Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости (1103063), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Îòñþäà âûðàæàåì x ÷åðåç α:8α1 yα.9α2 + 168Óñëîâèå ðåçîíàíñà (3.6) çàïèøåòñÿ â âèäå óñëîâèÿ (3.1).Èç (3.6),(3.8),(3.9) íàõîäèì çíà÷åíèÿ äëÿ h0310 , h0112, h1003, h1201 è, ïîäñòàâëÿÿ èõ â (3.10), ïîëó÷èì (3.2). ñëó÷àå êîãäà ýëëèïñîèä øàð (b1 = b2 = b3 = R), óñëîâèÿ (3.1),(3.2)ïåðåïèøóòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:f ≡ 9J3(J1 −9J3)u2 −2J1 α1 (32J1 −9J3 )(J1 −J3 )u+J12 α12 J3(9J1 −J3 ) = 0 (3.11)g ≡ −81J3(12J3α12 + 63J32 − 49J3J1 − 4α12J1)u4+(3.12)−9α1 J1(132α12J32 − 88α12J1J3 − 297J33 + 874J1J32 − 509J12J3 + 4J12α12 )u3++J12 α12 (624α12J1J3 − 228α12J32 + 455J12J3 + 1269J33 − 108α12J12 − 1652J1J32 )u2++α13 J13(−33J12J3 + 155J33 + 168α12J1J3 − 108α12J12 − 54J1J32 − 12α12J32 )u++3α14J14 (−12J12α12 + 4α12J1J3 − J12J3 + 2J33 + J1J32 ) = 0Çàìå÷àíèå ñëó÷àå J1 = 2J3 = 2J óñëîâèå (3.11) äàåòf ≡ −J 2 (34Jα1 + 9α2 )(−2Jα1 + 7α2 ),à óñëîâèå (3.12)g ≡ 5α2 J 3(34Jα1 + 9α2)(−2Jα1 + 7α2)(2Jα1 + 9α2)−−12α12J 2(2Jα1 + α2)(−10Jα1 + 3α2)(9α4 − 2Jα1α2 − 8α12J 2 ).Ñ ó÷åòîì f = 0 ïåðâîå ñëàãàåìîå â g , êîòîðîå èìååò ïî α1 ÷åòâåðòûéïîðÿäîê, ðàâíî íóëþ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò êëàññè÷åñêîìó ñëó÷àþ Êîâàëåâñêîé;âòîðîå ñëàãàåìîå â g èìååò øåñòîé ïîðÿäîê ïî α1 è îòëè÷íî îò íóëÿ, ò.å.àíàëîãà èíòåãðàëà Êîâàëåâñêîé â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå çäåñü íå ñóùåñòâóåò.69ëàâà 5Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ïîëíîéàëãåáðàè÷åñêîé èíòåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèéäâèæåíèÿ òÿæåëîãî íåîäíîðîäíîãî øàðà íàãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè5.1.Ââåäåíèå ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîáëåìà ïîèñêà èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåââ çàäà÷å î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî øàðà ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîéïëîñêîñòè.
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ øàðà ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ñõîäíûñ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé. Âîáùåì ñëó÷àå äëÿ èõ èíòåãðèðóåìîñòè òàêæå íåäîñòàåò îäíîãî èíòåãðàëà. Ìåòîäîì ÊîâàëåâñêîéËÿïóíîâàÈîøèäû äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî äîïîëíèòåëüíûéèíòåãðàë ñóùåñòâóåò ëèøü â äâóõ ñëó÷àÿõ, àíàëîãè÷íûõ ñëó÷àÿì Ýéëåðà èËàãðàíæà.5.2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è èõïåðâûå èíòåãðàëûÒÿæåëûé òâåðäûé øàð äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè.Åñëè èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ äâèæåíèå öåíòðà ìàññ âäîëü ïëîñêîñòè (êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì), òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ øàðà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:Ṁ = M ×∂H∂H+γ ×,∂M∂γ70γ̇ = γ ×∂H,∂M(2.1)A(γ) = DJ2 J3 +−1 m(J2 a23+−ma1 a2 J3J3 a22 )−ma1 a2 J3J1 J3 +−ma1 a3 J2m(J3 a21+J1 a23 )−ma2 a3 J1−ma1 a3 J2−ma2 a3 J1J1 J2 + m(J1 a22 + J2 a21 ),D = J1 J2J3 + m(J1 J2a23 + J1 J3a22 + J2 J3a21 )V = mg(X1 γ1 + X2 γ2 + X3γ3 ),a1 = X2 γ3 − X3γ2 (123)Çäåñü γ = (γ1 , γ2 , γ3 ) åäèíè÷íûé âåêòîð âîñõîäÿùåé âåðòèêàëè; m ìàññà òåëà; J = diag(J1 , J2 , J3 ) ãëàâíûé öåíòðàëüíûé òåíçîð èíåðöèè òåëà;(X1, X2, X3 ) êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ; M = (M1, M2, M3 ) âåêòîð èìïóëüñà.Óðàâíåíèÿ (2.1) ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ èìåþò ïåðâûå èíòåãðàëû:H=<AM ,M >2+ V = h èíòåãðàë ýíåðãèè,K =< M , γ >= k èíòåãðàë ïëîùàäåé,Γ =< γ, γ >= c ãåîìåòðè÷åñêèé èíòåãðàë.Îãðàíè÷åíèå ñèñòåìû (2.1) íà ñîâìåñòíûé óðîâåíü èíòåãðàëîâ Mk,c == {(M, γ)|K = k, Γ = c} ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Äëÿ åå èíòåãðèðóåìîñòè, ñîãëàñíî òåîðåìå ÀðíîëüäàËèóâèëëÿ, íåäîñòàåò îäíîãî äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà.Äîêàçàòåëüñòâî íåèíòåãðèðóåìîñòè ñëåäóåò êîíöåïöèÿì, ðàçðàáîòàííûìÑ.Â. Êîâàëåâñêîé, À.Ì. Ëÿïóíîâûì, Ñ.Ë. Çèãëèíûì â ðàáîòàõ [15], [21], [22],à òàêæå ìåòîäàì, îñíîâàííûì íà ïðèìåíåíèè äèåðåíöèàëüíîé òåîðèè àëóà [72], [78]. Ýòè òåîðèè îïèðàþòñÿ íà èññëåäîâàíèå óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõâ îêðåñòíîñòè ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ, íå ÿâëÿþùåãîñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ.Óñëîâèÿ îòñóòñòâèÿ âåòâëåíèÿ íàëàãàåò îïðåäåëåííûå îãðàíè÷åíèÿ, ÷òî è äàåò íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè.
Ñõîæèå çàäà÷è ðàññìàòðèâàëèñü71â ðàáîòàõ [25], [24], [62].Îñíîâíîé ðåçóëüòàò îðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Òåîðåìà 1 Åñëè J1 6= J2 6= J3 6= J1 , òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (2.1) íå ÿâëÿþòñÿ àëãåáðàè÷åñêè âïîëíå èíòåãðèðóåìîé, çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ, êîãäàX1 = X2 = X3 = 0.Òåîðåìà 2 Åñëè õîòÿ áû äâà Ji (i = 1, 2, 3) ñîâïàäàþò (íàïðèìåð, J1 == J2), òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (2.1) íå ÿâëÿþòñÿ àëãåáðàè÷åñêè âïîëíå èíòåãðèðóåìîé, çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ Ëàãðàíæà (êîãäà X1 = X2 = 0).5.3. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíîãî äîêàçàòåëüñòâàäâóõ ëåìì.Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî m = g = 1.Ëåììà 1 Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìåðîìîðíîé èíòåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèé (2.1), â ïðåäïîëîæåíèè ðàçëè÷íîñòè ìîìåíòîâ èíåðöèè ýòî óñëîâèååññà:X1pJ1(J2 − J3 ) + X2pJ2(J3 − J1) + X3pJ3 (J1 − J2) = 0(3.1)Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1. Âîçüìåì ÷àñòíîå ðåøåíèå âèäàγ1 = 0,Ṁ1 = (11− )M2 M3 (123)J3 J2(3.2)Òîãäà óðàâíåíèå â âàðèàöèÿõ äëÿ (1.1) èìååò âèä:(J − J3)M3m2 (J2 − J3 )M2m3 ṁ1 = 2+− X3 n2 + X2 n1J3J2M3 n2 M2 n3n˙1 =−J3J2=åøåíèåq(3.2)(f −2hJ3 )J1J1 −J3 cn(τ, k),ìîæíîM2 =qâûïèñàòüâ(f −2hJ3 )J2J2 −J3 sn(τ, k),72ÿâíîìM3 =(123)(3.3)(123)âèäå:qM1=(2hJ1 −f )J3J1 −J3 dn(τ, k),ãäå k =2(J1 −J2 )(f −2hJ3 ),(J2 −J3 )(2hJ1 −f )τ =q(J2 −J3 )(2hJ1 −f )t,J1 J2 J3f = const.
Òîãäà ðèìàíîâàïîâåðõíîñòü äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (3.2) ýòî òîð ñ âûêîëîòîé îñîáîé òî÷êîét = 0, ïðè÷åì îáðàçóþùèå ýòîãî òîðà íåðåçîíàíñíû. Ñîãëàñíî òåîðåìåÇèãëèíà, óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè åñòü óñëîâèå èõ êîììóòèðóåìîñòè, ÷òîâ äàííîì ñëó÷àå ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó òîæäåñòâåííîìó ýëåìåíòó îáõîäàîêîëî åäèíñòâåííîé îñîáåííîñòè. À ýòî â ñâîþ î÷åðåäü äàåò îäíîçíà÷íîñòüðåøåíèÿ ïðè îáõîäå îêîëî îñîáîé òî÷êè. àññìàòðèâàÿ âñå óíêöèè âîêðåñòíîñòè ýòîé îñîáîé òî÷êè, ïîëó÷èì, ÷òî ëîãàðèìû îòñóòñòâóþò ëèøüâ ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ åññà [15].Ëåììà 1 äîêàçàíà.Ñëåäñòâèå 1: Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âñå ìîìåíòû èíåðöèè óïîðÿäî÷åíû, íàïðèìåð, J1 > J2 > J3 , òî èç (3.1) ñëåäóåò, ÷òî X2 = 0.Ëåììà 2 Ïóñòü X2 = 0, J1 > J2 > J3 .
Òîãäà äëÿ òîãî, ÷òîáû ñèñòåìà(2.1) áûëà àëãåáðàè÷åñêè âïîëíå èíòåãðèðóåìîé, íåîáõîäèìî: X1 X3 = 0.Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2. åøåíèå M2 = M2 (t), γ1 = γ1 (t), γ3 == γ3(t), M1 = M3 = γ2 = 0 óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì:∂A22∂A22Ṁ2 = X1 γ3 − X3 γ1 + 0.5(γ3− γ1)M22∂γ1∂γ3γ˙1 = −A22M2 γ3γ˙3 = A22M2 γ1Ââåäåì âîçìóùåíèå:m1 = M1, m3 = M3 , m2 = M2 − M2 (t),n1 = γ1 − γ1 (t), n3 = γ3 − γ3(t), n2 = γ2 ..73Íîðìàëüíîå âàðèàöèîííîå óðàâíåíèå â âîçìóùåííûõ ïåðåìåííûõ èìååòâèä:∂A12∂A23ṁ1 = −γ3M2 m1 + (A33 − A22 − γ3)M2 m3 +∂γ2∂γ2∂A23∂A22∂A222+((+0.5−0.5γ)M22 + X3 )n232∂γ∂γ∂γ232∂A23∂A12 ṁ3 = (A22 − A11 + γ1)M2 m1 + γ1M2 m3 +∂γ2∂γ2∂A2∂A12∂A22+((0.5γ1 22−− 0.5)M22 − X1 )n22∂γ∂γ∂γ212∂A23∂A12n˙2 = A11 γ3 m1 − A33 γ1 m3 + (γ3− γ1)M2 n2∂γ2∂γ2γ m +γ m +M n =01133(3.4)2 2Âûðàçèì èç äâóõ ïîñëåäíèõ óðàâíåíèé (3.4) âûðàæåíèÿ äëÿ m1 è m3 :m1 =m3 =∂A2312γ3 n˙2 − ((γ3 ∂A∂γ2 − γ1 ∂γ2 )γ3 +γ32J1+γ1J3 )M2 n2γ12J3∂A2312−γ1 n˙2 − (−(γ3 ∂A∂γ2 − γ1 ∂γ2 )γ1 +γ32J1+,γ3J1 )M2 n2γ12J3.Ïîäñòàâèì èõ âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3.4) è â èòîãå ïîëó÷èì îäíîëèíåéíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé n = n2 :n̈ + a1 ṅ + a0 = 0(3.5)Ñäåëàåì çàìåíó âðåìåíè:z=Òîãäàγ3,1 + γ1γ1 =1 − z2,1 + z2γ3 =2z.1 + z2(3.6)2(J2(1 + z 2 )2 + (X3(1 − z 2 ) − 2X1 z)2)żM2 =.(1 + z 2 )3Óðàâíåíèå (3.5) ñ ó÷åòîì (3.6) èìååò âèä:n′′ + b1n′ + b0n = 074(3.7)z̈ + a1 żzh + X1 z − X33z2(J2 (1 + z 2 )z − pα (z)(X3 z + X1 )) 8(J3 − J1 )z(1 − z 2 )b1 ==+−−,ż 2p3 (z)1 + z2p1 (z)J1 J3 p2 (z)(1 + z 2 )1b0 = − 2(z + 1)24J2 (J1 − J3 − J2 ) 32(J1 − J3 )J2 z 2 4J2 (X1 (1 − z 2 ) + 2X3 z)2J2 pβ−−+J1 J3J1 p2 (z)J1 J3 p1 (z)J1 J3 p3 (z)ãäåpα (z) = X3 (1 − z 2 ) − 2X1 z ,pβ (z) = J1X1 (1 − z 2 ) + 2J3X3 z,p1(z) = J2 (1 + z 2 )2 + p2α (z),p2 (z) = J1(1 − z 2 )2 + 4J3z 2 ,p3 (z) = (1 + z 2 )h − X1 (1 − z 2 ) − 2X3 z.Âñå êîíå÷íûå ïîëþñû óíêöèè r(z) =b′122+ b41 − b0, êðîìå z = ∞, âòîðîãîïîðÿäêà, à ïîëþñû z = ∞ èìåþò ÷åòâåðòûé ïîðÿäîê.
Âû÷èñëèì ñòàðøèåêîýèöèåíòû b â ðàçëîæåíèè r(z) â ýòèõ ïîëþñàõ:√−X1 ± X12 +X32 +J25√z=, òîãäà b = 16;X±iJ32√ 2 2 2X ± X +X −h3z = 3 X11+h 3 , òîãäà b = − 16;qqz = ±( JJ31 ± JJ31 − 1)i, òîãäà b = 34 ;z = i, òîãäà bi =2116−J2 (J1 +J3 −J2 )J1 J3z = −i, òîãäà b−i = b∗i .−J2 (J1 X1 +iJ3 X3 )2J1 J3 (X1 +iX3 ) ;Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì îäíîçíà÷íîñòè ðåøåíèÿ äëÿ ñèñòåìû (3.7) âîêðåñòíîñòè âñåõ ïîëþñîâ ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíîñòü âñåõ êîýèöèåíòîâ b,÷òî è äàåò óñëîâèÿ: J1 = J2 = J3 , X2 = 0 (Ëàãðàíæ), ëèáî X1 X3 = 0.àññìîòðèì ñëó÷àé J1 = J2 , X2 = X3 = 0. ×òîáû ïîëó÷èòü â ýòîì ñëó÷àåäîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ íà ïàðàìåòðû, âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì öåëî÷èñëåí√íîñòè âåëè÷èíû 1 + 1 + 4bi.
Ïî ñìûñëó ýòà âåëè÷èíà ñîîòâåòñòâóåò óäâîåííîé ñòåïåíè ñòàðøåãî ñëàãàåìîãî â ðàçëîæåíèè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.7)â îêðåñòíîñòè ïîëþñà z = i ïî ñòåïåíÿì (z − i), à òàêæå ñòåïåíè ñòàðøåãî75,ñëàãàåìîãî â ðàçëîæåíèè ðåøåíèÿ (3.5) â îêðåñòíîñòè ïîëþñà t = 0 ïî ñòåïåíÿì t (óäâîåíèå ïðè ïåðåõîäå îò ïåðåìåííîé t ê z ñâÿçàíî ñ âèäîì çàìåíû(3.6)).
Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíû b îñòàëüíûõ êîíå÷íûõ ïîëþñîâ óíêöèè r(z),êðîìå z = ±i, õàðàêòåðèçóþò îñîáåííîñòè, âîçíèêàþùèå ïðè çàìåíå (3.6) âdz,dtïîýòîìó ýòè ïîëþñà ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àþòñÿ√îò ïîëþñîâ z = ±i. Èòàê èç óñëîâèÿ öåëî÷èñëåííîñòè âåëè÷èíû 1 + 1 + 4biòî÷êàõ, ãäå çàíóëÿåòñÿïîëó÷àåì äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ: J1 /J3 = 5/8, ëèáî J1 /J3 = 9/8.Ëåììà 2 äîêàçàíà.Ñëåäñòâèå 2: Èç ëåììû 2 ñëåäóåò, ÷òî â èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àå õîòÿ áûäâà ìîìåíòà èíåðöèè ñîâïàäàþò.Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â èíòåãðèðóåìîì ñëó÷àåJ1 = J2 . Òîãäà ìîæíî ïîâåðíóòü ãëàâíûå îñè èíåðöèè òàê, ÷òî X2 = 0, è ïðèìåíÿÿ ëåììó 2, ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ èíòåãðèðóåìîñòè íåîáõîäèìî âûïîëíåíèåõîòÿ áû îäíîãî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
