Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости, страница 2

Ïîñêîëüêó ðèìàíîâà ïîâåðõíîñòü ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ - ýòî òîð ñ îäíîé îñîáîé òî÷êîé, òî äëÿ íåãî óñëîâèÿ òåîðåìûÌîðàëèñà-óèçààìèñà ýêâèâàëåíòíû îäíîçíà÷íîñòè ðåøåíèÿ ïðè îáõîäåîêîëî ýòîé îñîáîé òî÷êè. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî èññëåäîâàòü óñëîâèÿ âûïîëíåíèÿ òåñòà ÊîâàëåâñêîéÏåíëåâå â îêðåñòíîñòè ýòîé îñîáîé òî÷êè. Âïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïîëó÷àþòñÿ óæå èçâåñòíûå ðåçóëüòàòû. Âî âòîðîì ïðèáëèæåíèè óñëîâèå Êëåáøà âûðîæäàåòñÿ â òðèâèàëüíîå óñëîâèå: âñå ïîëóîñèýëëèïñîèäà ðàâíû. ÷åòâåðòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ äèíàìè÷åñêè è ãåîìåòðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûé ýëëèïñîèä, äëÿ êîòîðîãî ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè èíåðöèè ñîíàïðàâëåíû ñ ãëàâíûìè îñÿìè ýëëèïñîèäà-ïîâåðõíîñòè è ïðè ýòîì öåíòð ìàññëåæèò â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà-ïîâåðõíîñòè.

Áåðåòñÿ ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò âðàùåíèþ òåëà âîêðóã âåðòèêàëüíîéîñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ. Çàòåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ â îêðåñòíîñòè ýòîãî ðåøåíèÿ è â ýòîé îêðåñòíîñòè àíàëèçèðóåòñÿ ñòðîå6íèå íîðìàëüíîé îðìû. Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè ïîëó÷àþòñÿïðèìåíåíèåì òåîðåìû Â.Â. Êîçëîâà [28], [11]. ïÿòîé ãëàâå ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä ÊîâàëåâñêîéËÿïóíîâàÈîøèäû äëÿóðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå øàðà ñ ïðîèçâîëüíûì ðàñïðåäåëåíèåììàññ íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè.

Ïîñëåäîâàòåëüíî ðàññìàòðèâàþòñÿ òðè ðàçëè÷íûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèÿ. Äëÿ êàæäîãî èç íèõ ïðèìåíÿåòñÿìåòîä ÊîâàëåâñêîéËÿïóíîâàÈîøèäû, ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àþòñÿ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè.  êîíå÷íîì èòîãå, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ýòèóñëîâèÿ îêàçàëèñü íàñòîëüêî æåñòêèìè, ÷òî ñóùåñòâóþò ëèøü àíàëîãè ñëó÷àåâ Ýéëåðà è Ëàãðàíæà. çàêëþ÷åíèè êîðîòêî ñîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû.åçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû â ðàáîòàõ [25], [24] è äîêëàäûâàëèñü íà ñåìèíàðàõ è êîíåðåíöèÿõ:• Ñåìèíàð "Ñîâðåìåííûå ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû" êàåäðû äèåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèé ìåõ-ìàòà ÌÓ ïîä ðóêîâîäñòâîì ïðî., àêàä.

ÀÍ À.Ò. Ôîìåíêî, ïðî. À.Â. Áîëñèíîâà, ïðî. À.Ñ. Ìèùåíêî, äîö. À.À. Îøåìêîâà, äîö.Å.À. Êóäðÿâöåâîé, 14.02.2007• VI Ìåæäóíàðîäíûé ñèìïîçèóì ïî êëàññè÷åñêîé è íåáåñíîé ìåõàíèêå, Âåëèêèå Ëóêè, 01-06.08.2007• Õ Ìåæäóíàðîäíûé ñåìèíàð "Óñòîé÷èâîñòü è êîëåáàíèÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ", Ìîñêâà, 01-05.06.2008• Ñåìèíàð "Èçáðàííûå çàäà÷è äèíàìèêè" êàåäðû òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè è ìåõàòðîíèêè ìåõ-ìàòà ÌÓ ïîä ðóêîâîäñòâîì ïðî., ÷ë.-êîðð. ÀÍ Ä.Â.

Òðåùåâà,16.10.2008• VÌåæäóíàðîäíàÿêîíåðåíöèÿ"Ïîëÿõîâñêèå÷òåíèÿ",Ñàíêò-Ïåòåðáóðã,03-06.02.2009• Ñåìèíàð èìåíè Â.Â. óìÿíöåâà êàåäðû òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè è ìåõàòðîíèêèìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî àêóëüòåòà ÌÓ ïîä ðóêîâîäñòâîì ïðî. À.Â. Êàðàïåòÿíà, ÷ë.-êîðð. ÀÍ Â.Â. Áåëåöêîãî, ïðî. ß.Â. Òàòàðèíîâà, 08.04.20097ëàâà 1Îáçîð ìåòîäîâ, èñïîëüçóåìûõ äëÿèññëåäîâàíèÿ èíòåãðèðóåìîñòè èíåèíòåãðèðóåìîñòè äèåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé1.1. Èíòåãðèðóåìîñòü äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Çàäà÷à ïîèñêà èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà áåðåòñâîå íà÷àëî ñ ðàáîò Ýéëåðà, Ëàãðàíæà, Ïóàíñî è äð. Áîëåå ïîäðîáíîå îïèñàíèå èçâåñòíûõ èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ ñì. â ðàáîòàõ [8], [38].

Íîâûé ïîäõîä,ñâÿçàííûé ñ èçó÷åíèåì òîïîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà áåðåò ñâîå íà÷àëî ñ ðàáîò[44], [56], [2]. Äëÿ èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìèñâîáîäû â ðàáîòàõ [52], [5] áûëà ïîñòðîåíà òåîðèÿ, ïîçâîëÿþùàÿ â èíâàðèàíòíîì âèäå èõ êëàññèèöèðîâàòü.1.2. Íåèíòåãðèðóåìîñòü äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Íàðÿäó ñ ìåòîäàìè èññëåäîâàíèÿ èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì ðàçðàáàòûâàëèñüè ìåòîäû äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî èíòåãðàëîâ äëÿ äàííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé íå ñóùåñòâóåò. Íàèáîëåå ïðîñòîé ñïîñîá ïîèñêà èíòåãðàëîâ - ïîèñê èíòåãðàëîâ îïðåäåëåííîãî âèäà (íàïðèìåð ïîëèíîìîâ) ìåòîäîìíåîïðåäåëåííûõ êîýèöèåíòîâ.

Òàê áûëè ïîëó÷åíû ìíîãèå èíòåãðèðóåìûåñëó÷àè, íàïðèìåð, [45]. Ñóùåñòâóåò ìíîãî ðàçëè÷íûõ òåîðèé, êîòîðûå ïîçâîëÿþò äîêàçàòü íåèíòåãðèðóåìîñòü. Ìîæíî ïîïûòàòüñÿ èõ ðàñêëàññèèöèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:81. Ëîêàëüíûå ìåòîäû, îñíîâàííûå íà àíàëèçå óðàâíåíèé, ëèíåàðèçîâàííûõ â îêðåñòíîñòè èçâåñòíîãî òî÷íîãî ðåøåíèÿ (À. Ïóàíêàðå)Ïóàíêàðå â ñâîåé êíèãå [39] ðàçðàáîòàë òåîðèþ íåèíòåãðèðóåìîñòè äëÿêëàññè÷åñêèõ çàäà÷ ìåõàíèêè. Îòïðàâíîé òî÷êîé ÿâëÿëàñü ëèíåàðèçàöèÿóðàâíåíèé îêîëî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ.1) Ëåììà Ïóàíêàðå ([39]). Ïóñòü I = I(x)ïåðâûé èíòåãðàë ñèñòåìû ẋ == f(x), òîãäà äëÿ âñåõ ðåøåíèé x0 (t) âûðàæåíèå J =< DI(x0 ), u > ÿâëÿåòñÿëèíåéíûì çàâèñÿùèì îò âðåìåíè ïåðâûì èíòåãðàëîì óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõu̇ = Df(x0 )Ëèíåéíóþ ñèñòåìó èñïîëüçîâàòü ïðîùå, ÷åì íåëèíåéíóþ, ïîýòîìó ëîêàëüíóþ èíòåãðèðóåìîñòü (ò.å.

ïðåäïîëàãàÿ íåçàâèñèìîñòü èíòåãðàëîâ íà ÷àñòíîìðåøåíèè) ìîæíî äîêàçûâàòü, íàïðèìåð, íà îñíîâå òåîðèè àëóà.2) Ìåòîä Ïóàíêàðå äëÿ âåêîâîãî ìíîæåñòâà.([39], [27], [29])  òîé æå êíèãå [39] äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåèíòåãðèðóåìîñòè ïëîñêîé êðóãîâîé îãðàíè÷åííîé çàäà÷è òðåõ òåë Ïóàíêàðå èñïîëüçîâàë ñëåäóþùèé ìåòîä. Ïóñòü M == D × Tn (D îáëàñòü â Rn = {I}) ñíàáæåíî ñòàíäàðòíîé ñèìïëåêòè÷åñêîéñòðóêòóðîé dI ∧ dϕ, è ïóñòü H : M × (−ǫ0 , ǫ0 ) → R àíàëèòè÷åñêàÿ óíêöèÿòàêàÿ, ÷òî H(I, ϕ, 0) = H0 (I). Ïðè ǫ = 0 èìååì ïîëíîñòüþ èíòåãðèðóåìóþñèñòåìó ñ ãàìèëüòîíèàíîì H0 . àññìîòðèì ïîëíóþ ñèñòåìó:∂HI˙ = −,∂ϕϕ̇ =∂H,∂IH(I, ϕ, ǫ) = H0(I) + ǫH1 (I, ϕ) + O(ǫ2 )(2.1)àçëîæèì óíêöèþ H1 (I, ϕ) â ðÿä Ôóðüå H1 = Σm∈Zn hm (I)e<im,ϕ>.Îïðåäåëåíèå : Ìíîæåñòâî Ïóàíêàðå ýòî ìíîæåñòâî çíà÷åíèé I ∈ D,äëÿ êàæäîãî èç êîòîðûõ ñóùåñòâóþò n − 1 ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâk1, ..., kn−1 òàêèõ, ÷òî1) < ks , ω(I) >= 0,1 ≤ s ≤ n − 1;2)hks (I) 6= 09ω=∂H0∂IÒåîðåìà: Ôóíêöèè H0 è F0 çàâèñèìû íà ìíîæåñòâå Ïóàíêàðå.Äàííûé ìåòîä ïðèìåíÿëñÿ â ðàáîòàõ [27], [29], [30], [43], ãäå íåèíòåãðèðóåìîñòü äîêàçûâàëàñü èñïîëüçîâàíèåì âñþäó ïëîòíîñòè ìíîæåñòâà Ïóàíêàðå.3) Ìåòîä Ïóàíêàðå äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé ([39], [27], [29]).Òåîðåìà : Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ñ ãàìèëüòîíèàíîì Hèìååò p èíòåãðàëîâ F1 = H, F2 , ..., Fp, äèåðåíöèàëû êîòîðûõ ëèíåéíî íåçàâèñèìû â êàæäîé òî÷êå òðàåêòîðèè ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ.

Òîãäà p + 1 õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé ýòîãî ðåøåíèÿ ðàâíû 0. Åñëè èíòåãðàëû Fsêîììóòèðóþò, òî ñðåäè ïîêàçàòåëåé ïî êðàéíåé ìåðå 2p ðàâíû íóëþ. Ïóñòüäàíà ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ñ p èíòåãðàëàìè. Åñëè îíè íåçàâèñèìû íà ïåðèîäè÷åñêîì ðåøåíèè, òîãäà p + 1 ìóëüòèïëèêàòîðîâ ðàâíû 1.ëîáàëüíàÿ íåèíòåãðèðóåìîñòü äîêàçûâàåòñÿ ïóòåì óñòàíîâëåíèÿ âñþäóïëîòíîñòè íåâûðîæäåííûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé.4) Ìåòîä Ïóàíêàðå äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåñóùåñòâîâàíèÿ îäíîçíà÷íûõèíòåãðàëîâ ([39], [27], [29])Ïóñòü DC,δ = {I ∈ Cn : ReI ∈ D ⊂ Rn , |ImI| < δ}, TCn = Cn /2πZn êîìïëåêñíûé òîð ñ êîìïëåêñíî-óãëîâûìè êîîðäèíàòàìè ϕ mod 2π , E íåêîòîðàÿ îêðåñòíîñòü íóëÿ â C.

Ïóñòü H : DC,δ × TCn × E → C ãîëîìîðíàÿóíêöèÿ.Ïðè ǫ 6= 0 ðåøåíèÿ âîçìóùåííûõ óðàâíåíèé (2.1) óæå íå áóäóò, âîîáùåãîâîðÿ, îäíîçíà÷íûìè. Ïóñòü γ íåêîòîðûé çàìêíóòûé êîíòóð íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè âðåìåíè. Ïóñòü âñå ðåøåíèÿ ñèñòåìû ñ óíêöèåé àìèëüòîíàH0(I) îäíîçíà÷íû íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè t ∈ C: I = I 0, ϕ = ϕ0 + ω(I 0 )t.Ñîãëàñíî èçâåñòíîé òåîðåìå Ïóàíêàðå, ðåøåíèå óðàâíåíèé (2.1) ìîæíîðàçëîæèòü â ñòåïåííûå ðÿäûI = I 0 + ǫI 1 (t) + O(ǫ2 ),ϕ = ϕ0 + ωt + ǫϕ1(t) + O(ǫ2 )ñõîäÿùèåñÿ ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ǫ, åñëè t ∈ γ .10Òåîðåìà: Ïóñòü äëÿ íåêîòîðûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ I 0 , ϕ0 óíêöèÿ I 1 íåîäíîçíà÷íà âäîëü çàìêíóòîãî êîíòóðà γ ∈ C{t}.

Òîãäà äîïîëíèòåëüíûå èíòåãðàëû çàâèñèìû íà γ .Äàííûé ìåòîä ïðèìåíÿëñÿ â ðàáîòå [28], ãäå áûëà äîêàçàíà ëîêàëüíàÿèíòåãðèðóåìîñòü ïðè ìàëîì ǫ.Îñíîâíîé íåäîñòàòîê äàííûõ ìåòîäîâ èõ ëîêàëüíûé õàðàêòåð.2. Ìåòîä èññëåäîâàíèÿ âåêîâîãî ìíîæåñòâà ÷àñòíûõ íåâûðîæäåííûõ ðåøåíèé (À. Ïóàíêàðå, Â.Â. Êîçëîâ)Ñîãëàñíî ÊÀÌ òåîðèè ïðè âîçìóùåíèè íåâûðîæäåííîé ãàìèëüòîíîâîéñèñòåìû ÷àñòíûå íåðåçîíàíñíûå ðåøåíèÿ ñîõðàíÿþòñÿ. ×àùå âñåãî ðåçîíàíñíûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ðàñïîëàãàþòñÿ â àçîâîì ïðîñòðàíñòâå âñþäó ïëîòíî.Åñëè ìû äîêàæåì, ÷òî íåâûðîæäåííûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ðàñïîëîæåíû âñþäóïëîòíî, òî è èíòåãðàëû îêàæóòñÿ çàâèñèìûìè óæå íà âñåì àçîâîì ïðîñòðàíñòâå. êëàññè÷åñêîé òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ýòî ìîæíîñîðìóëèðîâàòü òàê.Èñïîëüçóÿ ìàëûé ïàðàìåòð ǫ, ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ñ ïîìîùüþ êàíîíè÷åñêîé çàìåíû (I, ϕ mod 2π) 7→ (J, ψ mod 2π) óïðîñòèòü ñèñòåìó (2.1).

 íîâûõ ïåðåìåííûõ ñèñòåìó ìîæíî ëåãêî ïðîèíòåãðèðîâàòü. Çàìåíà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùåé óíêöèè S(ϕ, J) =< ϕ, J > +ǫS1 (ϕ, J),ψ = ∂S/∂J,I = ∂S/∂ϕ.Ïóñòü H = H0 (J + ǫ∂S1 /∂ϕ + ..) + ǫH1 (ϕ, J + ...) + O(ǫ2 ).àçëàãàÿ óíêöèè S(ϕ, J), H1 (ϕ, J) â ðÿäû ÔóðüåS1(ϕ, J) = Σk∈Zm S1 (J)e<ik,ϕ>,H1k (ϕ, J) = Σk∈Zm H1k (J)e<ik,ϕ>è ïðèðàâíèâàÿ êîýèöèåíòû ðÿäîâ Ôóðüå äëÿ ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé ðàçëîæåíèÿ, ïîëó÷èì:< ω, ∂Sj /∂ϕ > −Hj (J) = Φj (ϕ, J), j = 1, ..., n,11ãäå óíêöèÿ Φj (ϕ, J) èçâåñòíà ê äàííîìó øàãó ïðîöåäóðû.Íà îðìàëüíîì óðîâíå òàêàÿ çàìåíà ïîñòðîåíà, îäíàêî äàííûå ðÿäû ðàñõîäÿòñÿ èç-çà ìàëûõ çíàìåíàòåëåé. Íà íåêîòîðîé ãèïåðïîâåðõíîñòè< k, ω(J) >= 0 óíêöèÿ Sj îðìàëüíî íå îïðåäåëåíà (åñëè ÷èñëèòåëè äðîáåé, ïðåäñòàâëÿþùèå óíêöèþ Sj òîæå íå ðàâíû íóëþ). ×àñòî â ñîâîêóïíîñòè ýòè ïîâåðõíîñòè îáðàçóþò âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî.Òåîðåìà Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ:(1) ãàìèëüòîíèàí H - àíàëèòè÷åñêàÿ óíêöèÿ(2) íåâîçìóùåííàÿ ñèñòåìà íåâûðîæäåíà(3) ìíîæåñòâî Ïóàíêàðå òàêîâî, ÷òî ëþáàÿ âåùåñòâåííî-àíàëèòè÷åñêàÿóíêöèÿ, ðàâíàÿ íóëþ íà íåì, îáðàùàåòñÿ â íóëü âñþäó íà D.Òîãäà âîçìóùåííàÿ ñèñòåìà íå èìååò ïîëíîãî íàáîðà ïåðâûõ èíòåãðàëîâ,àíàëèòè÷åñêèõ ïî ǫ.3.Ìåòîä, îñíîâàííûé íààíàëèçå îäíîçíà÷íîñòèðåøåíèé(Ñ.Â.

Êîâàëåâñêàÿ, À.Ì. Ëÿïóíîâ, Õ. Èîøèäà)1) Êâàçèîäíîðîäíûå ñèñòåìû.àññìàòðèâàþòñÿ òàê íàçûâàåìûå êâàçèîäíîðîäíûå äèåðåíöèàëüíûåóðàâíåíèÿ, èìåþùèå êâàçèîäíîðîäíûå ðåøåíèÿ. Òàêîé òèï óðàâíåíèé ïîëó÷àåòñÿ ïðè ðàçëîæåíèè ìåðîìîðíûõ óðàâíåíèé â îêðåñòíîñòè ìåðîìîðíîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ. Ìîæíî ÿâíî âûïèñàòü îáùåå ðåøåíèå ïîëó÷èâøèõñÿóðàâíåíèé.