Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости, страница 8

Ïîñêîëüêó ðèìàíàíîâà ïîâåðõíîñòü ðåøåíèÿ - òîðñ îäíîé îñîáîé òî÷êîé, òî óñëîâèÿ àáåëåâîñòè ñâÿçíîé êîìïîíåíòû ãðóïïû àëóà ðàâíîñèëüíû îäíîçíà÷íîñòè ðåøåíèÿ âîçìóùåííîãî óðàâíåíèÿ (ñì. ãëàâó1, ïóíêòû 4,5) ïðè îáõîäå îêîëî îñîáîé òî÷êè t = 0. Ïîýòîìó â òàêîì ñëó÷àåìîæíî ïðèìåíèòü òåîðåìó äëÿ íåèíòåãðèðóåìîñòè êâàçèîäíîðîäíûõ ñèñòåìñ ìàëûì ïàðàìåòðîì (ñì. ãëàâó 1, ïóíêò 3) äëÿ n = 6, k = 4.àçëîæèì ýëëèïòè÷åñêîå ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.4) â ðÿä Ëîðàíàïî ïåðåìåííîé t â îêðåñòíîñòè ïîëþñà t = 0. Ïåðâûå ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ áóäóòèìåòü âèä:(0)m1 = −t−1,(0)m2 = t−1 ,(0)m3 = t−1,(0)γ1 = −A1,π1(0)γ2 =A2,π2(0)γ3 =A3π3Íàéäåì îáùåå ðåøåíèå äëÿ óðàâíåíèé (3.2).

Äëÿ ýòîãî, ñîãëàñíî òåîðåìå,íàéäåì ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû Êîâàëåâñêîé.Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé (3.2) èìååò âèä(1)x (t) =6Xci β i tp+ρii=1Ïðè ýòîì êîýèöèåíòû ci íàõîäÿòñÿ ìåòîäîì âàðèàöèè ïðîèçâîëüíûõïîñòîÿííûõ.Âûïèøåì ïåðâûå òðè êîìïîíåíòû âåêòîðà x(1) (t):(1)(1)(1)m1 = c1 t + c2 t − c3 t−2 , m2 = c1 t + c3 t−2 , m3 = c2 t + c3 t−2Ïîêàçàòåëè Êîâàëåâñêîé äëÿ íèõ: R = {−1, 2, 2}.60(3.5)åøåíèå â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè äëÿ íåîäíîðîäíîãî ñëó÷àÿ íàõîäèòñÿ ìåòîäîì âàðèàöèè ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ è èìååò âèä:c1 = ∆1lnt + c01 ,ζ1231∆1 = ζ2310ζ3121c2 = ∆2lnt + c02 , c3 = ∆t3 + c03 , ãäå11−1ζ123−11 , ∆ 2 = 1ζ2311 , ∆ = 1000ζ3120ζijk = (Bk − Bj )γk γj πi ,101i, j, k = 1, 2, 3ζ123ζ231ζ312c01 , c02, c03 ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. òàêîì ñëó÷àå ïåðâûå òðè êîìïîíåíòû âåêòîðà s11 , çàäàþùåãî òî÷íîåðåøåíèå, èìåþò âèä:(s11(t))1 = (∆1 + ∆2)t,(s11(t))2 = ∆1t,(s11(t))3 = ∆2t. ñèëó íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ èíòåãðèðóåìîñòè (ñì.

ââåäåíèå) íóæíî âçÿòüñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ s11 è (1, −1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, −1, 0, 0, 0).Òàêèì îáðàçîì, ýòî óñëîâèå ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó íóëþ êîýèöèåíòîâïðè ëîãàðèìàõ:−ζ123 = ζ231 = ζ312(3.6)Ñèñòåìó (3.6) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:(B2 − B3 )A2 (B1 − B3 )A1+= 0 (123),A3 − A2A1 − A3à çàòåì â âèäå îäíîãî óñëîâèÿ Êëåáøà:B2 − B3 B3 − B1 B1 − B2++= 0.A1A2A3Òåïåðü ðàññìîòðèì âòîðîå ïðèáëèæåíèå óðàâíåíèé (3.2):mgζ123ṁ1 = m2 m3 + ǫζ123 + ǫ2 < P(γ)m, m > +Rπ1γ˙1 = A3π3−1 m3 γ2 − A2m2 π2−1 γ3 + ǫ2 < q(γ), m >61(123)(3.7)Çäåñü ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ: P íåêàÿ ìàòðèöà, çàâèñÿùàÿ îò γ , q íåêèéâåêòîð, çàâèñÿùèé îò γ ,κ123 = (B2 − B3 )γ2γ3 (B2 − B1)(2γ22 − 1) + (B3 − B1)(2γ32 − 1) π1(123)Òåîðåìà ñíîâà ïðèìåíèìà, ïîñêîëüêó òåïåðü ëîãàðèì ìîæåò âîçíèêíóòüâî âòîðîì ïðèáëèæåíèè. Êîýèöèåíòû ïðè êâàäðàòè÷íûõ ïî m ñëàãàåìûõâ ðàâåíñòâàõ (3.7) íå âàæíû, òàê êàê îíè áóäóò ïðîïîðöèîíàëüíû t−2 è ïîýòîìó ðåøåíèÿ â (3.5) íå áóäóò èìåòü ëîãàðèìè÷åñêîé ÷àñòè.

Ïðîâîäÿ ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ñëó÷àþ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ, ïîëó÷èì óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà:−κ123 = κ231 = κ312(3.8)Èç ðàâåíñòâ (3.6) è (3.8) ñëåäóþò óðàâíåíèÿ−1−1−1κ123ζ123= κ231ζ231= κ312ζ312Îíè äàþò äâà ñîîòíîøåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå ïàðàìåòðû B1 , B2 , B3 . Óïðîùàÿèõ, ïðè ó÷åòå ðàâåíñòâà γ12 + γ22 + γ32 = −1, óáåæäàåìñÿ, ÷òî îíè ðàâíîñèëüíûóñëîâèþ B1 = B2 = B3 .▽62ëàâà 4Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿäîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà â çàäà÷å îäâèæåíèè òÿæåëîãî äèíàìè÷åñêè èãåîìåòðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ýëëèïñîèäà íàãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè4.1.

Ââåäåíèåàññìàòðèâàåòñÿ äèíàìè÷åñêè è ãåîìåòðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûé ýëëèïñîèä, äâèæóùèéñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿñõîäíû ñ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé.  îáùåì ñëó÷àå äëÿ èõ èíòåãðèðóåìîñòè òàêæå íåäîñòàåò îäíîãî èíòåãðàëà. Äëÿ äèíàìè÷åñêè è ãåîìåòðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ýëëèïñîèäà, ãëàâíûåöåíòðàëüíûå îñè èíåðöèè êîòîðîãî ñîíàïðàâëåíû ñ ãëàâíûìè îñÿìè ýëëèïñîèäà-ïîâåðõíîñòè è öåíòð ìàññ êîòîðîãî ëåæèò â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòèýëëèïñîèäà-ïîâåðõíîñòè, íàõîäÿòñÿ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî àíàëèòè÷åñêîãî èíòåãðàëà.4.2. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è.

Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è èõïåðâûå èíòåãðàëû.Êàê ïîêàçàíî â ïðåäûäóùåé ãëàâå, åñëè âñå ìîìåíòû èíåðöèè ýëëèïñîèäà ðàçëè÷íû, à öåíòð ìàññ íå ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ýëëèïñîèäà, òî äîïîëíèòåëüíîãî ìåðîìîðíîãî ïåðâîãî èíòåãðàëà íå ñóùåñòâóåò, çà èñêëþ÷åíèåì63òðèâèàëüíîãî ñëó÷àÿ. Çàìåòèì, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî àêòà ñóùåñòâåííîîïèðàåòñÿ íà áëèçîñòü öåíòðà ìàññ è ãåîìåòðè÷åñêîãî öåíòðà ïðè ïðîèçâîëüíîì ðàñïîëîæåíèè öåíòðà î ñóùåñòâîâàíèè äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëàíè÷åãî íå èçâåñòíî.Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíûì îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ â ýòîé ãëàâå ÿâëÿåòñÿäèíàìè÷åñêè è ãåîìåòðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîå òâåðäîå òåëî (b1 = b2 , J1 == J2), ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ, ãëàâíûå öåíòðàëüíûåîñè èíåðöèè ñîíàïðàâëåíû ñ ãëàâíûìè îñÿìè ýëëèïñîèäà-ïîâåðõíîñòè, öåíòðìàññ ðàñïîëàãàåòñÿ â "ýêâàòîðèàëüíîé" (e3 = 0) ïëîñêîñòè ñèììåòðèè ýëëèïñîèäà-ïîâåðõíîñòè.Áåç íàðóøåíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî öåíòð ýëëèïñîèäà ïîâåðõíîñòè ðàñïîëàãàåòñÿ íà îñè Se1 ñâÿçàííîé ñ òåëîì ïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ðàññòîÿíèè α1 îò öåíòðà ìàññ.Ïóñòü M = (M1 , M2 , M3 ) ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû∂H∂H+γ×,∂M∂γṀ = M ×ãäåH=A=D−1m(J1 a23+ J1 J3 +−ma1 a2 J3−ma1 a3 J112γ̇ = γ ×∂H∂M< AM, M > +V (γ),J3 a22 )−ma1 a2 J3J1 J3 +m(J3 a21+−ma2 a3 J1−ma1 a3 J1J1 a23 )−ma2 a3 J1J12 + m(J1 a22 + J1 a21 )D = J12 J3 + m(J12 a23 + J1J3 a22 + J1J3 a21 )V = mg(α1 γ1 +qb21+(2.2)(b23−b21)γ32),m(b21 − b23)γ2γ3a1 = p 2,b1 + (b23 − b21)γ32m(b2 − b21 )γ2γ3a2 = p 3− α1 γ3,b21 + (b23 − b21)γ3264a3 = α1 γ2 .,4.3.

Äîêàçàòåëüñòâî íåèíòåãðèðóåìîñòèÒåîðåìà. Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî, íå çàâèñÿùåãî îò çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííîé ïëîùàäåé, àíàëèòè÷åñêîãî ïåðâîãî èíòåãðàëà, íåçàâèñèìîãî íà ÷àñòíîì ðåøåíèè, êîòîðîìó îòâå÷àåò ïåðìàíåíòíîå âðàùåíèå òåëà âîêðóã âåðòèêàëè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ, èìåþòâèä :f ≡ 9(9α1 + 9β1 − α1 y)u2 + 2(−36α12y + 32α12y 2 + 9α1 + 9β1 − 5α1y)u−−8α12 + α1 + β1 − α1 y = 0(3.1)g ≡ (2187β12 + 1944mα12yβ1 + 972mα13y + 2916β1 + 5103α1 + 972α1ymβ12 −−324α12y 2 mβ1 − 324mα13y 2 − 3969α1y)u4 + (1188mα13y + 729β12 − 4374α12−−252mα13y 2 −252α12y 2 mβ1 +9477α12y+972β1 +2376mα12yβ1 +1701α1 −1611α1y−−540mα14y 2 + 36α14y 3 m − 540α13y 2 mβ1 − 4581α12y 2 + 1188α1ymβ12 )u3++(228mα13y + 108β1 + 1863α12y + 228α1ymβ12 + 189α1 + 84mα13y 2 − 708mα14y 2 −−211α1y + 60α14y 3 m + 456mα12yβ1 − 455α12y 2 − 1458α12 + 81β12+(3.2)+48α15y 3 m + 84α12y 2 mβ1 − 708α13y 2 mβ1 )u2 + (−9α1y + 12α1ymβ12 + 96α15y 3 m++7α1 + 33α12y 2 + 63α12y + 12mα13 y 2 + 4β1 + 12mα13 y + 12α12y 2 mβ1 − 162α12++24mα12 yβ1 + 3β12 + 12α14y 3 m − 180mα14y 2 − 180α13y 2 mβ1 )u − 6α12 + 3α12 y 2 −−12mα14y 2 − 12α13y 2 mβ1 + 48α15y 3 m − 12α14y 3 m − 3α12 y = 0,u âñïîìîãàòåëüíàÿ ïåðåìåííàÿ (îïðåäåëåíà â òåêñòå äîêàçàòåëüñòâà).Äîêàçàòåëüñòâî:Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà ïðèâåäåíèè ñèñòåìû äèåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé ê íîðìàëüíîìó âèäó â îêðåñòíîñòè ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ (ñì.

ïóíêò7 ãëàâû 1).65Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (2.1) äîïóñêàþò ñëåäóþùåå ÷àñòíîå ðåøåíèå:(−k, 0, 0, −1, 0, 0), êîòîðîìó îòâå÷àåò ïåðìàíåíòíîå âðàùåíèå òåëà âîêðóãâåðòèêàëè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ.Ïåðåéäåì îò ïåðåìåííûõ (M, γ) íà èêñèðîâàííûõ óðîâíÿõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ {(M, γ)|K = k, Γ = 1} ê ïåðåìåííûì (x1, x2 , y1 , y2 ) (ñ òî÷íîñòüþ äîñäâèãà ýòî óãëû Ýéëåðà è ñîïðÿæåííûå ê íèì èìïóëüñû) ïî îðìóëàì:M1 =sin(−π/2 + x2)(k − y2 cos(π/2 + x1))+ y1cos(−π/2 + x2),sin(π/2 + x1 )M2 =cos(−π/2 + x2 )(k − y2cos(π/2 + x1))− y1 cos(−π/2 + x2),sin(π/2 + x1 )M3 = y2 ,γ1 = sin(π/2 + x1)sin(−π/2 + x2),γ2 = sin(π/2 + x1)cos(−π/2 + x2),γ3 = cos(π/2 + x1).Âûáåðåì ðàçìåðíûå ïàðàìåòðû çàäà÷è òàê, ÷òî:mg = 1, J1 = 1, b1 = 1, β1 =b23− 1, y = 1/J3, x =√k.Òîãäà ïåðâûå òðè ÷ëåíà â ðàçëîæåíèè ãàìèëüòîíèàíà èìåþò âèä:H (2) (x1, x2, y1 , y2) =y12 yy22 √(x + α1 + β1 )x21 α1 x22++ xx1 y2 ++2222(3.3)H (3) = 0√−m(α1 + β1)2 x21y12− m(α1 + β1 )α1yx1 x2y1 y2 − mα1 (α1 + β1 ) xx21x2 y1+H =2√√x2y 2 mα12 y 2 x22y22+ 1 2−+ 5/6 xy2 x31 − mα12 xyx1x22 y2+22(2mα1 x + 1)α1x21x2224+(x/3 − α1 /24 − β1 /8 − β1 /6)x1 −− α1 x42 /24(3.4)4(4)66Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí äëÿ ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì (3.3) èìååò âèä:λ4 + (α1 y + x + α1 + β1 )λ2 + α1 (−x + xy + (α1 + β1 )y) = 0(3.5)Óñëîâèå ðåçîíàíñà ±1 : 3 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:9x2 −82α1xy+9α12 y 2 +118α1x+18β1 x−82α12y−82α1β1 y+9α12 +18α1 β1 +9β12 = 0(3.6)Ñäåëàåì êàíîíè÷åñêóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ:x 1 = q1 − p 2 , x 2 =q2 − p 1αq2 + (β − α)p1, y1 =, y2 = αq1 + (β − α)p2 (3.7)ββα, β ïàðàìåòðû, óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì:√√√α1xα1 √xβ=+α,− xα−α1 +α1 y −x−β1 = 0, α1(y +) > 0, α1y −α x > 0αααÒîãäà ïîëó÷àåì:H (2) (q1, q2, p1, p2) =A1p21 B1q12 A2 p22 B2 q22+++,2222ïðè÷åì√√α1x22A1 =x+x+α+αy+β=(α+α)(y+,B=2α)1111α1 + α2α√√(α2 + α1 )(α1y − α x)α2yα12 − 2 xα1 α + (x + α1 + β1)α2A2 ==, B2 =α2α2α1 + α2Ôóíêöèÿ (3.3) ïðè òàêîé çàìåíå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:H (4) (q1, q2, p1, p2) =Xhν1 ,ν2 ,µ1 ,µ2 q1ν1 q2ν2 pµ1 1 pµ2 2 .ν1 +ν2 +µ1 +µ2 =4Íàêîíåö, çàìåíàqs = (Qs Ps i1/2iωsQs + Ps+)λs , ps =, ãäå2ωsλs67ωs =ppAsBs , λs = As (s = 1, 2)ïðèâîäèò óíêöèè H (2) ,H (4) ê âèäó:H (2) (Q1, Q2, P1 , P2 ) = iω1Q1P1 + iω2Q2 P2 .PH (4) (Q1, Q2, P1 , P2 ) =h′ν1 ,ν2 ,µ1 ,µ2 Qν11 Qν22 P1µ1 P2µ2 .ν1 +ν2 +µ1 +µ2 =4h′1003 = u1003 + iv1003, h′0310 =ω23(u1003 − iv1003)4ω1h0310ω1 λ32h0112ω1h1003λ1 h1201λ1 λ2−+−u1003 =2ω23λ12ω2λ1 λ22λ322ω22v1003 = −h′0130h1300λ1 λ32 h0013ω1 h0211ω1λ2 h1102λ1+−+2ω232λ1λ32ω22 λ1ω2λ2= u0130 +u0130 =(3.8)iv0130, h′3001ω13(u0130 − iv0130)=4ω2h3001ω2 λ31h1021ω2h0130λ2 h2110λ2 λ1−+−2ω13λ22ω1λ2 λ12λ312ω12(3.9)h3100λ2 λ31 h0031ω2 h2011ω2λ1 h1120λ2v0130 = −+−+2ω132λ2λ31ω12 λ2ω1λ1 íàøåé çàäà÷å v1003 = v0130 = 0 è ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ ω1 = 3ω2 ,âåëè÷èíà u1003, à âìåñòå ñ íåé è êîýèöèåíò h′1003, îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðèâûïîëíåíèè óñëîâèÿ:3A2A1h0310 h0112−B2A2+h1003 h1201−=0A2B2(3.10)Âìåñòî ïàðàìåòðà k (èíòåãðàë ïëîùàäåé) áóäåì ðàáîòàòü ñ ïàðàìåòðîìu = α2 .Åñëè ω1 = 3ω2 , òîA1 B1A2B2=√α1 (y+ x/α)√α1 y−α x√x== 9.