Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости, страница 5

Ìåòîä àëãîðèòìè÷åñêîãî àíàëèçà ïðîâåðêè íà èíòåãðèðóåìîñòü â êâàäðàòóðàõ äëÿ ëèíåéíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, êîýèöèåíòû êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ðàöèîíàëüíûìè óíêöèÿìè âðåìåíè (Äæ. Êîâà÷è÷)àññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ðàöèîíàëüíûìèêîýèöèåíòàìè:y ′′ = r(x)y,r(x) ∈ C(x)(2.19)Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà êëàññèèöèðóåò ãðóïïû àëóà äëÿ óðàâíåíèÿ (2.19).Èçíà÷àëüíî îíà áûëà äîêàçàíà Ëèóâèëëåì íà ÿçûêå ëèíåéíîé àëãåáðû, ïîçäíåå ïåðåîðìóëèðîâàíà íà ÿçûêå òåîðèè àëóà.Òåîðåìà [82]. Äëÿ óðàâíåíèÿ (2.19) âåðíû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:RÑëó÷àé 1.

Ñóùåñòâóåò ðåøåíèå y(x) = e ωdx ,ω(x) ∈ C(x) ⇐⇒ G ⇐⇒òðèàíãóëèðóåìà G = T ∪ D, ãäå a b , a 6= 0, b 6= 0, a, b ∈ C (ðîâíî îäíî ýêñïîíåíöèàëüíîåT =  0 a−1 a 0 , a 6= 0, a ∈ C (äâà ýêñïîíåíöèàëüíûõ ðåøåíèÿ)ðåøåíèå), D =  0 a−1⇐⇒ âñå ïîëþñà r(x) èìåþò èëè ÷åòíûé ïîðÿäîê, èëè ðàâíûé 1, à ïîðÿäîêïîëþñà r(x) â ∞ èëè ÷åòíûé, èëè íå ìåíüøå 2.Ñëó÷àé 2.

Åñëè óñëîâèå ñëó÷àÿ 1 íå èìååò ìåñòî, òî:RÑóùåñòâóåò ðåøåíèå y(x) = eωdx,ω(x)2 ∈ C(x) ⇐⇒ G íåòðèàíãóëèðóåìà, íîèìïðèìèòèâíà⇐⇒ G = D† , ãäå λ 0 0η†D =, λ 6= 0, λ ∈ C ∪, η 6= 0, η ∈ C 0 λ−1  −η −1 0⇐⇒ ñóùåñòâóåò ïîëþñ r(x) èìåþùèé íå÷åòíûé ïîðÿäîê áîëüøèé 2 èëèåãî ïîðÿäîê ðàâåí 2.28Ñëó÷àé 3. Åñëè óñëîâèÿ ñëó÷àåâ 1, 2 íå èìåþò ìåñòà, òî:Âñå ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷íû íàä C(x) ⇐⇒ G êîíå÷íàÿ ãðóïïà.Ñëó÷àé 4. Åñëè óñëîâèÿ ñëó÷àåâ 1, 2, 3 íå èìåþò ìåñòà, òî Ëèóâèëëåâûõðåøåíèé íåò, òî åñòü G = SL(2).Îäíàêî äàííàÿ òåîðåìà íå äàåò êîíñòðóêòèâíîé ïðîâåðêè íàõîæäåíèÿãðóïïû àëóà. Òàêîé àëãîðèòì áûë ïðåäëîæåí Äæ.

Êîâà÷è÷åì [69].Àëãîðèòì Êîâà÷è÷à ïîçâîëÿåò êîíñòðóêòèâíî íàéòè íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ òîãî, óäîâëåòâîðÿåò ëè äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà êëàññèèêàöèè, äàííîé â òåîðåìå 3. Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåìëèøü ïåðâîãî è âòîðîãî ñëó÷àåâ òåîðåìû 3.Òåîðåìà (Äæ. Êîâà÷è÷ 1985) [69]Ñëó÷àé 1Ïóñòü Γ ìíîæåñòâî ïîëþñîâ óíêöèè r(x).√1 øàã.

Äëÿ êàæäîãî c ∈ Γ ∪ ∞ îïðåäåëèì ðàöèîíàëüíóþ óíêöèþ [ r]cè äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà αc+ , αc− ñëåäóþùèì îáðàçîì:√(c1 ) Åñëè c ∈ Γ ïîëþñ ïåðâîãî ïîðÿäêà, òîãäà [ r]c = 0, αc+ = αc− = 1.√(c2 ) Åñëè c ∈ Γ ïîëþñ âòîðîãî ïîðÿäêà, òîãäà [ r]c = 0 è ïóñòü b êîýèöèåíò ïðè1(x−c)2 ,òîαc±=12±√1+4b2 .√ad(c3 ) Åñëè c ∈ Γ ïîëþñ ïîðÿäêà 2ν ≥ 4, òîãäà [ r]c = (x−c)ν + ... + (x−c)2√(ðàçëîæåíèå óíêöèè r â îêðåñòíîñòè ïîëþñà äî ÷ëåíîâ 2-ãî ïîðÿäêà),1αc± = 12 (± ab + ν), ãäå b ðàçíîñòü êîýèöèåíòîâ ïðè (x−c)ν+1 â r(x) è ïðèp1â {[ r(x)]c}2 .(x−c)ν+1√+−(∞1) Åñëè ïîðÿäîê c ∈ ∞ áîëüøå 2, òîãäà [ r]∞ = 0, α∞= 0, α∞= 1.√√1+−(∞2) Åñëè ïîðÿäîê c ∈ ∞ ðàâåí 2, òîãäà [ r]∞ = 0, α∞ = α∞ = 2 ± 1+4b2 ,ãäå b êîýèöèåíò ïðè1x2 .√±(∞3) Åñëè ïîðÿäîê c ∈ ∞ ðàâåí −2ν , òîãäà [ r]∞ = axν + ...

+ d, α∞== 21 (± ab − ν), ãäå b ðàçíîñòü êîýèöèåíòîâ ïðè xν−1 â r(x) è ïðè xν−1 âp{[ r(x)]∞ }2.292 øàã.Äëÿ êàæäîãî ñåìåéñòâà s = (s(c))c∈Γ∪∞, s(c) = {±} îïðåäåëèì ÷èñëîdeg =s(∞)α∞−Xαcs(c) .c∈ΓÒîãäà ÷èñëî deg äîëæíî áûòü öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå è îïðåäåëèì:!s(c)X√√αc+ s(∞)[ r]∞ .ω=s(c)[ r]c +x−cc∈Γ3 øàã.Ñóùåñòâóåò ïîëèíîìèàëüíîå ðåøåíèå ñòåïåíè deg ó óðàâíåíèÿ:P ′′ + 2ωP ′ + (ω ′ + ω 2 − r)P = 0RÒîãäà η = P (x)eωdx(2.20) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.19).

Åñëè óñëîâèÿ øàãîâ 2è 3 íå âûïîëíÿþòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî äàííûé ñëó÷àé íå èìååò ìåñòà.Ñëó÷àé 2Åñëè â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ àëãîðèòìà âûÿñíèëîñü, ÷òî ñëó÷àé 1 íåèìååò ìåñòà, òî íóæíî ïðîâåðèòü ñëó÷àé 2 (ïðè ïðèìåíåíèè àëãîðèòìà äëÿñëó÷àÿ 2 ïðåäïîëàãàåòñÿ èçâåñòíûì, ÷òî ñëó÷àé 1 íå èìååò ìåñòà).Ïóñòü Γ ìíîæåñòâî ïîëþñîâ óíêöèè r(x).1 øàã. Äëÿ êàæäîãî c ∈ Γ ∪ ∞ îïðåäåëèì ìíîæåñòâî E = ∪Ec è êîìïëåêñíûå ÷èñëà ei ñëåäóþùèì îáðàçîì:(c1 ) Åñëè c ∈ Γ ïîëþñ ïåðâîãî ïîðÿäêà, òîãäà Ec = {4},√(c2 ) Åñëè c ∈ Γ ïîëþñ âòîðîãî ïîðÿäêà, òîãäà Ec = {2 + k 1 + 4b|k == 0, ±2} ∩ Z, ãäå b êîýèöèåíò ïðè1(x−c)2 ,(c3 ) Åñëè c ∈ Γ ïîëþñ ïîðÿäêà ν > 2, òîãäà Ec = {ν},(∞1) Åñëè ïîðÿäîê c ∈ ∞ áîëüøå 2 ,òîãäà E∞ = {0, 2, 4},√(∞2) Åñëè ïîðÿäîê c ∈ ∞ ðàâåí 2 ,òîãäà E∞ = {2+k 1 + 4b|k = 0, ±2}∩Z, ãäå b êîýèöèåíò ïðè1x2 ,30(∞3) Åñëè ïîðÿäîê c ∈ ∞ ìåíüøå 2 ,òîãäà E∞ = {ν}.2 øàã.Äëÿ êàæäîãî ñåìåéñòâà (ec )c∈Γ∪∞ ∈ Ec , îïðåäåëèì ÷èñëîX1ec ).deg = (e∞ −2c∈ΓÒîãäà ÷èñëî deg äîëæíî áûòü öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå è îïðåäåëèì:θ=1 X ec.2x−cc∈Γ3 øàã.Ñóùåñòâóåò ïîëèíîìèàëüíîå ðåøåíèå ñòåïåíè deg ó óðàâíåíèÿ:P ′′′ + 3θP ′′ + (3θ2 + 3θ′ − 4r)P ′ + (θ′′ + 3θθ′ + θ3 − 4rθ − 2r′)P = 0Ïóñòü Φ = θ +P′PRÒîãäà η = P (x)eè ïóñòü ω ðåøåíèå óðàâíåíèÿ:11ω 2 + Φω + ( Φ′ + Φ2 − r) = 022ωdx ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.19).

Åñëè óñëîâèÿ øàãîâ 2è 3 íå âûïîëíÿþòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, äàííûé ñëó÷àé íå èìååò ìåñòà.31ëàâà 2Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèç äâèæåíèÿ ýëëèïñîèäàíà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè2.1. Ââåäåíèå ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëàïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè.

Èìåþòñÿ ðàçëè÷íûå àíàëîãèè ìåæäóýòîé çàäà÷åé è çàäà÷åé î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé. Â÷àñòíîñòè, â îáåèõ çàäà÷àõ ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îáëàäàþò òðåìÿ íåçàâèñèìûìè èíòåãðàëàìè, è, òàêèì îáðàçîì,äëÿ èíòåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òðåáóåòñÿ åùå îäèí íåçàâèñèìûéèíòåãðàë, íàëè÷èå êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè íà ïàðàìåòðû ñèñòåìû.Îäíàêî, â îòëè÷èå îò çàäà÷è î òåëå ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé, ãäå ãåîìåòðè÷åñêàÿ îðìà òåëà íåñóùåñòâåííà, â çàäà÷å î äâèæåíèè òåëà ïî ïëîñêîñòèíåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü âèä ïîâåðõíîñòè òåëà. Îáû÷íî íà îðìó ïîâåðõíîñòè íàêëàäûâàåòñÿ óñëîâèå âûïóêëîñòè è óñëîâèå, ÷òî êàñàíèå ïîâåðõíîñòèñ ïëîñêîñòüþ ïðîèñõîäèò â îäíîé òî÷êå.Íà äàííûé ìîìåíò â çàäà÷àõ î äâèæåíèè òåë ïî ãëàäêîé ïëîñêîñòè ñóùåñòâîâàíèå äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà äîêàçàíî äëÿ äâóõ ñëó÷àåâ: âîïåðâûõ,äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà òåëî ÿâëÿåòñÿ íåîäíîðîäíûì øàðîì, öåíòð ìàññ êîòîðîãîñîâïàäàåò ñ ãåîìåòðè÷åñêèì öåíòðîì, à ìîìåíòû èíåðöèè ïðîèçâîëüíû, èâîâòîðûõ, äëÿ ñëó÷àÿ äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî òåëà âðàùåíèÿ [14].

Âïåðâîì ñëó÷àå çàäà÷à àíàëîãè÷íà çàäà÷å î âîë÷êå Ýéëåðà.  äàííîé ðàáîòåðàññìàòðèâàåòñÿ âòîðîé ñëó÷àé: â êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòè áåðåòñÿ äèíàìè÷åñêèñèììåòðè÷íûé ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ, ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, àêòè÷åñêè, ñõîäíû ñ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ äëÿ âîë÷êà Ëàãðàíæà.32Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì äàííîé ãëàâû ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå áèóðêàöèîííûõ äèàãðàìì Ñìåéëà [44]. Îïèñàíèå ïåðåñòðîåê èíâàðèàíòíûõ òîðîâ è òîïîëîãè÷åñêè èíâàðèàíòíûõ ïîâåðõíîñòåé ïðîâîäèòñÿ ìåòîäàìè òåîðèè òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèèêàöèè, ðàçâèòîé â ðàáîòàõ À.Ò. Ôîìåíêî è åãî ó÷åíèêîâ(ñì. [5], [53]).Çàäà÷à â àíàëîãè÷íîé ïîñòàíîâêå äëÿ âîë÷êà Ëàãðàíæà ðåøàëàñü â[37], [47].2.2.

Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ñõåìà èññëåäîâàíèÿÒåëî, èìåþùåå îðìó ýëëèïñîèäà, äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîéïëîñêîñòè. Îñü ñèììåòðèè ïîâåðõíîñòè òåëà ñîâïàäàåò ñ îñüþ äèíàìè÷åñêîéñèììåòðèè òåëà, ïðè÷åì öåíòð ìàññ ëåæèò íà ýòîé îñè íà ðàññòîÿíèè s îòãåîìåòðè÷åñêîãî öåíòðà ýëëèïñîèäà-ïîâåðõíîñòè, à ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñèèíåðöèè ñîíàïðàâëåíû ñ ãëàâíûìè îñÿìè ïîâåðõíîñòè òåëà (àíàëîã âîë÷êàËàãðàíæà). Íà òåëî íàëîæåíà îäíà ãîëîíîìíàÿ ñâÿçü: òàêèì îáðàçîì, âûñîòà öåíòðà ìàññ íàä ïëîñêîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü îðèåíòàöèåé ãëàâíûõöåíòðàëüíûõ îñåé èíåðöèè òåëà (íàïðèìåð, óãëàìè Ýéëåðà), è ñèñòåìà èìååòïÿòü ñòåïåíåé ñâîáîäû.Ïóñòü OXYZ íåïîäâèæíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò; Se1 , Se2 , Se3 ãëàâíûåöåíòðàëüíûå îñè èíåðöèè òåëà; v = (vx, vy , vz ) âåêòîð ñêîðîñòè öåíòðà ìàññòåëà â îñÿõ OXYZ; ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè òåëà â îñÿõSe1 e2 e3 ; γ = (γ1 , γ2 , γ3 ) åäèíè÷íûé âåêòîð âîñõîäÿùåé âåðòèêàëè, íàïðàâëåííûé ïî OZ, â îñÿõ Se1 e2 e3 ; (b1 , b1 , b3 ) ãëàâíûå ïîëóîñè ýëëèïñîèäà; m ìàññà òåëà; J = diag(J1 , J1 , J3 ) ãëàâíûé öåíòðàëüíûé òåíçîð èíåðöèè òåëà; r(γ) ðàäèóñ-âåêòîð èç öåíòðà ìàññ òåëà â òî÷êó êàñàíèÿ ñ ïëîñêîñòüþ,N = N γ âåêòîð ðåàêöèè ïëîñêîñòè.33ZgYOe1e3SXe2rèñ.

2.1.Ýëëèïñîèä íà ïëîñêîñòèÄâèæåíèå öåíòðà ìàññ òåëà â ñîïóòñòâóþùèõ îñÿõ îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì óðàâíåíèåì:mv̇ = N − mgγ. ïðîåêöèè íà îñè OX, OY ïîëó÷àåì v̇x = v̇y = 0. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíîâûáðàòü èíåðöèàëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â öåíòðå ìàññ òåëà,äâèæóùóþñÿ ðàâíîìåðíî âäîëü ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè.  ïðîåêöèè íàOZ èìååì:vz = ż, mv˙z = N − mg.Âûðàæàÿ îòñþäà çíà÷åíèå N è ïîäñòàâëÿÿ åãî â çàêîí èçìåíåíèÿ ãëàâíîãîêèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà îòíîñèòåëüíî òî÷êè S, à òàêæå ó÷èòûâàÿ óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà âåðòèêàëüíîãî åäèíè÷íîãî îðòà, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ ÝéëåðàÏóàññîíà:Jω̇ + ω × Jω = r × (mz̈ + mg)γ, γ̇ + ω × γ = 0(2.1) îáùåì ñëó÷àå äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññ íóæíî åùå çàäàòü êîñèíóñû óãëîâ ìåæäó ãëàâíûìè îñÿìè ýëëèïñîèäà è ãëàâíûìè îñÿìèèíåðöèè òåëà, à òàêæå êîîðäèíàòû ãåîìåòðè÷åñêîãî öåíòðà â ãëàâíûõ îñÿõèíåðöèè è ïî íèì íàéòè âûðàæåíèÿ äëÿ r(γ).

 ðàìêàõ ñäåëàííûõ ïðåäïî34ëîæåíèé, èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:r(γ) = −Bγ− se3 ,(Bγ, γ)1/2ãäå B = diag(b21 , b21 , b23 ).Òàêèì îáðàçîì, âîçâûøåíèå öåíòðà ìàññ íàä îïîðíîé ïëîñêîñòüþ, ìîæåòáûòü âûðàæåíà îðìóëîé:z = −(r, γ) = (b21γ12 + b21 γ22 + b23γ32)1/2 + sγ3 .Êàê èçâåñòíî [35], óðàâíåíèÿ (2.1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå óðàâíåíèéàìèëüòîíà äëÿ ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, àçîâîå ïðîñòðàíñòâîêîòîðîé ÿâëÿåòñÿ îðáèòîé êîïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáðû Ëè.Ïåðåéäåì ê êàíîíè÷åñêèì èìïóëüñàì:M = A−1ωA=J1 + aγ12aγ1 γ2J1 (J1 + a(γ12 + γ22)) J1(J1 + a(γ12 + γ22))J1 + aγ22aγ1γ2J1 (J1 + a(γ12 + γ22)) J1(J1 + a(γ12 + γ22))00m(b23 − b21)2 γ32ãäå a = 2.b1 + (b23 − b21 )γ320 0 ,1 J3Ïóñòü e(3) = so(3) ⊕ρ R3 øåñòèìåðíàÿ àëãåáðà Ëè ãðóïïû äâèæåíèéR3 , è M, γ åñòåñòâåííûå êîîðäèíàòû â êîàëãåáðå e(3)∗. Áàçèñíûå ñêîáêèÏóàññîíà èìåþò âèä:{Mi , Mj } = −ǫijk Mk , {Mi, γj } = −ǫijk γk , {γi, γj } = 0, i, j, k = 1, 2, 3.(2.2)Ñêîáêà Ïóàññîíà âûðîæäåíà è îáëàäàåò äâóìÿ óíêöèÿìè Êàçèìèðà,êîììóòèðóþùèìè â ñòðóêòóðå (2.2) ñ ëþáîé óíêöèåé îò M, γ : K = (M, γ) è35Γ = γ 2.

Èíòåãðàë K = const (ïðîåêöèÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà íà âåðòèêàëüíóþ îñü), ñâÿçàí ñ èíâàðèàíòíîñòüþ âðàùåíèé òåëà îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëè;èíòåãðàë Γ = const ãåîìåòðè÷åñêèé, âûðàæàåò óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà åäèíè÷íîãî îðòà. Ïîëîæèâ γ 2 = 1, èñêëþ÷èì åäèíñòâåííûé ñèíãóëÿðíûé ñëîé.4= {K = k, γ 2 = 1} äèåîìîðåí T S 2 .Óðîâåíü M1,kÑîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ àìèëüòîíà èìåþò âèä îáîáùåííûõ óðàâíåíèé Êèðõãîà:Ṁ = M ×∂H∂H+γ ×;∂M∂γγ̇ = γ ×∂H;∂M1H = (AM, M) + mgz;2(2.3)a(M1 γ1 + M2 γ2)2M32122M1 + M2 +++H=2(J1 + a(γ12 + γ22))J12J3222 2 1/2mg (b1 + (b3 − b1)γ3 ) + sγ3 .Äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàë Ëàãðàíæà: M3 = J3 ω .Èòàê, çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû ïîñòðîèòü áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû Ñìåéëà äëÿ ñèñòåìû (2.3). ñîîòâåòñòâèè ñ ïðîãðàììîé Ñìåéëà [44] èññëåäîâàíèÿ ñèììåòðèè, ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå ìîìåíòà4F = (H, M3) : M1,k→ R2 .(2.4)Îáðàç êðèòè÷åñêîãî ìíîæåñòâà åñòü áèóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà Σ îòîáðàæåíèÿ F.