Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости, страница 6

Ìíîæåñòâî Σ èìååò ìåðó íóëü â R2 ïî òåîðåìå Ñàðäà. Íàä êàæäîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòîé R2 \ Σ îòîáðàæåíèå (2.4) ÿâëÿåòñÿ ðàññëîåíèåì ïî36òåîðåìå î íåÿâíîé óíêöèè. Åñëè âñå ñëîè ñëîåíèÿ êîìïàêòíû, òî òèï èíòåãðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé ìîæåò èçìåíèòüñÿ ëèøü ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç Σ. Âýòèõ ñâÿçíûõ êîìïîíåíòàõ èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîéîáúåäèíåíèå äâóìåðíûõ òîðîâ, êàê âñÿêîå ñâÿçíîå, îðèåíòèðóåìîå, êîìïàêòíîå äâóìåðíîå ìíîãîîáðàçèå, äîïóñêàþùåå êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå áåçîñîáûõ òî÷åê (ò.ê. îñîáûå òî÷êè ëåæàò íà îñîáûõ ñëîÿõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ).e Mf3 îãðàíè÷åíèÿÈçó÷èì îñîáåííîñòè îòîáðàæåíèÿ (2.4). Ïóñòü H,4ñîîòâåòñòâåííî.óíêöèé H, M3 íà M1,kÏðåäïîëîæèì, ÷òî ðàíã äèåðåíöèàëà (2.4) óïàë ðîâíî íà åäèíèöóf3 = λdHe ,ïðè÷åì dHe 6= 0.

Òîãäà ÿäðîâ íåêîòîðîé òî÷êå, íàïðèìåð, dM4äèåðåíöèàëà òðåõìåðíî: òðè âåêòîðà, êàñàòåëüíûõ ê M1,k, ïåðåéäóò ïðèîòîáðàæåíèè F â íîëü, à îäèí â íåíóëåâîé âåêòîð ñ òàíãåíñîì óãëà íàêëîíà, ðàâíûì ìíîæèòåëþ Ëàãðàíæà λ. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ðàññìîòðåòüîãðàíè÷åíèå óíêöèè M3 óæå íà òðåõìåðíîå èçîýíåðãåòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå Q3h,k = {H = h, K = k, Γ = 1} (ëîêàëüíî) è íà ýòîì èçîýíåðãåòè÷åñêîììíîãîîáðàçèè èññëåäîâàòü êðèòè÷åñêèå òî÷êè. Èòàê, ñíà÷àëà íàäî íàéòè òåçíà÷åíèÿ (h, k), ïðè êîòîðûõ îïðåäåëåíî èçîýíåðãåòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèåQ3h,k , ò.å. ñíà÷àëà íóæíî ïîñòðîèòü áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû â ïëîñêîñòè (k, h), à çàòåì è áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû îòîáðàæåíèÿ (2.4)â ïëîñêîñòè (h, ω). Ñâÿçü ìåæäó ýòèìè áèóðêàöèîííûìè äèàãðàììàìèòàêîâà: èêñèðîâàííîé òî÷êå, íå ïðèíàäëåæàùåé Σk,h , ñîîòâåòñòâóåò âåðòèêàëüíûé îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé âíåøíèå òî÷êè Σh,ω ïðè ñîîòâåòñòâóþùåìèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè h.

Çàòåì ñòðîÿòñÿ ìîëåêóëû [52], ò.å. èññëåäóþòñÿîñîáåííîñòè óíêöèè M3 íà èçîýíåðãåòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè Q3h,k .372.3. Ïîñòðîåíèå áèóðêàöèîííûõ äèàãðàìì, èçó÷åíèåïåðåñòðîåê òîðîâÏîñêîëüêó èíòåãðàë Ëàãðàíæà ëèíååí ïî èìïóëüñàì, áóäåì ðàññìàòðèâàòü íå åãî êàê óíêöèþ íà Q3h,k , à èíòåãðàë ýíåðãèè êàê óíêöèþ íà ñîâ3ìåñòíîì óðîâíå Pk,ω= {K = k, Γ = 1, M3 = Jω}.Ýòè ïîäõîäû ðàâíîñèëüíû äëÿ Q3h,k , ÿâëÿþùèõñÿ ìíîãîîáðàçèåì, òàê êàê3(çà èñêëþ÷åíèåìêðèòè÷åñêèå ìíîæåñòâà ó óíêöèé M3 íà Q3h,k è H íà Pk,ωòåõ ñëîåâ, ãäå ëåæàò òî÷êè γ3 = ±1) îäèíàêîâû è ñîîòâåòñòâóþùèå èíäåêñûãåññèàíîâ òîæå ðàâíû.Îáåçðàçìåðèì ïàðàìåòðû, òàê ÷òî mg = 1, b1 = 1, J1 = 1, b3 = b > 0, J3 == J > 0, è ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: c = b2 − 1, x = γ3 .Òåîðåìà 1.

Äëÿ ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì (2.3) ðàçäåëÿþùèå êðèâûåíà ïëîñêîñòè R2 (h, ω) èìåþò ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ k âèä, èçîáðàæåííûéíà ðèñóíêå 2.2, ïðè÷åì äëÿ ñëó÷àÿ −1 < c < 0: åñëè 0 < s <2 → 3 → ... → 6, åñëè−c(c+2), òî 1 →(c+1)2/3cåñëè s > √c+1, òî 1s>√−cc+1< s <−c(c+2),(c+1)2/3√−c ,c+1òîòî 1 → 2 → ... → 6, åñëè6. Äëÿ ñëó÷àÿ c > 0: åñëè 0 < s <→ 6.√c ,c+1òî 7 → 1 → 6;▽ Óñëîâèå äëÿ êðèòè÷åñêèõ ìíîæåñòâ èìååò âèä:dH = λ1 dK + λ2 dΓ + λ3 dM3 .(3.1)K = k, M3 = Jω, Γ = 1Èç íåãî ïîëó÷àåì M1 = λ1 (A−1 γ)1 , M2 = λ1 (A−1 γ)2 , M3 = J(λ1 γ3 + λ3 ).Ïîäñòàâèâ íàéäåííûå Mi â âûðàæåíèå äëÿ H , ïîëó÷èì âòîðîé ïðèâåäåííûéïîòåíöèàë:Vk,ω (x) =(k − Jωx)2 Jω 2++ (cx2 + 1)1/2 + sx (k 6= ±Jω).22(1 − x )238(3.2)ZZAA2T2TA2Th122BhAAAZw2T2A22TBA2TA2TA2T2B2ThA2BhA4A32TAAAZZAA2TAA22T2BhAhA5TA6AAZA2Th7Aèñ.

2.2.Áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû Σh,ω äëÿ ñëó÷àÿ ñìåùåííîãî öåíòðà ìàññ39ppqèñ. 2.3.kqàñïîëîæåíèå ãèïåðáîëû, ýëëèïñà, ïðÿìîék26G(x)F1(x)F1(x)55F2(x)432G(x)-F2(x)01c0  sxF2(x)43211-1G(x)x0c 1 s cc 2 3 cc 2 1c 1c 1232sÈçìåíåíèå âèäà áèóðêàöèîííûõ äèàãðàìì ïðè ðàçíûõ k ïðè -1<<0k6x1cc 1èñ. 2.4.k2666kG(x)G(x)117x1-1sx-11ccc 1c 1èñ. 2.5.sÈçìåíåíèå âèäà áèóðêàöèîííûõ äèàãðàìì ïðè ðàçíûõ k ïðè >0Îáëàñòü âîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ èìååò âèä:Uk,ω,h = {x ∈ [−1; 1] : Vk,ω (x) ≤ h} ⊂ S 2 .(3.3)Êðèòè÷åñêèå òî÷êè Vk,ω (x) çàäàþò êðèòè÷åñêèå ìíîæåñòâà.Óðàâíåíèÿ áèóðêàöèîííûõ êðèâûõ èìåþò âèä:(k − Jωx)2 Jω 2h(x) =++ (cx2 + 1)1/2 + sx,2(1 − x2)2ãäå x ∈ [−1; 1].40(3.4±)4cx2222k(1 + x ) ± (1 − x ) k −− 4sx(cx2 + 1)1/2M± (x) =2x1/2.Ââåäåì ïåðåìåííûå p = (k + Jω)/2, q = (k − Jω)/2.

 íèõ ïðèâåäåííûéïîòåíöèàë çàïèøåòñÿ â âèäå:p2q2(p − q)2 p 2Vp,q (x) =+++ cx + 1 + sx.1+x 1−x2JÏðîäèåðåíöèðóåì åãî òðè ðàçà, è ïðèðàâíÿåì ê íóëþ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ:′Vp,q(x)p2q2cx=−+++ s = 0;222(1 + x)(1 − x)(cx + 1)1/2′′Vp,q(x) =′′′Vp,q(x)2p22q 2c++= 0;(1 + x)3 (1 − x)3 (cx2 + 1)3/2−6p26q 2−3c2 x== 0.++(1 + x)4 (1 − x)4 (cx2 + 1)5/2(3.5)(3.6)(3.7)àññìîòðèì ðàñïîëîæåíèå íà ïëîñêîñòè (q, p) ïðÿìîé p + q = k è ãèïåðáîëû, çàäàâàåìîé óðàâíåíèåì (3.5).Óñëîâèå ïåðåñå÷åíèÿ:2kqk2cx4xq 2√+−++ s = 0.F (q) =(1 − x2)2 (1 + x)2 (1 + x)2cx2 + 1Ñëåäóþùåå óñëîâèå çàäàåò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ âûðàæåíèÿ (3.4±):D/4 =2√4cx−cx2 +1(1 − x2)2k2 −4sxqÂâåäåì òàêæå G(x) = G(x).41k 2 − G(x)=> 0.(1 − x2)2Ïóñòü (p0 , q0 ) > 0 òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ãèïåðáîëû (3.5) è ýëëèïñà (3.6).Òîãäà çíà÷åíèÿ äëÿ âåëè÷èí F1 (x) = p0 + q0 è F2 (x) = q0 − p0 âûðàæàþòñÿñëåäóþùåé îðìóëîé:√Fi(x) = 1/ 2(−1)i+1(1 + x)3/2√+1/ 2(1 − x)3/2ssc(2cx3 + 3x − 1)+ s+2(cx2 + 1)3/2−c(2cx3 + 3x + 1)− s.2(cx2 + 1)3/2àññìîòðèì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé p + q = k è ãèïåðáîëû (3.5).

Ýòàòî÷êà ëåæèò âíóòðè ýëëèïñà, ãðàíèöà êîòîðîãî çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì (3.6),òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãèïåðáîëû è ýëëèïñà ëåæàòïî ðàçíûå ñòîðîíû îò ïðÿìîé (äîêàçàòåëüñòâî ýëåìåíòàðíî ñëåäóåò èç âèäàâîçìîæíîãî ðàñïîëîæåíèÿ êðèâûõ, íàïðèìåð êàê íà ðèñ. 2.3). Òàêèì îáðàçîì,óíêöèÿ G(x) îòâå÷àåò çà ïàðàìåòðèçàöèþ Σh,ω , à Fi(x) (i = 1, 2) çà çíàê′Vk,ω(x).Äëÿ ñëó÷àÿ −1 < c < 0 ó óíêöèé Fi(x) ñóùåñòâóåò äâà ðàçäåëÿþùèõ−c(c+2)çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû s: { √−c,}; à äëÿ c > 0 îäíî: s =c+1 (c+1)3/2Äëÿ ñëó÷àÿ −1 < c < 0 ïðè 0 < s <√−cc+1√c .c+1ïðè ðàçíûõ x âåòâè ãèïåðáîëûìîãóò ëåæàòü â ðàçíûõ ÷åòâåðòÿõ è äëÿ ðàñïîëîæåíèÿ èõ ïåðåñå÷åíèÿ ñïðÿìîé îòíîñèòåëüíî ýëëèïñà âîçìîæíû âîñåìü âàðèàíòîâ; ïðè −1 < c < 0ïðè√−cc+1−c(c+2)ðàñïîëîæåíèå ñõîäíî ñ èçîáðàæåííûì íà ðèñ.

2.3. Äëÿ(c+1)3/2−c(c+2)âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîòåíöèàëà âñåãäà ïîëîæèòåëüíà,(c+1)3/2<s<ñëó÷àÿ s >òàêæå êàê è äëÿ ñëó÷àÿ c > 0 (ñì. ðèñ. 2.4, 2.5)▽.Òåîðåìà 2 Ïåðåñòðîéêè òîðîâ èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå 2.2.▽ Ïðè èêñèðîâàííîì γ ∈ S 2 â ïðîñòðàíñòâå R3 (M1, M2, M3 ) ìíîæåñòâî{H = h} ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýëëèïñîèä, à ïåðåñå÷åíèå ïëîñêîñòåé {K == k} è {M3 = Jω}, â ñëó÷àå èõ íåïàðàëëåëüíîñòè, çàäàåò ïðÿìóþ, ïðè÷åì âêà÷åñòâå ìåðû èõ ïåðåñåêàåìîñòè âûñòóïàåò ïðè èêñèðîâàííûõ ïàðàìåòðàõ42ïðèâåäåííûé ïîòåíöèàë (3.2). Ñëîé íàä êàæäîé òî÷êîé γ ∈ S 2 ãîìåîìîðåíëèáî äâóì òî÷êàì (åñëè γ ∈ Uk,ω,h \ ∂Uk,ω,h), ëèáî òî÷êå (åñëè γ ∈ ∂Uk,ω,h),ëèáî ïóñò (åñëè γ ∈/ Uk,ω,h).

Ïðèâåäåííûé ïîòåíöèàë íå îïðåäåëåí ïðè k == ±Iω , êîãäà òî÷êè γ3 = ±1 ïðèíàäëåæàò ÎÂÄ (3.3).3òàêèå æå êàê è äëÿ âîë÷êà ËàãðàíÑîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ãåññèàíà d2 H|Pk,ωæà:µ1 = 0, µ2 = 1 +(k−Jωx)2,(1−x2 )2′′µ3 = (1 − x2 )Vk,ωËåììà.Ñëó÷àé íåîñîáûõ ïîâåðõíîñòåé.• Åñëè k 6= ±Jω è ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ÎÂÄ Uk,ω,h åñòü êîëüöî, òîãäàòàêîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïàðàìåòðîâ îòâå÷àåò äâóìåðíûé òîð.Äâà ñëó÷àÿ ñ îñîáûìè ïîâåðõíîñòÿìè, êîãäà íà ïîâåðõíîñòè ëåæèò îäíàêðèòè÷åñêàÿ îêðóæíîñòü.• Åñëè k 6= ±Jω è ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ÎÂÄ Uk,ω,h åñòü îêðóæíîñòü,òîãäà òàêîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïàðàìåòðîâ òàêæå îòâå÷àåò îêðóæíîñòü, àáèóðêàöèÿ ïîÿâëåíèÿ èç ïóñòîãî ìíîæåñòâà è ïåðåõîäà â òîð, åñòü àòîìA.• Åñëè k 6= ±Jω è ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ÎÂÄ Uk,ω,h åñòü äâà êîëüöà, ñîåäèíåííûå êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòüþ, òîãäà òàêîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïàðàìåòðîâ îòâå÷àåò âîñüìåðêà óìíîæåííàÿ íà îêðóæíîñòü, ò.å.

áèóðêàöèÿðàçäâîåíèÿ òîðà (àòîì B).Äâà ñëó÷àÿ ñ îñîáûìè ïîâåðõíîñòÿìè, êîãäà íà ïîâåðõíîñòè ëåæèò îäíàíåâûðîæäåííàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà.• Åñëè k = ±Jω è êîìïîíåíòà ÎÂÄ Uk,ω,h åñòü òî÷êà {γ3 = ±1}, òîãäàòàêîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïàðàìåòðîâ òàêæå îòâå÷àåò èçîëèðîâàííàÿ òî÷êà(ñëó÷àé öåíòð-öåíòð).• Åñëè k = ±Jω è êîìïîíåíòà ÎÂÄ Uk,ω,h åñòü äèñê, ñ öåíòðîì â43{γ3 = ±1}, òîãäà òàêîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïàðàìåòðîâ îòâå÷àåò òîð ñ ¾ïåðåòÿæêîé¿ (ñëó÷àé îêóñ-îêóñ).Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ñëåäóåò èç ëåììû è äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1 ▽.Òåîðåìà 3.

Åñëè öåíòð ìàññ íå ñìåùåí ( s=0), òî â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå Σk,h,ω çàäàåò ëàñòî÷êèí õâîñò ñ äâóìÿ äîïîëíèòåëüíûìè ïîâåðõíîñòÿìè ïðè −1 < c < 0, è ïîâåðõíîñòü ñ äâóìÿ ëó÷àìè ïðè c > 0(ðèñóíîê 2.6).èñ. 2.6.Òèïè÷íûå ïîâåðõíîñòè êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé â ïðîñòðàíñòâå (k, h, ω)▽ Äîêàæåì, ÷òî åäèíñòâåííàÿ òî÷êà, â êîòîðîé âåðíû îäíîâðåìåííî(3.5)-(3.7), åñòü òî÷êà x = 0.Íà ïëîñêîñòè (q, p) óðàâíåíèÿ (3.5) è (3.7) çàäàþò ãèïåðáîëó, à (3.6)ýëëèïñ. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå èõ ïåðåñåêàåìîñòè â îäíîé èç ÷åòûðåõ (èëèäâóõ) òî÷åê åñòü: −11cx (1 + x)2 (1 − x)2 (cx2 + 1)1/2 22c (1 + x)3 (1 − x)3 (cx2 + 1)3/2 = 0 −66−3c2 x (1 + x)4 (1 − x)4 (cx2 + 1)5/2 44(3.8)Óðàâíåíèå (3.8) ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó: xP (x) = 0, ãäå P (x) = 2c2 x4 ++ 5cx2 + c + 4. ¾Áèïàðàáîëà¿ P (x) ïîëîæèòåëüíà íà èíòåðâàëå (0;1), ò.ê.P (±1) = 2(c + 1)(c + 2) > 0, à àáñöèññà âåðøèíû ¾áèïàðàáîëû¿ áîëüøå åäè(4)íèöû.

Çàìåòèì, ÷òî Vk,ω = −c(c+4)/8 6= 0. Òîãäà â òî÷êå x = 0 ïðè çíà÷åíèÿõïàðàìåòðîâ k 2 = −c, ω = 0 âòîðîé ïðèâåäåííûé ïîòåíöèàë èìååò òèï A3 [3].Äîêàæåì, ÷òî â ýòîé òî÷êå èìååò ìåñòî âåðñàëüíàÿ äåîðìàöèÿ [10], îòêóäàáóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå (k, h, ω) ëîêàëüíî îáðàç êðèòè÷åñêîãîìíîæåñòâà åñòü ëàñòî÷êèí õâîñò [3].Âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíûõ ïî ïàðàìåòðó :√∂Vk,ω−c=,∂k1 − x2√∂Vk,ω−J −cx=.∂ω1 − x2Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå âåðñàëüíîé äåîðìàöèè âûïîëíåíî:√ 0−c= √6 0−J −c 0 Äîêàæåì, ÷òî òî÷êè òèïà A2 ëåæàò òîëüêî íà ðåáðàõ ëàñòî÷êèíîãî õâî√√ñòà, à òàêæå, ÷òî ïðè k > −c íåò àòîìîâ òèïà B, à ïðè 0 < k < −c, åñëèðàññìàòðèâàòü ñå÷åíèÿ k = const, à òàêæå òå êðèòè÷åñêèå òî÷êè x, êîòîðûåëåæàò íà âíåøíèõ êðèâûõ, âûõîäÿùèõ èç òî÷åê, ãäå ëåæàò x = ±1, òî íàéäåòñÿ òàêîå x0 (k), ÷òî âñåì x, òàê ÷òî |x| < |x0 | áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü àòîìB, à èíà÷å àòîì A.Êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãèïåðáîëû è ýëëèïñà (q0 , p0 ) > 0 èìåþòâèä:√ √−c (1−x)3 u, p02(cx2 +1)3/4q0 =√= −2cx3 − 3x + 1=√ √−c (1+x)3 v,(cx2 +1)3/4ãäå u =Óñëîâèÿ êðèòåðèÿ îçíà÷àþò, ÷òî q0 + p0 > k,45√2cx3 + 3x + 1, v =q0 − p 0 < k .àññìîòðèì óíêöèèpp(1 − x)3u + (−1)i+1 (1 + x)3vFi(x) =, (i = 1, 2)2(cx2 + 1)3/4Äîêàæåì, ÷òî óíêöèÿ F1 (x) ìîíîòîííî óáûâàåò, à F2 (x) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå [0; 1) ; åñëè ýòî òàê, òî íåðàâåíñòâà âåðíû äëÿ âñåõ xèç ïðîìåæóòêà [0; x0] (x0 -òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ êðèâîé F1 (x) èëè F2 (x) ñ ãîðè√çîíòàëüíîé ïðÿìîé k/ −c), òîãäà íóæíîå óòâåðæäåíèå áóäåò äîêàçàíî.Ïðîèçâîäíûå óíêöèé F1 (x), F2(x) òàêîâû:Fi′ (x)=√−3x( 1−xu4(cx2 +1)7/4+√i+1 1+xi+1(−1)v )P (x)(−1)< 0 ãäå x > 0.Äîêàæåì, ÷òî áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû Σh,ω â ñëó÷àå s = 0 (ñå÷åíèÿïîâåðõíîñòåé ðèñ 2.6) èìåþò âèä êàê íà ðèñ.

2.7-2.8, à òèïè÷íûå êàê íàðèñ. 2.9.2TAAA2TABh2ABAAAT2AAèñ. 2.7.Áèóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà äëÿ ñëó÷àÿ −1 < c < 046AAh2Th2TAAèñ. 2.8.Áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû äëÿ ñëó÷àÿ c > 0ZZhèñ. 2.9.hÒèïè÷íûå áèóðêàöèîííûå äèàãðàììû äëÿ ñëó÷àåâ −1 < c < 0, 0 < J < 1 è0 < c, 1 < JÁóäåì ðàññìàòðèâàòü òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ýëëèïñà ïðè 1 > x > 0,à ïàðàìåòð ïðè q > 0 (ïðîòèâîïîëîæíûé ñëó÷àé èññëåäóåòñÿ àíàëîãè÷íî).′′(x) > 0.  òàêîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (3.4±) çàäàþò ãðàèêÅñëè c > 0, òî Vp,qóíêöèè h = h(ω) , ïðè÷åì êðèòè÷åñêèå òî÷êè è çíà÷åíèÿ ýòîé óíêöèèîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ èç âèäà áèóðêàöèîííûõ äèàãðàìì, êîòîðûå áóäóòïîñòðîåíû â ïóíêòå 4.Ïóñòü òåïåðü −1 < c < 0.Äîêàæåì, ÷òî (3.4+) çàäàåò ïðè x > 0 ãðàèê ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåéóíêöèè. Ïðÿìûì ïîäñ÷åòîì óáåæäàåìñÿ, ÷òîk(1 − x2)′M+ (x) = −−2x2(x2 +1)k 22x2r47k2+−cx2 (3cx2 +c+4)(cx2 +1)3/22√ 4cx2(cx +1)3/2< 0,h′ (x) < 0.F (x) < 0, ïðè x > 0, ýòî çíà÷èò, ÷òî F(q) èìååò ðîâíî äâà êîðíÿ - îäèí ïîëîæèòåëüíûé, äðóãîé îòðèöàòåëüíûé.

Ñ òî÷êè çðåíèÿ áèóðêàöèîííîé äèà√ãðàììû ðèñ. 2.7 ýòî îçíà÷àåò ñëåäóþùåå: ïðè èêñèðîâàííîì k , 0 < k < −cëþáàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà x ∈ [−1; 1] ëåæèò íà Σk,ω ; çíà÷åíèÿ x > 0 ñîîòâåòñòâóþò òî÷êàì, ãäå q > 0 åñòü âíåøíÿÿ äóãà Σk,ω , âûõîäÿùàÿ èç òî÷êè, ãäåëåæèò x = 1, à q < 0 îòâå÷àåò ¾âíóòðåííåé¿ äóãå Σk,ω ; äëÿ x < 0 ñèòóàöèÿñèììåòðè÷íà.Òåïåðü èçó÷èì, â êàêèõ ìåñòàõ Σh,ω âîçìîæíû äåîðìàöèè, ìåíÿþùèåòîïîëîãèþ ñ òî÷êè çðåíèÿ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé (ñì.