Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости

ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÎÑÓÄÀÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÑÈÒÅÒèìåíè Ì. Â. ËîìîíîñîâàÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÓÄÊ 531.36Èâî÷êèí Ìèõàèë Þðüåâè÷Èíòåãðèðóåìîñòü è íåèíòåãðèðóåìîñòüóðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òåëàýëëèïñîèäàëüíîé îðìû íà ãëàäêîéãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòèÑïåöèàëüíîñòü 01.02.01 òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêàÄÈÑÑÅÒÀÖÈßíà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûå ðóêîâîäèòåëè:ä.

.-ì. í., ïðî.Êàðàïåòÿí À. Â.ê. .-ì. í., äîö.Îøåìêîâ À. À.Ìîñêâà2009ÑîäåðæàíèåÂâåäåíèåëàâà 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Îáçîð ìåòîäîâ, èñïîëüçóåìûõ äëÿ èññëåäîâàíèÿ èíòåãðèðóåìîñòè è íåèíòåãðèðóåìîñòè äèåðåíöèàëüíûõ óðàâ. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.1. Èíòåãðèðóåìîñòü äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. . . . . . . . .81.2. Íåèíòåãðèðóåìîñòü äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. . . . . . . .8íåíèéëàâà 2.Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèç äâèæåíèÿ ýëëèïñîèäà íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè2.1. Ââåäåíèå. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ñõåìà èññëåäîâàíèÿ. . . . . . . . . . . . . 332.3. Ïîñòðîåíèå áèóðêàöèîííûõ äèàãðàìì, èçó÷åíèå ïåðåñòðîåêòîðîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 382.4. Èññëåäîâàíèå èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèéëàâà 3.. . . . . . . . . 50Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà â çàäà÷å î äâèæåíèè òÿæåëîãî òðåõîñíîãî ýëëèïñîèäà íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè . . . . . . . . 563.1. Ââåäåíèå. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è èõ ïåðâûå èíòåãðàëû. 563.3. Äîêàçàòåëüñòâî íåèíòåãðèðóåìîñòèëàâà 4.. . . . . . . . . . . . . . . . 58Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà â çàäà÷å î äâèæåíèè òÿæåëîãî äèíàìè÷åñêè èãåîìåòðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ýëëèïñîèäà íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.1. Ââåäåíèå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è èõ ïåðâûå èíòåãðàëû. 634.3. Äîêàçàòåëüñòâî íåèíòåãðèðóåìîñòèëàâà 5.. . . . . . . . . . . . . . . . 65Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ïîëíîé àëãåáðàè÷åñêîé èíòåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî íåîäíîðîäíîãî øàðà íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè5.1.. . . 70Ââåäåíèå . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è èõ ïåðâûå èíòåãðàëû 705.3. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Çàêëþ÷åíèå. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 80Ëèòåðàòóðà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812ÂâåäåíèåÏîñòàíîâêà çàäà÷èÇàäà÷à î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîéïëîñêîñòè îäíà èç êëàññè÷åñêèõ çàäà÷ ìåõàíèêè. Ýòà çàäà÷à â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáîáùåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãîòâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé. Åñòåñòâåííûì îáðàçîì âñòàåò âîïðîñîá èññëåäîâàíèè âîçìîæíûõ èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ. Èçâåñòíî, ÷òî â ýòîéçàäà÷å ñóùåñòâóþò àíàëîãè ñëó÷àåâ Ýéëåðà è Ëàãðàíæà. Îäíàêî ñëó÷àåâíåòðèâèàëüíîé èíòåãðèðóåìîñòè (ñêàæåì, àíàëîãà ñëó÷àÿ Êîâàëåâñêîé) ïîêàîáíàðóæåíî íå áûëî. íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è àíàëèçà èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà ýëëèïñîèäàëüíîé îðìû (â ÷àñòíîñòè øàðà)íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè.Èçâåñòíû ðàçíûå ìåòîäû äëÿ èçó÷åíèÿ èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ.

Îäíèìèèç íàèáîëåå ïðîäâèíóòûõ è íàãëÿäíûõ ÿâëÿþòñÿ ìåòîäû òîïîëîãè÷åñêîãîàíàëèçà: ñ ïîìîùüþ ýòèõ ìåòîäîâ èññëåäóþòñÿ ïåðåñòðîéêè èíâàðèàíòíûõìíîãîîáðàçèé (ìåòîä Ñ. Ñìåéëà), ñòðîÿòñÿ òîïîëîãè÷åñêèå èíâàðèàíòû (ìåòîä À.Ò. Ôîìåíêî).Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåèíòåãðèðóåìîñòè çàäà÷è (â ñëó÷àÿõ, îòëè÷íûõ îòàíàëîãîâ ñëó÷àåâ Ýéëåðà è Ëàãðàíæà) èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû Â.Â. Êîçëîâà,Ñ.Ë. Çèãëèíà, Ìîðàëèñà-óèçààìèñà.Ýòîò âîïðîñ áûë èññëåäîâàí â ðàáîòå [14], [83], â êîòîðîé â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó íàéäåíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè.Âîïðîñ, ÿâëÿþòñÿ ëè íàéäåííûå óñëîâèÿ è äîñòàòî÷íûìè äëÿ èíòåãðèðóåìîñòè, ðàññìàòðèâàëñÿ â ðàáîòàõ [29], [8].

 äèññåðòàöèè âî âòîðîì ïðèáëèæåíèèíàéäåíû áîëåå ñèëüíûå è ïðîñòûå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè, ÷òîïðèâîäèò ê âûðîæäåíèþ â äàííîé çàäà÷å äëÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ñëó÷àÿ3Êëåáøà â òðèâèàëüíûé ñëó÷àé Ýéëåðà. Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïîâåðõíîñòü òåëà- øàð, ìåòîäàìè äèåðåíöèàëüíîé òåîðèè àëóà äîêàçûâàåòñÿ îòñóòñòâèåíåòðèâèàëüíûõ ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè.Îáçîð ðåçóëüòàòîâ1) Äàí îáçîð ðàçëè÷íûõ ìåòîäîâ äîêàçàòåëüñòâà íåèíòåãðèðóåìîñòè ñèñòåì äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïðèìåíÿåìûõ â çàäà÷àõ ìåõàíèêè.2) Äëÿ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå òÿæåëîãî äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ (àíàëîã ñëó÷àÿ Ëàãðàíæà), áûëî âûïîëíåíî:- ïîñòðîåíû áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû Ñìåéëà, îïèñàíû ïåðåñòðîéêèòîðîâ Ëèóâèëëÿ;- èññëåäîâàíû èçîýíåðãåòè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ.3) Äëÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òðåõîñíîãî ýëëèïñîèäà ñ ìàëûìèâîçìóùåíèÿìè ïîëóîñåé, äëÿ êîòîðîãî öåíòð ìàññ ñîâïàäàåò ñ ãåîìåòðè÷åñêèì öåíòðîì, áûëî ïîëó÷åíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî ìåðîìîðíîãî èíòåãðàëà.4) Äëÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî äèíàìè÷åñêè è ãåîìåòðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ýëëèïñîèäà, äëÿ êîòîðîãî ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè èíåðöèè ñîíàïðàâëåíû ñ ãëàâíûìè îñÿìè ýëëèïñîèäà-ïîâåðõíîñòè è öåíòð ìàññ êîòîðîãîëåæèò â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà-ïîâåðõíîñòè, áûëè ïîëó÷åíûíåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî èíòåãðàëà.5) Äëÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî íåîäíîðîäíîãî øàðà áûëè ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ òîãî, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè âïîëíå èíòåãðèðóåìîé.Ñîäåðæàíèå ðàáîòûÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, ïÿòè ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû.Âî ââåäåíèè îïèñàíà ïðåäìåòíàÿ îáëàñòü è öåëü íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè,4äàí êðàòêèé îáçîð ðàáîò, ñâÿçàííûõ ñ èññëåäîâàíèåì èíòåãðèðóåìûõ è íåèíòåãðèðóåìûõ çàäà÷ â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà è ïðèâåäåíî êðàòêîå ñîäåðæàíèå äèññåðòàöèè.Ñòàâèòñÿ çàäà÷à èññëåäîâàòü îáíàðóæåííûå èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè äëÿóðàâíåíèé äâèæåíèÿ, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå òåëà ýëëèïñîèäàëüíîé îðìûïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, à òàêæå íàéòè óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõèíòåãðàëû ñóùåñòâóþò.

Åñòåñòâåííûå èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè, êîòîðûå çäåñüâîçíèêàþò, - ýòî ñëó÷àé Ýéëåðà, êîãäà ýëëèïñîèä âûðîæäàåòñÿ â øàð ñ ñîâïàäàþùèìè ãåîìåòðè÷åñêèì öåíòðîì è öåíòðîì ìàññ, è Ëàãðàíæà, êîãäà ýëëèïñîèä äèíàìè÷åñêè è ãåîìåòðè÷åñêè ñèììåòðè÷åí. Ïîñêîëüêó â èçâåñòíîéëèòåðàòóðå äâèæåíèå àíàëîãà âîë÷êà Ëàãðàíæà íå ðàññìàòðèâàëîñü, òî èìååò ñìûñë íà÷àòü ðàññìîòðåíèå èìåííî ñ ýòîãî ñëó÷àÿ. ïåðâîé ãëàâå äàåòñÿ îáçîð ðàçëè÷íûõ ìåòîäîâ, èñïîëüçóåìûõ ïðè äîêàçàòåëüñòâå èíòåãðèðóåìîñòè è íåèíòåãðèðóåìîñòè äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Âî âòîðîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå òÿæåëîãî òâåðäîãî äèíàìè÷åñêè è ãåîìåòðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ýëëèïñîèäà ñî ñìåùåííûì âäîëü îñèñèììåòðèè öåíòðîì ìàññ íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Ñîãëàñíî ïðîãðàììå Ñìåéëà ïî èññëåäîâàíèþ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ ñèììåòðèåé ðàññìàòðèâàåòñÿ îòîáðàæåíèå ìîìåíòà.

Ñòðîÿòñÿ è êëàññèèöèðóþòñÿ ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû. Äëÿ êàæäîé îáëàñòè áèóðêàöèîííîé äèàãðàììû óñòàíàâëèâàåòñÿ ÷èñëî òîðîâ Ëèóâèëëÿ,èçó÷àþòñÿ ïåðåñòðîéêè ýòèõ òîðîâ. Îïèñûâàþòñÿ îñîáåííîñòè îòîáðàæåíèÿìîìåíòà, äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ èçó÷àþòñÿ îñîáåííîñòè ðàíãà 1 è2. Êðîìå òîãî, â ñëó÷àå, êîãäà öåíòð ìàññ ñîâïàäàåò ñ ãåîìåòðè÷åñêèì, ñòðîÿòñÿ è êëàññèèöèðóþòñÿ áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, à òàêæå èññëåäóþòñÿ ïåðåñòðîéêè òàê íàçûâàåìûõ èçîýíåðãåòè÷åñêèõìíîãîîáðàçèé.5 òðåòüåé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ ýëëèïñîèä, áëèçêèé ê øàðó, ñ ìàëî îòëè÷àþùèìèñÿ ïîëóîñÿìè.

 ýòîì ñëó÷àå, â [14] áûëî äîêàçàíî, ÷òî íåîáõîäèìûåóñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà òàêîâû:(1) Öåíòð ìàññ ýëëèïñîèäà ñîâïàäàåò ñ åãî ãåîìåòðè÷åñêèì öåíòðîì(2) ëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè èíåðöèè ýëëèïñîèäà ñîíàïðàâëåíû ñ ãëàâíûìè ãåîìåòðè÷åñêèìè îñÿìè ýëëèïñîèäà-ïîâåðõíîñòè(3) Âûïîëíåíî óñëîâèå Êëåáøà:J1 (B2 − B3) + J2(B3 − B1 ) + J3 (B1 − B2 ) = 0, ãäå J1, J2, J3 - ìîìåíòûèíåðöèè òåëà, B1 , B2 , B3 - ãëàâíûå ïîëóîñè ýëëèïñîèäà - ïîâåðõíîñòè.Âñòàâàë âîïðîñ, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííîå óñëîâèå è äîñòàòî÷íûì.  îòëè÷èå îòðàáîòû [14], â äèññåðòàöèè áåðåòñÿ íå ãîìîêëèíè÷åñêîå ÷àñòíîå ðåøåíèå, à ýëëèïòè÷åñêîå. Ìåòîäîì äèåðåíöèàëüíîé òåîðèè àëóà íàõîäÿòñÿ óñëîâèÿ,ïðè êîòîðûõ ãðóïïà àëóà äëÿ ëèíåàðèçîâàííîãî â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè âîçìóùåííîãî óðàâíåíèÿ áóäåò àáåëåâà.