈N76Äîêàçàòåëüñòâî: åøåíèå M3 = M3 (t), γ1 = γ1 (t), γ2 = γ2 (t) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì:2 ∂A33Ṁ=−Xγ+0.5γM31213∂γ2(4.1)γ˙1 = γ2A33M3γ˙2 = −γ1A33M3Ââåäåì âîçìóùåíèå: m1,2 = M1,2 , m3 = M3 −M3 (t), n1,2 = γ1,2 −γ1,2 (t), n3 == γ3 .Íîðìàëüíîå âàðèàöèîííîå óðàâíåíèå â âîçìóùåííûõ ïåðåìåííûõ èìååòâèä:∂A23∂ 2A33∂A33 ∂A23ṁ=(A−A+γ)Mm+(0.5γ−0.5−)M32 n31332223222∂γ3∂γ3∂γ2∂γ3∂A23∂ 2A33 2ṁ2 = (A11 − A33)M3m1 − γ1M3 m2 + (−0.5γ1M3 + X1 )n3∂γ3∂γ32∂A23n˙=−γAm+γAm+γM3 n33211112221∂γ3m γ +m γ +M γ =01 12 23 3(4.2)Ïåðåïèøåì (4.2) â âèäå îäíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãîïîðÿäêà, äëÿ ýòîãî ïðîäèåðåíöèðóåì ṅ3 :n̈3 =(−A211M3223d(γ1 ∂A∂A33 2∂ 2A33 2∂γ3 M3 )+ A11(0.5γ2M − 0.5M3 + X1 γ1) ++∂γ2 3∂γ32dt+(∂A23 2 2 2∂A23) M3 γ1 + 2A11M32 γ2)n3∂γ3∂γ3γ21+γ1 .żM3 = A33−2,(1+z 2 )Ñäåëàåì çàìåíó âðåìåíè: z =Òîãäà γ1 =1−z 2,γ1+z 2 2=2z,1+z 2ż 2 =Èñõîäíîå óðàâíåíèå èìååò âèä:n̈ + a1 ṅ + a0 n = 0.77(h−X1 +z 2 (h+X1 ))(1+z 2 )A33.2(4.3)Ïîñëå çàìåíû âðåìåíè ïîëó÷àåì:A11 = A22 =A331J1∂A33−4X12z(1 + z 2 )3=∂γ2(J3(1 + z 2 )2 + 4X12z 2 )2(1 + z 2 )2,=J3(1 + z 2 )2 + 4X12 z 2∂A232X12z(1 + z 2 )=,∂γ3J1(J3(1 + z 2 )2 + 4X12 z 2 )8X14 z 2 (1 + z 2 )2∂ 2A33=∂γ32J1 (J3(1 + z 2 )2 + 4X12 z 2 )2 èòîãå ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (4.4):n′′ + b1n′ + b0n = 0(4.4)z̈ + a1 żz(h + X1 )3z2z(J3(1 + z 2 ) + 2X12 )b1 ==+−ż 2(h + X1)z 2 + h − X1 1 + z 2J3(1 + z 2 )2 + 4X12 z 24(J3(1 + z 2 )2 + 4X12 z 2 )216X12z 232X12z 2 (J3(1 + z 2 )2 + 4X12 z 2 )a0+−+b0 = 2 =żJ12 (1 + z 2 )6J1(1 + z 2 )4J12 (1 + z 2 )664X14 z 48X12z 24(1 − z 2 )X12 16X12 (1 − z 2 )z 2 (J3(1 + z 2 ) + 2X12 )+ 2−+−+J1 (1 + z 2 )6 (1 + z 2 )3J1 J1(1 + z 2 )3J1(1 + z 2 )3(J3(1 + z 2 )2 + 4X12 z 2 )8X13 z 2 (1 − z 2 )16X14z 2 (1 − z 2 )2++−J1(1 + z 2 )4(J3(1 + z 2 )2 + 4X12 z 2 ) J1(1 + z 2 )4(h − X1 + z 2 (h + X1 ))−2X1 (1 − z 2 )(J3(1 + z 2 )2 + 4X12z 2 ).J1(1 + z 2 )4(h − X1 + z 2 (h + X1))1Ïîñëå çàìåíû y = e 2Rb1 (z)dzn ñèñòåìà (4.4) çàïèøåòñÿ â âèäå:b′1 b21y = ( + − b0)y24′′(4.5)Ìíîæåñòâî ïîëþñîâ óðàâíåíèÿ (4.5) ñîñòîèò èç ïîëþñîâ âòîðîãî ïîðÿäêà.Áåñêîíå÷íîñòü èìååò ÷åòâåðòûé ïîðÿäîê.Êîýèöèåíòû b ïðè ýòèõ ïîëþñàõ ðàâíû:2J33z = ±i, b = JJ32 + 2J− 16,11q1 −hz=± X, b = −3,X1 +hq 16 2z = ±i( √XJ1 ± 1 + XJ31 ), b =3516 .78×òîáû ïîëó÷èòü â ýòîì ñëó÷àå óòâåðæäåíèå ëåììû, âîñïîëüçóåìñÿ óñëî√âèåì öåëî÷èñëåííîñòè âåëè÷èíû 1 + 1 + 4bi (àíàëîãè÷íî Ëåììå 2).Ëåììà 3 äîêàçàíà.Ïîñêîëüêó äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ íà îòíîøåíèå J1 /J3 â ñëó÷àå J1 = J2 ,X2 = X3 = 0, ïîëó÷åííûå â Ëåììå 1 (Ñëåäñòâèå 2) è Ëåììå 2, íå âûïîëíÿþòñÿ îäíîâðåìåííî, òî óòâåðæäåíèå Òåîðåìû 2 íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èçÑëåäñòâèÿ 2 è Ëåììû 3.

Òåîðåìà 2 äîêàçàíà.79Çàêëþ÷åíèå• Äàí òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèç äèíàìèêè òÿæåëîãî äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè(àíàëîã ñëó÷àÿ Ëàãðàíæà): ïîñòðîåíû áèóðêàöèîííûå äèàãðàììûÑìåéëà, îïèñàíû ïåðåñòðîéêè òîðîâ Ëèóâèëëÿ, ïîñòðîåíû òîïîëîãè÷åñêèå èíâàðèàíòû òåîðèè Ôîìåíêî.• Ïîëó÷åíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî ìåðîìîðíîãî èíòåãðàëà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òðåõîñíîãî ýëëèïñîèäà íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè äëÿ ñëó÷àÿ ýëëèïñîèäà ñìàëî ðàçëè÷àþùèìèñÿ ïîëóîñÿìè, öåíòð ìàññ êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ ãåîìåòðè÷åñêèì öåíòðîì.• Ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî àíàëèòè÷åñêîãî èíòåãðàëà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî äèíàìè÷åñêè èãåîìåòðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ýëëèïñîèäà íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîéïëîñêîñòè äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè èíåðöèè ýëëèïñîèäà ñîíàïðàâëåíû ñ ãëàâíûìè îñÿìè ýëëèïñîèäà-ïîâåðõíîñòè, à öåíòðìàññ ýëëèïñîèäà ëåæèò â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè.• Ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ òîãî, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî íåîäíîðîäíîãî øàðà íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè ïîëíîé èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìîé.80Ëèòåðàòóðà[1℄ Àïïåëü Ï.

Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, ò.1,2, ãîñóäàðñòâåííîå èçäàòåëüñòâîÔèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, Ìîñêâà, 1960[2℄ Àðíîëüä Â.È. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, Ìîñêâà,Èçäàòåëüñòâî "Íàóêà", 1989[3℄ Àðíîëüä Â.È., Âàð÷åíêî À.Í., óñåéí-Çàäå Ñ.Ì. Îñîáåííîñòè äèåðåíöèðóåìûõ îòîáðàæåíèé. Ìîñêâà, ÌÖÍÌÎ, 2004[4℄ Àðíîëüä Â.È., Êîçëîâ Â.Â., Íåéøòàäò À.È.

Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäûêëàññè÷åñêîé è íåáåñíîé ìåõàíèêè, Ìîñêâà, Ýäèòîðèàë ÓÑÑ, 2002[5℄ Áîëñèíîâ À.Â., Ôîìåíêî À.Ò. Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû:ãåîìåòðèÿ, òîïîëîãèÿ, êëàññèèêàöèÿ, Èçäàòåëüñêèé äîì "ÓäìóðñêèéÓíèâåðñèòåò", 1999[8℄ Áîðèñîâ À.Â., Ìàìàåâ È.Ñ. Äèíàìèêà òâåðäîãî òåëà. Èæåâñê: ÍÈÖ "åãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà",2001, 384 ñòð.[7℄ Áîðèñîâ À.Â., Ìàìàåâ È.Ñ. (ðåä.) Íåãîëîíîìíûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû,Ìîñêâà-Èæåâñê: Èíñòèòóò êîìïüþòåðûíõ èññëåäîâàíèé, 2002[8℄ Áîðèñîâ À.Â., Ìàìàåâ È.Ñ. Ïóàññîíîâû ñòðóêòóðû è àëãåáðû Ëè â ãàìèëüòîíîâîé ìåõàíèêå, Èæåâñê: ÍÈÖ "åãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà", 2001, 384 ñòð.[9℄ Áîðèñîâ À.Â., Ìàìàåâ È.Ñ. Ñîâðåìåííûå ìåòîäû òåîðèè èíòåãðèðóåìûõñèñòåì, Ìîñêâà-Èæåâñê: Èíñòèòóò êîìïüþòåðûíõ èññëåäîâàíèé, 2003[10℄ Áðóñ Äæ., Äæèáëèí Ï.

Êðèâûå è îñîáåííîñòè. Ìîñêâà, Ìèð, 198881[11℄ Áðþíî À.Ä. Òåîðèÿ íîðìàëüíûõ îðì óðàâíåíèé Ýéëåðà-Ïóàññîíà//ïðåïðèíò N 100, Ìîñêâà, Èíñòóòóò ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè èìåíè Ì.Â.Êåëäûøà, 2005, 27 .[12℄ Áðþíî À.Ä. Îãðàíè÷åííàÿ çàäà÷à òðåõ òåë, ïëîñêèå ïåðèîäè÷åñêèå îðáèòû, Ìîñêâà, Èçäàòåëüñòâî Íàóêà, 1990[13℄ Áðþíî À.Ä. Ñòåïåííàÿ ãåîìåòðèÿ â àëãåáðàè÷åñêèõ è äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ. Ìîñêâà, Èçäàòåëüñòâî Íàóêà, 1988[14℄ Áóðîâ À.À., Êàðàïåòÿí À.Â. Î íåñóùåñòâîâàíèè äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà â çàäà÷å î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî ýëëèïñîèäà ïî ãëàäêîéïëîñêîñòè.

ÏÌÌ òîì 49, âûï. 3, 1985[15℄ îëóáåâ Â.Â. Ëåêöèè ïî èíòåãðèðîâàíèþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãîòâåðäîãî òåëà îêîëî íåïîäâèæíîé òî÷êè, Ìîñêâà-Ëåíèíãðàä, îñòåõèçäàò, 1953[16℄ îðèýëè À. Èíòåãðèðóåìîñòü è ñèíãóëÿðíîñòü. Ìîñêâà; Èæåâñê: åãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà, Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé,2006. 316 .[17℄ óêåíõåéìåð Äæ., Õîëìñ Ô. Íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ, äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû è áèóðêàöìì âåêòîðíûõ ïîëåé, Ìîñêâà; Èæåâñê: åãóëÿðíàÿè õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà, Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, 2002,559 .[18℄ Äæàêàëüÿ .Å.Î.

Ìåòîäû òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì,Ìîñêâà, Èçäàòåëüñòâî Íàóêà, 197982[19℄ Äîêøåâè÷ À.È. åøåíèå â êîíå÷íîì âèäå óðàâíåíèé Ýéëåðà-Ïóàññîíà,Èæåâñê: åãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà, Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõèññëåäîâàíèé, 2004. 166 .[20℄ Åìåëüÿíîâ Ê.Â., Öûãâèíöåâ À.Â. Ïîêàçàòåëè Êîâàëåâñêîé ñèñòåì ñ ýêñïîíåíöèàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì, Ìàòåì. ñá., 2000, òîì 191, íîìåð 10,ñòðàíèöû 3950[21℄ Çèãëèí Ñ.Ë.

Âåòâëåíèå ðåøåíèé è íåñóùåñòâîâàíèå ïåðâûõ èíòåãðàëîââ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìàõ, Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ,òîì 16(1982), N 3, ñ. 30-30[22℄ Çèãëèí Ñ.Ë. Çèãëèí Ñ.Ë. Îá îòñóòñòâèè âåùåñòâåííî-àíàëèòè÷åñêîãîïåðâîãî èíòåãðàëà â íåêîòîðûõ çàäà÷àõ äèíàìèêè. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ., ò. 31,  1, ñ. 3-11 (1997).[23℄ Çèãëèí Ñ.Ë. àñùåïëåíèå ñåïàðàòðèñ, âåòâëåíèå ðåøåíèé èíåñóùåñòâîâàíèå èíòåãðàëà â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà, Òðóäû ÌÌÎ N 41(1980), ñ.287-303[24℄ Èâî÷êèí Ì.Þ. Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãîèíòåãðàëàâ çàäà÷å î äâèæåíèè òÿæåëîãî ýëëèïñîèäà íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, ÏÌÌ òîì 75, âûï. 5, 2009, 858-863[25℄ Èâî÷êèí Ì.Þ.

Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèç äâèæåíèÿ ýëëèïñîèäà ïî ãëàäêîéïëîñêîñòè, Ìàòåì. ñá., 2008, 199:6, 85104[26℄ Êàðàïåòÿí À.Â. Óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé, ÈçäàòåëüñòâîÝäèòîðèàë ÓÑÑ, 1998[27℄ Êîçëîâ Â.Â. Ìåòîäû êà÷åñòâåííîãî àíàëèçà â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà,Èçäàòåëüñòâî ÌÓ, 198083[28℄ Êîçëîâ Â.Â. Íåñóùåñòâîâàíèå îäíîçíà÷íûõ èíòåãðàëîâ è âåòâëåíèå ðåøåíèé â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà // Ïðèêë.