Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости (1103063)
Текст из файла
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÎÑÓÄÀÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÑÈÒÅÒèìåíè Ì. Â. ËîìîíîñîâàÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 531.36Èâî÷êèí Ìèõàèë Þðüåâè÷Èíòåãðèðóåìîñòü è íåèíòåãðèðóåìîñòüóðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òåëàýëëèïñîèäàëüíîé îðìû íà ãëàäêîéãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòèÑïåöèàëüíîñòü 01.02.01 òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêàÄÈÑÑÅÒÀÖÈßíà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûå ðóêîâîäèòåëè:ä.
.-ì. í., ïðî.Êàðàïåòÿí À. Â.ê. .-ì. í., äîö.Îøåìêîâ À. À.Ìîñêâà2009ÑîäåðæàíèåÂâåäåíèåëàâà 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Îáçîð ìåòîäîâ, èñïîëüçóåìûõ äëÿ èññëåäîâàíèÿ èíòåãðèðóåìîñòè è íåèíòåãðèðóåìîñòè äèåðåíöèàëüíûõ óðàâ. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.1. Èíòåãðèðóåìîñòü äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. . . . . . . . .81.2. Íåèíòåãðèðóåìîñòü äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. . . . . . . .8íåíèéëàâà 2.Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèç äâèæåíèÿ ýëëèïñîèäà íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè2.1. Ââåäåíèå. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ñõåìà èññëåäîâàíèÿ. . . . . . . . . . . . . 332.3. Ïîñòðîåíèå áèóðêàöèîííûõ äèàãðàìì, èçó÷åíèå ïåðåñòðîåêòîðîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 382.4. Èññëåäîâàíèå èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèéëàâà 3.. . . . . . . . . 50Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà â çàäà÷å î äâèæåíèè òÿæåëîãî òðåõîñíîãî ýëëèïñîèäà íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè . . . . . . . . 563.1. Ââåäåíèå. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è èõ ïåðâûå èíòåãðàëû. 563.3. Äîêàçàòåëüñòâî íåèíòåãðèðóåìîñòèëàâà 4.. . . . . . . . . . . . . . . . 58Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà â çàäà÷å î äâèæåíèè òÿæåëîãî äèíàìè÷åñêè èãåîìåòðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ýëëèïñîèäà íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.1. Ââåäåíèå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è èõ ïåðâûå èíòåãðàëû. 634.3. Äîêàçàòåëüñòâî íåèíòåãðèðóåìîñòèëàâà 5.. . . . . . . . . . . . . . . . 65Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ïîëíîé àëãåáðàè÷åñêîé èíòåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî íåîäíîðîäíîãî øàðà íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè5.1.. . . 70Ââåäåíèå . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è èõ ïåðâûå èíòåãðàëû 705.3. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Çàêëþ÷åíèå. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 80Ëèòåðàòóðà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812ÂâåäåíèåÏîñòàíîâêà çàäà÷èÇàäà÷à î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîéïëîñêîñòè îäíà èç êëàññè÷åñêèõ çàäà÷ ìåõàíèêè. Ýòà çàäà÷à â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáîáùåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãîòâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé. Åñòåñòâåííûì îáðàçîì âñòàåò âîïðîñîá èññëåäîâàíèè âîçìîæíûõ èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ. Èçâåñòíî, ÷òî â ýòîéçàäà÷å ñóùåñòâóþò àíàëîãè ñëó÷àåâ Ýéëåðà è Ëàãðàíæà. Îäíàêî ñëó÷àåâíåòðèâèàëüíîé èíòåãðèðóåìîñòè (ñêàæåì, àíàëîãà ñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîé) ïîêàîáíàðóæåíî íå áûëî. íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è àíàëèçà èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà ýëëèïñîèäàëüíîé îðìû (â ÷àñòíîñòè øàðà)íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè.Èçâåñòíû ðàçíûå ìåòîäû äëÿ èçó÷åíèÿ èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ.
Îäíèìèèç íàèáîëåå ïðîäâèíóòûõ è íàãëÿäíûõ ÿâëÿþòñÿ ìåòîäû òîïîëîãè÷åñêîãîàíàëèçà: ñ ïîìîùüþ ýòèõ ìåòîäîâ èññëåäóþòñÿ ïåðåñòðîéêè èíâàðèàíòíûõìíîãîîáðàçèé (ìåòîä Ñ. Ñìåéëà), ñòðîÿòñÿ òîïîëîãè÷åñêèå èíâàðèàíòû (ìåòîä À.Ò. Ôîìåíêî).Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåèíòåãðèðóåìîñòè çàäà÷è (â ñëó÷àÿõ, îòëè÷íûõ îòàíàëîãîâ ñëó÷àåâ Ýéëåðà è Ëàãðàíæà) èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû Â.Â. Êîçëîâà,Ñ.Ë. Çèãëèíà, Ìîðàëèñà-óèçààìèñà.Ýòîò âîïðîñ áûë èññëåäîâàí â ðàáîòå [14], [83], â êîòîðîé â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó íàéäåíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè.Âîïðîñ, ÿâëÿþòñÿ ëè íàéäåííûå óñëîâèÿ è äîñòàòî÷íûìè äëÿ èíòåãðèðóåìîñòè, ðàññìàòðèâàëñÿ â ðàáîòàõ [29], [8].
 äèññåðòàöèè âî âòîðîì ïðèáëèæåíèèíàéäåíû áîëåå ñèëüíûå è ïðîñòûå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè, ÷òîïðèâîäèò ê âûðîæäåíèþ â äàííîé çàäà÷å äëÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ñëó÷àÿ3Êëåáøà â òðèâèàëüíûé ñëó÷àé Ýéëåðà. Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïîâåðõíîñòü òåëà- øàð, ìåòîäàìè äèåðåíöèàëüíîé òåîðèè àëóà äîêàçûâàåòñÿ îòñóòñòâèåíåòðèâèàëüíûõ ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè.Îáçîð ðåçóëüòàòîâ1) Äàí îáçîð ðàçëè÷íûõ ìåòîäîâ äîêàçàòåëüñòâà íåèíòåãðèðóåìîñòè ñèñòåì äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïðèìåíÿåìûõ â çàäà÷àõ ìåõàíèêè.2) Äëÿ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå òÿæåëîãî äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ (àíàëîã ñëó÷àÿ Ëàãðàíæà), áûëî âûïîëíåíî:- ïîñòðîåíû áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû Ñìåéëà, îïèñàíû ïåðåñòðîéêèòîðîâ Ëèóâèëëÿ;- èññëåäîâàíû èçîýíåðãåòè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ.3) Äëÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òðåõîñíîãî ýëëèïñîèäà ñ ìàëûìèâîçìóùåíèÿìè ïîëóîñåé, äëÿ êîòîðîãî öåíòð ìàññ ñîâïàäàåò ñ ãåîìåòðè÷åñêèì öåíòðîì, áûëî ïîëó÷åíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî ìåðîìîðíîãî èíòåãðàëà.4) Äëÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî äèíàìè÷åñêè è ãåîìåòðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ýëëèïñîèäà, äëÿ êîòîðîãî ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè èíåðöèè ñîíàïðàâëåíû ñ ãëàâíûìè îñÿìè ýëëèïñîèäà-ïîâåðõíîñòè è öåíòð ìàññ êîòîðîãîëåæèò â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà-ïîâåðõíîñòè, áûëè ïîëó÷åíûíåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî èíòåãðàëà.5) Äëÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî íåîäíîðîäíîãî øàðà áûëè ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ òîãî, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè âïîëíå èíòåãðèðóåìîé.Ñîäåðæàíèå ðàáîòûÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, ïÿòè ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû.Âî ââåäåíèè îïèñàíà ïðåäìåòíàÿ îáëàñòü è öåëü íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè,4äàí êðàòêèé îáçîð ðàáîò, ñâÿçàííûõ ñ èññëåäîâàíèåì èíòåãðèðóåìûõ è íåèíòåãðèðóåìûõ çàäà÷ â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà è ïðèâåäåíî êðàòêîå ñîäåðæàíèå äèññåðòàöèè.Ñòàâèòñÿ çàäà÷à èññëåäîâàòü îáíàðóæåííûå èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè äëÿóðàâíåíèé äâèæåíèÿ, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå òåëà ýëëèïñîèäàëüíîé îðìûïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, à òàêæå íàéòè óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõèíòåãðàëû ñóùåñòâóþò.
Åñòåñòâåííûå èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè, êîòîðûå çäåñüâîçíèêàþò, - ýòî ñëó÷àé Ýéëåðà, êîãäà ýëëèïñîèä âûðîæäàåòñÿ â øàð ñ ñîâïàäàþùèìè ãåîìåòðè÷åñêèì öåíòðîì è öåíòðîì ìàññ, è Ëàãðàíæà, êîãäà ýëëèïñîèä äèíàìè÷åñêè è ãåîìåòðè÷åñêè ñèììåòðè÷åí. Ïîñêîëüêó â èçâåñòíîéëèòåðàòóðå äâèæåíèå àíàëîãà âîë÷êà Ëàãðàíæà íå ðàññìàòðèâàëîñü, òî èìååò ñìûñë íà÷àòü ðàññìîòðåíèå èìåííî ñ ýòîãî ñëó÷àÿ. ïåðâîé ãëàâå äàåòñÿ îáçîð ðàçëè÷íûõ ìåòîäîâ, èñïîëüçóåìûõ ïðè äîêàçàòåëüñòâå èíòåãðèðóåìîñòè è íåèíòåãðèðóåìîñòè äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Âî âòîðîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå òÿæåëîãî òâåðäîãî äèíàìè÷åñêè è ãåîìåòðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ýëëèïñîèäà ñî ñìåùåííûì âäîëü îñèñèììåòðèè öåíòðîì ìàññ íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Ñîãëàñíî ïðîãðàììå Ñìåéëà ïî èññëåäîâàíèþ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ ñèììåòðèåé ðàññìàòðèâàåòñÿ îòîáðàæåíèå ìîìåíòà.
Ñòðîÿòñÿ è êëàññèèöèðóþòñÿ ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû. Äëÿ êàæäîé îáëàñòè áèóðêàöèîííîé äèàãðàììû óñòàíàâëèâàåòñÿ ÷èñëî òîðîâ Ëèóâèëëÿ,èçó÷àþòñÿ ïåðåñòðîéêè ýòèõ òîðîâ. Îïèñûâàþòñÿ îñîáåííîñòè îòîáðàæåíèÿìîìåíòà, äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ èçó÷àþòñÿ îñîáåííîñòè ðàíãà 1 è2. Êðîìå òîãî, â ñëó÷àå, êîãäà öåíòð ìàññ ñîâïàäàåò ñ ãåîìåòðè÷åñêèì, ñòðîÿòñÿ è êëàññèèöèðóþòñÿ áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, à òàêæå èññëåäóþòñÿ ïåðåñòðîéêè òàê íàçûâàåìûõ èçîýíåðãåòè÷åñêèõìíîãîîáðàçèé.5 òðåòüåé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ ýëëèïñîèä, áëèçêèé ê øàðó, ñ ìàëî îòëè÷àþùèìèñÿ ïîëóîñÿìè.
 ýòîì ñëó÷àå, â [14] áûëî äîêàçàíî, ÷òî íåîáõîäèìûåóñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà òàêîâû:(1) Öåíòð ìàññ ýëëèïñîèäà ñîâïàäàåò ñ åãî ãåîìåòðè÷åñêèì öåíòðîì(2) ëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè èíåðöèè ýëëèïñîèäà ñîíàïðàâëåíû ñ ãëàâíûìè ãåîìåòðè÷åñêèìè îñÿìè ýëëèïñîèäà-ïîâåðõíîñòè(3) Âûïîëíåíî óñëîâèå Êëåáøà:J1 (B2 − B3) + J2(B3 − B1 ) + J3 (B1 − B2 ) = 0, ãäå J1, J2, J3 - ìîìåíòûèíåðöèè òåëà, B1 , B2 , B3 - ãëàâíûå ïîëóîñè ýëëèïñîèäà - ïîâåðõíîñòè.Âñòàâàë âîïðîñ, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííîå óñëîâèå è äîñòàòî÷íûì.  îòëè÷èå îòðàáîòû [14], â äèññåðòàöèè áåðåòñÿ íå ãîìîêëèíè÷åñêîå ÷àñòíîå ðåøåíèå, à ýëëèïòè÷åñêîå. Ìåòîäîì äèåðåíöèàëüíîé òåîðèè àëóà íàõîäÿòñÿ óñëîâèÿ,ïðè êîòîðûõ ãðóïïà àëóà äëÿ ëèíåàðèçîâàííîãî â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè âîçìóùåííîãî óðàâíåíèÿ áóäåò àáåëåâà.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
